1.\(\quad(20\) 分 \()\) 村里有 \(2 \mathrm{~N}\) 个居民，其中 \(\mathrm{N}\) 个居民住在一区，每人养 \(\mathrm{q}_{1}\) 只羊, 每 只羊成本为 \(c_{1},\) N 个居民住在二区，每个人养 \(q_{2}\) 只羊，每只羊成本为 \(c_{2}\) 。每只羊 带来的收入是 200-q, \(q\) 是村里羊的总数。
(10 分) 找到博亦的纳什均衡下两个区域里每个居民养羊的数量，找出 社会效益最优选择下村子里羊的总量。
( 5 分）当地政府为了达到社会效益的最优选择，对两个地区按照统一 标准征税，每只羊征收 t。计算税收标准 t, 以及对应的纳什均衡下两个区域里 每个居民的养羊数量。
( 5 分 ) 如果当地政府只对第一区的居民征税，每只羊征税 \(\mathrm{t},\) 以达到社 会效益的最优。请计算税收标准 t, 以及对应的纳什均衡下两个区域里每个居民 养羊的数量。
solution：
1）单独决策：
工区单个居民受益最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left[200-N\left(q_{1}+q_{2}\right)\right] q_{1}-c_{1} q_{1}\)
\(Fo{c}: \frac{\partial \pi_{1}}{\partial q_{1}}=200-c_{1}-2 N q_{1}-N q_{2}=0\)
得：\(q_{1}=\frac{200-c_1-N q_{2}}{2 N}\)
同理得：\(q_{2}=\frac{200-c_{2}-N q_{1}}{2 n}\)
则均衡时的数量为：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{*}=\frac{200-2 c_{1}+c_{2}}{3 N} \\ q_{2}^{*}=\frac{200-2 c_{2}+c_{1}}{3 N}\end{array}\right.\)
社会最优：
\(\max : \quad SW=N\left(q_{1}+q_{2}\right)\left[200-N\left(q_{1}+q_{2}\right)\right]-N\left(c_{1} q_{1}+c_{2} q_{2}\right)\)
st: \(\quad q_{1} \geq 0 ; \quad q_{2} \geq 0\)
\(\exists \mu_{1} \geqslant 0 , \quad \mu_{2} \geqslant 0\)
\(\mathcal{L}=N\left(q_{1}+q_{2}\right)\left[200-N\left(q_{1}+q_{2}\right)\right]-N\left(c_{1} q_{1}+c_{2} q_{2}\right)+u_{1} q_{1}+u_{2} q_{2}\)
\(Foc: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{1}}=N\left[200-c_{1}-2 N\left(q_{1}+q_{2}\right)\right]+u_{1}=0\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{2}}=N\left[200-c_{2}-2 w\left(q_{1}+q_{2}\right)\right]+u_{2}=0\)
社会最优的产量分配决策取决于\(c_{1}, c_{2}\)大小
令
\(c=\min \left\{c_{1}, c_{2}\right\}\)
则 \(q^{* *}=\frac{200-c}{2}\)
2）若对两个地区同时征税t
则
\(c_{1}^{\prime}=c_{1}+t ; c_{2}^{\prime}=c_{2} + t\)
由1）知：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{\prime}=\frac{200-2 c_{1}+c_{2}-t}{3 N} \\ q_{2}^{\prime}=\frac{200-2 c_{2}+c_{1}-t}{3 N}\end{array}\right.\)
若使 \(N\left(q_{1}^{\prime}+q_{2}^{\prime}\right)=q^{* *}\)
则 \(t^{*}=\frac{200+3 c-2 c_{1}-2 c_{2}}{4}\)
此时 \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{\prime *}=\frac{200-c-2 c_{1}+2 c_{2}}{4 N} \\ q_{2}^{\prime *}=\frac{200-c-2 c_{2}+2 c_{1}}{4 N}\end{array}\right.\)
3）仅对工区居民征税：
\(c_{1}^{\prime \prime}=c_{1}+t, \quad c_{2}^{\prime \prime} =c_{2}\)
由1）知：
\[ c_{1}^{\prime}=c_{1}+t ; c_{2}^{\prime}=c_{2} t t \]
若使 \(N\left(q_{1}^{\prime \prime}+q_{2}^{\prime \prime}\right)=q^{* *}\)
则： \(t^{* *}=\frac{200-2\left(c_{1} + c_{2}\right)+3 c}{2}\)
得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{\prime \prime *}=\frac{c_{2}-c}{N} \\ q_{2}^{\prime \prime *}=\frac{200+c-2 c_{2}}{2 N}\end{array}\right.\)
仅对单一舍去征税时，若 \(c=c_{2}\)即 \(c_{1}>c_{2}\)时， \(q_{1}^{* *}=0\)，尽让效率更高的社区生产，与社会最优想法一致。
(5 分) 写下该经济体在 q-R 空间的生产可行性前沿函数。该生产可能性集是凸集吗?
(5 分) 请解出经济体最优的生产和消费。请问该资源分配方式可以通过完全竞争市场均衡实现吗? 如 果是，请求出市场均衡解（包括均衡价格和均衡数量）。设食品价格为 p，劳动力价格为 w。如果不是，请解释 为什么。 下面考虑生产函数 q \(=\mathrm{AL}^{2}\) 。
(5 分) 写下此时该经济体在 q-R 空间的生产可行性前沿函数。该生产可能性集是凸集吗?
(5 分) 请解出新生产函数下该经济体最优的生产和消费。请问该资源分配方式可以通过完全竞争市场 均衡实现吗? 如果是，请求出市场均衡解（包括均衡价格和均衡数量）。设食品的价格为 p，劳动力价格为 w。 如果不是，请解释为什么。
solution：
1）由于
\(q=A L^{\frac{1}{2}}, \quad L + R=24\)
咋生产可能性前沿函数为：
\(q=A(24-R)^{\frac{1}{2}}\)
生产可能性集：
\(q \leqslant A(24-R)^{\frac{1}{2}}\)
且： \(\frac{d q}{d R}=-\frac{1}{2} A(24-R)^{-\frac{1}{2}}<0\)
\(\frac{d^{2} q}{d R^{2}}=\frac{1}{4} A(24-k)^{-\frac{3}{2}}>0\)
则该生产可能性集不是凸集。
2）最优的生产和消费
\(\max : \quad U=\ln c+\ln R\)
\(\begin{aligned} st: & c=q \\ & q=A(24-R)^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
简化为
\(\max : U=\ln \left[A(24-R)^{\frac{1}{2}}\right]+\ln R\)
\(Fo{c}: \frac{d U}{d R}=\frac{1}{R}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{24-R}=0\)
解得： \(R^{*}=16 , \quad q^{*}=C^{*}=2 \sqrt{2} A\)
完全竞争市场：
居民效用最大化 \(\max : \quad U=\ln C+\ln R\)
st: \(\quad p \cdot c=w(24-R)+\pi\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c=\frac{24 w+\pi}{2 p} \\ R=\frac{24 w+\pi}{2 w}\end{array} \Rightarrow L^{s}=12-\frac{\pi}{2 w}\right.\)
企业利润最大化：
\(\max : \pi=p \cdot q-w \cdot L\)
\(\Rightarrow \quad L^{d}=\left(\frac{p A}{2 w}\right)^{2} ; \pi=\frac{p^{2} A^{2}}{4 w}\)
市场出清： \(\begin{aligned} & L^{s}=L^{d} \\ \Rightarrow &\left(\frac{p}{w}\right)^{*}=\frac{4 \sqrt{2}}{A} \\ \Rightarrow & k^{*}=16 ; \quad c^{*}=q^{*}=2 \sqrt{2} A \end{aligned}\)
即竞争性市场能够达到社会最优的资源配置。
3）由于 \(q=A L^{2} \quad L+R=24\)
则生产可能性前沿函数为：
\(q=A(24-R)^{2}\)
生产可能性集： \(q \leq A(24-R)^{2}\)
且 \(\frac{d q}{d R}=-2 A(24-R)<0\)
\(\frac{d^{2} q}{d R^{2}}=2 A>0\)
则该集合为凸集
4） 最优的生产和消费：
\(\max : \quad U=\ln c+\ln R\)
\(\begin{aligned} s t: & c=q \\ q &=A(24-R)^{2} \end{aligned}\)
简化为：
\(\max : U=\ln \left[A(24-R)^{2}\right]+\ln R\)
\(Fo{c}: \frac{d U}{d R}=\frac{1}{R}-\frac{2}{24-R}=0\)
解得：\(R^{*}=8 \quad q^{*}=c^{*}=256 A\)
完全竞争市场
\(\pi=p \cdot A \cdot 596-24 w\)
效用最大化：
\(\max : \quad U=\ln c+\ln R+\pi\)
\(s t: p \cdot c=w(24-R)\)
\(\left\{\begin{array}{l}c=\frac{24 w+\pi}{2 p} \\ R=\frac{24 w+\pi}{2 w}\end{array} \Rightarrow L^{s}=12-\frac{\pi}{2 w}\right.\)
利润最大化：
\(\max : \pi=p \cdot q-w \cdot L\)
FOC:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{d \pi}{d L}=2 A P L-w=0 \\ \frac{d^{2} \pi}{d L^{2}}=2 A P>0\end{array} \Rightarrow L^{d}=24\right.\)
由于 \(L^{s}=12-\frac{\pi}{2 w}<12<L^{d}=24\)
在此情况下无法实现市场配置。
A
| 2 | |||
|---|---|---|---|
| L | R | ||
| 1 | U | (0,0,10) | (-5,-5,0) |
| D | (-5,-5,0) | (1,1,-5) |
B
| 2 | |||
|---|---|---|---|
| L | R | ||
| 1 | U | (-2,-2,0) | (-5,-5,0) |
| D | (-5,-5,0) | (-1,-1,5) |
每一格左边的数字是游戏 1 的得益，中间的数字为游戏者 2 的得益，右边的数字为游戏者 3 的得益。游戏者 3 的策略是先 \(\mathrm{A}\) 矩阵或选 \(\mathrm{B}\) 矩阵。
上述博亦中有几个纯策略纳什均衡？为什么? (5 分)
如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同另一个人，会出现什么结果? （2 分）。在哪一个均衡结果中 没有人会有“结盟”动机? 为什么? （3 分）
solution
三个参与者——有限次完全信息静态博弈
1）纯策略NE
\((U, L, A)、(D ,R, B)\)
\((U , L , A)\)为纯策略
当1,3选U,A时，2选L,此时，其余参与者不偏离
\((D , R , B)\)为纯策略NE
当1,3选D,R时，2选R，此时，1,3均不偏离。
2）若1,2结盟
UL UR DL DR
\(A \quad(10,0) \quad(0,-10) \quad(0,-10) \quad(-5,2)\)
\(B \quad(0,-4) \quad(0,-10) \quad(0,-10) \quad(5,-2)\)
若1,3结盟 UA DA UB DB
\(\begin{array}{lllll}L & (0,10) & (-5,-5) & (-2,-2) & (-5,-5) \\ R & (-5,-5) & (1,-4) & (-5,-5) & (-1,4)\end{array}\)
若3,2结盟 \(LA\quad R A \quad L B \quad R B\) \(\begin{array}{lllll}U & (0,10) & (-5,-5) & (-2,-2) & (-5,-5) \\ D & (-5,-5) & (1,-4) & (-5,-5) & (-1,4)\end{array}\)
若NE为 \((U , L, A)\)
由于1,3结盟，2，3结盟也能够达成该结果，故无差异。
由于1,2结盟，只能达到 \((B, D R)\)，此时1与2的收益低于 \((U, L ,A)\)故1,2不可能结盟。
若NE为 \((D, R, B)\)
两两结盟均无差异。