1.钢铁厂 \(: \mathrm{C}_{\mathrm{s}}=0.5 \mathrm{Q}_{\mathrm{s}}^{2},\) 每生产一单位产生两单位大气污染物, \(\mathrm{a}_{\mathrm{s}}=0.1 \mathrm{e}_{\mathrm{s}}^{2} ;\) 煤炭发电厂: \(\mathrm{C}_{\mathrm{c}}=0.2 \mathrm{Q}_{\mathrm{c}}^{2},\) 每生 产一单位产生一单位大气污染物, \(\mathrm{a}_{\mathrm{c}}=0.2 \mathrm{e}_{\mathrm{c}}^{2}\) 。全地区一万人, 每个居民由于大气污染物在健康上所需花费的成本 \(a_{s} 、 a_{c}\) 分别为钢铁厂与煤炭发电厂减排的成本， \(\mathrm{e}_{\mathrm{s}} 、 \mathrm{e}_{\mathrm{c}}\) 分别为钢铁厂与煤炭发电厂的减排量，每个厂商的最终排 放量为生产过程中大气污染物的产生量减去减排量。
政府不管制的情况下，产量、减排量、大气污染的社会成本是多少?
社会福利最优情况下，产量、减排量、大气污染的社会成本是多少?
（3）政府采取两种政策，对企业的每单位污染物排放量征税 \(\mathrm{t}\) 或是对企业相对于管制情况下减少的排放量 补贴 s，为了使污染物排放量达到社会最优时的排放量，t 和 s 分别应是多少?
政府强制要求企业减少 X 比例的排放量，使得总排放量达到社会最优的污染排放量，则此时产量、减 排量、社会成本是多少?
政府开放污染物排放指标交易市场，且政府将污染权免费分派给两个企业，总量为达到社会最优的污 染排放量，钢铁厂和煤炭发电厂分派的比例分别为 \(\mathrm{b}\) 和 \(1-\mathrm{b}\) ，则污染权的交易价格是多少?
solution:
1)政府不管制
钢管厂与煤炭发电厂利润最大化：
\[\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{s}=Q_{s}-0.5 Q_{s}^{2}-0.1 e_{s}^{2} \\ \max : \pi_{c}=0.5 Q_{c}-0.2Q_c^{2}-0.2e_c^{2}\end{array}\right.\]
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_{s}}{\partial Q_{s}}=1-Q_{s}=0 \\ \frac{\partial \pi_{s}}{\partial e_{s}}=-0.{2} e_{s}=0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_c}{\partial Q c}=0.5-0.4Q_c=0 \\ \frac{\partial \pi_c}{\partial e_{c}}=-0.4 e_{c}=0\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}Q_s=1 \\ e_{s}=0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}Q_{c}=1.25 \\ e_{c}=0\end{array}\right.\)
则 \(p=2 Q_s+Q_c-e_{s}-e_{c}=3.25\)
大气污染社会成本：
\(c=2 p \cdot 10^{-5} \cdot 10^{4}=0.65\)
2）社会最优：
\[ \begin{aligned} \max : SW=\left(Q_{s}-0.5 Q_{5}^{2}-0.1 e_{5}^{2}\right)+\left(0.5 Q_{c}-0.2 Q_{c}^{2}-0.2 e_{c}^{2}\right) \\ -0.2\left(2 Q_{s}+Q_{c}-e_{s}-e_{c}\right) \end{aligned} \]
FOC:
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial S W}{\partial Q_{s}}=1-Q_{s}-0.4=0 \\ \frac{\partial S W}{\partial Q_{c}}=0.5-0.4Q_{c}-0.2=0 \\ \frac{\partial S W}{\partial e_{s}}=-0.2 e_{s}-0.2=0 \\ \frac{\partial S W}{\partial e_{c}}=-0.4 e_{c}+0.2=0 \end{array}\right. \] 解得：
\(\left\{\begin{array}{l}Q_s^{*}=0. 6 \\ e_{s}^{*}=1\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}Q_{c}^{*}=0.75 \\ e_{c}^{*}=0.5\end{array}\right.\)
\(p^{*}=2 a_{s}^{*}+a_{c}^{*}-e_{s}^{*}-e_{c}^{*}=0.45\)
\(c^{*}=0.2 p^{*}=0.09\)
3）对每单位排放量征税t
钢铁厂与煤炭发电厂利润最大化：
\(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{s}=Q_{s}-0.5 Q_{s}^{2}-0.{1} e_{s}^{2}-t\left(2 Q_ s-e_{s}\right) \\ \max : \pi_{c}=0.5 Q_{c}-0.2 Q_{c}^{2}-0.{2} e_{c}^{2}-t\left(Q_{c}-e_{c}\right)\end{array}\right.\)
FOC:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_s}{\partial Q_s}=1-Q_s-2 t=0 \\ \frac{\partial \pi_s}{\partial e_{s}}=-0.2 e_{s}+t=0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_c}{\partial Q_c}=0.5-0.4Q_c-t=0 \\ \frac{\partial \pi_c}{\partial e_c}=-0.4 e_c+t=0\end{array}\right.\)
若使 \(p=2Q_s+Q_c-e_{s}-e_c=3.25-14 t=0.45\)
\(\Rightarrow t^{*}=0.2\)
对相对于不管制情况下减少的排放量补贴s
钢铁厂与煤炭发电厂利润最大化：
\(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{s}=Q_{s}-0.5 Q_{s}^{2}-0.1 e_{s}^{2}+s \cdot e_{s} \\ \max : \pi_{c}=0. 5 Q_{c}-0.2 Q_{c}^{2}-0.{2} e_{c}^{2}+s \cdot e_{c}\end{array}\right.\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_s}{\partial Q_s}=1-Q_s=0 \\ \frac{\partial \pi_s}{\partial e_{s}}=-0.{2} e_{s}+s=0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_c}{\partial Q_{c}}=0.5-0.4Q_c=0 \\ \frac{\partial \pi_c}{\partial e_{c}}=-0.4 \mathrm{e}_{c}+s=0\end{array}\right.\)
若使：\(p=2 Q_s+Q_c-e_{s}-e_{c}=3.25-7.5s=0.45\)
\(\Rightarrow s^{*} \doteq 0.373\)
4）强制要求减排x比例
钢铁厂与煤炭发电厂利润最大化：
\[ \left\{\begin{array}{ll} \max : \pi_{s}=Q_{s}-0.5 Q_{s}^{2}-0.1 e_{s}^{2} \quad \left(e_{s}=x \cdot 2 Q_{s}\right) \\ \max : \pi_{c}= 0.5 Q_{c}-0.2 Q_{c}^{2}-0. 2 e_{c}^{2} \quad\left(e_{c}=x \cdot Q_{c}\right) \end{array}\right. \]
FOC:
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{d \pi_{s}}{d Q_ s}=1-Q_s-0.8 x^{2} Q_s=0 \\ \frac{d \pi_c}{d Q_c}=0.5-0.4Q_c-0.4 x^{2} Q_{c}=0 \end{array}\right. \]
若使 \(\begin{aligned} p &=2 Q_{s}+Q_{c}-e_{s}-e_{c} \\ &=\frac{2(1-x)}{1+0.8 x^{2}}+\frac{1.25(1-x)}{1+x^{2}} \\ &=0.45 \end{aligned}\)
解得：
\(x^{*}=0.8\)（估计个大概率就行）
5）产权交易市场：设价格为r
钢铁厂与煤炭发电厂利润最大化：
\(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{s}=Q_{s}-0.5 Q_{s}^{2}-0.1 e_{s}^{2}-r\left(2 Q_{s}-e_{s}-0 . 45 b\right) \\ \max : \pi_{c}=0.5 Q_{c}-0.2 Q_{c}^{2}-0.{2} e_{c}^{2}-r\left(Q_ c-e_{c}-0.45(1-b)\right)\end{array}\right.\)
FOC:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_{s}}{\partial Q_s}=1-Q_s-2 r=0 \\ \frac{\partial \pi_{s}}{\partial e_{s}}=-0.2 e_{s}+r=0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_c}{\partial Q_c}=0.5-0.4 Q_{c}-r=0 \\ \frac{\partial \pi_{c}}{\partial e_{c}}=-0.4 e_c+v=0\end{array}\right.\)
若使 \(p=2 Q_s+Q_c-e_s-e_c=3.25-14 r=0.45\)
\(\Rightarrow \quad r^{*}=0.2\)与初始分配比例b无关
科斯定理成立。
2.在鲁里塔尼亚有两个地区，\(A\)和\(B。两个地区生产\)x\(和\)y\(两种商品。区域\)A$的生产函数如下所示： \[ \begin{array}{l} x_{A}=\sqrt{l_{x}} \\ y_{A}=\sqrt{l_{y}} \end{array} \] 这里，\(l{x}\)和\(l{y}\)分别是投入到\(x\)和\(y\)生产中的劳动力数量。区域\(A\)的总可用劳动力为100个单位；即， \[ l_{x}+l_{y}=100 \] 对区域\(B\)使用类似的表示法，生产函数如下所示 \[ \begin{array}{l} x_{B}=\frac{1}{2} \sqrt{l_{x}} \\ y_{B}=\frac{1}{2} \sqrt{l_{y}} \end{array} \] 在\(B\)地区还有100个劳动力单位： \[ l_{x}+l_{y}=100 \]
1）计算\(a\)和\(B\)区域的生产可能性曲线。
2）如果鲁里塔尼亚的生产要在\(A\)和\(b\)地区之间有效分配（假设劳动力不能从一个地区转移到另一个地区），必须具备什么条件？
3）计算Ruritania的生产可能性曲线（再次假设劳动力在区域之间不流动）。如果x\(总产量为12，Ruritania能生产多少y\)？提示：\(\mathrm{A}\)图形分析在这里可能有一些帮助。
solution：
1）A,B的生产可能性边界：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=100 \\ x_{B}^{2}+y_{B}^{2}=25\end{array}\right.\)
2）当且仅当 \(R T S ^{A}_{X,Y}=R T S ^{B}_{X,Y}\)时，要素的分配是有效率的。即
\(\frac{y_{A}}{x_{A}}=\frac{y_{B}}{x_{B}}\)
可以理解为整个国家的 \(P_{x} / P_{Y}\)很定，适用于A,B两个地区，
\(R T S_{X, Y}^{A}=\frac{P_{X}}{P_Y}=R T S_{X, Y}^{B}\)市场机制。
3）国家的总生产可能性边界：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=100 \\ x_{B}^{2}+y_{B}^{2}=25 \\ \frac{x_{A}}{x_{B}}=\frac{y_{A}}{y_{B}}生产有效率\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=225\)
故当 \(x=x_{A}+x_{B}=12\)时，
\(y=y_{A}+y_{B}=9\)
note：
令 \(\frac{x_A}{x_{B}}=\frac{y_{A}}{y_{B}}=\lambda\)
\(\Rightarrow \quad x=(1+\lambda) x_{B} \quad ; \quad y_{A}=(1+\lambda) y_{B}\)
\(\Rightarrow \quad \lambda\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)=100 \Rightarrow \lambda=4\)
\(\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=(1+\lambda)^{2}\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)=225\)
3.小李和小王同时想过一座小桥，但小桥只能容纳一人通过。每人面临两种策略可以选 择: 一是过桥 \((G),\) 二是等待 \((W)\) 。如果两人想同时通过，那势必发生争斗，对每人造成成本 \(C(C>0),\) 然后胜者通过此桥。每人获胜的概率各为 \(1 / 2\) 。如果两人相互谦让，那么每人需付出谦 让而造成的延误成本为 \(D(D>0)\) ，最后两人靠扬硬币的方式决定谁过 (扬硬币成本忽略不计)。假 定 \(C>D>0\) 。小李和小王分别要 \(t_{L}\) 和 \(t_{W}\) 代表了一人等待另一个人过桥的时间成本 \(\left(\right.\) 比如 \(t_{L}\) 代表 了小王等待小李过桥的时间成本)
1)请写出本博亦的支付矩阵。在计算参与人的成本时可不计入他本人过桥的时间成本。
2)找出纯策略和混合策略的纳什均衡，说明这些均衡的出现如何取决于 \(C, t_{L}, t_{W}\) 的取值。
solution：
1）左边表示小李的成本，右边表示小王的成本
| \(W_a\) | |||
|---|---|---|---|
| G | W | ||
| \(L_i\) | G | \((c+0.5t_W,c+0.5t_L)\) | \((0,t_L)\) |
| W | \((t_W,0)\) | \((D+0.5,D+0.5t_L)\) |
2）纯策略NE
当 \(c \geqslant \frac{1}{2} t_{L}\)且 \(c \geqslant \frac{1}{2} t_{W}\)时：
\((G, w)、(w , G)\)
当 \(\frac{1}{2} t_W<c<\frac{1}{2} t_{L}\)时
\((w , G)\)
当\(\frac{1}{2} t_{L}<c<\frac{1}{2} t_W\)时
\((G, w)\)
当\(c<\frac{1}{2} t_{L}\) 且 \(c<\frac{1}{2} t_W\)时：
\((G, G)\)
混合均衡NE
假设 \(L_{i} , W_{a}\)选择G的概率分别为
\(\gamma ,\theta(0<\gamma , \theta<1)\)
当 $L_{i} $选择G时：
\(E \pi_G=\theta \cdot\left(c+\frac{1}{2} t_{W}\right)\)
当 $L_{i} $选择W时：
\(E \pi_w=\theta t_W+(1-\theta)\left(D+\frac{1}{2} t_{W}\right)\)
由无差异性： \(E \pi_{G}=E \pi_W\)
\(\Rightarrow \quad \theta^{*}=\frac{D+\frac{1}{2} t_W}{C+D}\)
同理可得： \(\gamma^{*}=\frac{D+\frac{1}{2} t_{L}}{C+D}\)
由 \(0<\theta, \gamma<1\)得：
\(C>\frac{1}{2} t_W\) 且 \(C>\frac{1}{2} t_{L}\)时，存在混合策略NE
混合策略为 \(\left(\left(\theta^{*}, 1-\theta^{*}\right),\left(\gamma^{*}, 1-\gamma^{*}\right)\right)\)
其实由wilson奇数定理可判断仅第一条存在混合均衡。
3）社会最优要求总成本最小化
由于\((w , w) \succ(G, G)\)，且仅选择 \((G, G)\)时，包含c，故社会最状态与C无关。