1.某个村子里有 \(n\) 个村民和一笔财富 \(\mathrm{w}\), 这笔财富会在其中 \(\mathrm{k}\) 个村民中平均分配(k \(\leq \mathrm{n}\), 分到钱的人可以自己决定用多少钱来修路，多少钱用来私人消费，每个村民都具有柯布道格 拉斯效用函数 \(\mathrm{U}_{i}\left(\mathrm{H}, \mathrm{X}_{\mathrm{i}}\right)=\mathrm{H}^{0.5} \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{0.5},\) 其中 \(\mathrm{H}=\sum_{i=1}^{k} h_{i}\) 为每个人修路的长度总和，一人修路，全村 受益， \(x_{i}\) 为第 i 个村民的私人消费。假设公路和私人消费的单价均为 1 。求:
（1）在均衡条件下，这个村子最后修路修了多长?（假设有内点解）
（2）最优的修路长度随着参与分配这笔财富的村民数 k 发生什么变化?为什么?
3.对于某一起盗切案件有 \(\mathrm{k}\) 个目击证人。每个目击证人可以选择告发盗穷犯，也可 以选择不告 发。由于目击证人都很忙，因此选择告发会带来一些不便，但是将罪 犯绳之以法又是大家希望看到 的结果。对于每个目击证人而言，罪犯被抓获产生 的效用为 4; 而罪犯逃脱的效用为 0. 目击证人告 发罪犯本身会带来 1 的负效用。 罪犯被抓获的充要条件是有人告发罪犯。
1). 求出所有的纯战略纳什均衡。(6’)
2). 若只有两个目击证人, 求出混合战略纳什均衡。(7’)
3). 在 \(\mathrm{k}\) 个日击证人的情况下，混合战略纳什均衡具有对称性，求此均衡，并求出 罪犯被抓获的 概率。(7’)
solution:
1)任意分到钱的村民i的效用最大化：
\(m a x: U_{i}=H^{\frac{1}{2}} x_{i}^{\frac{1}{2}}\)
st: \(\quad H_{i}+X_{i}=\frac{w}{k}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=H^{\frac{1}{2}} x_{i}^{\frac{1}{2}}+\lambda\left[\frac{w}{k}-H_{i}-x_{i}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{i}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H_{i}}=\frac{\partial U_{i}}{\partial H}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得：
\(x_{i}=H \quad(\forall i=1,2, \cdots k)\)
加总：\(H^{*}=\frac{w}{k+1}\) ，其中 \(H_{i}^{*}=\frac{W}{k(k+1)}\)
2）社会最优的H
假设社会福利函数为：
\(S W=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} U_{i}\left(H, X_{i}\right)\)
st: \(\quad P_{H} \cdot H+P_{x} \cdot \sum_{i=1}^{k} x_{i}=w\)
\(\mathcal{L}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} U_{i}\left(H, x_{i}\right)+\lambda\left[w-p_{H} \cdot H-p_{x} \sum^{k}_{{i}=1} x_{i}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}=\lambda_{i} \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{i}}-\lambda p_{x}=0 \quad(\forall i=1,2 \cdots k) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial H}-\lambda p_{H}=0\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \lambda_{i}=\frac{\lambda P_{x}}{\partial U_{i} / \partial x_{i}}\)
\(\Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{k} \frac{\partial U_{i} / \partial H}{\partial U_{i} / \partial x_{i}}=\frac{p_{H}}{p_x}\)
\(\Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{k} M R S_{H, x_{i}}=\frac{p_{H}}{p_ G}\)
其中 \(\sum_{i=1}^{k} M R S_{H,x_{i}}=\frac{p_{H}}{p_{x}}\)，即为公平品供给的萨缪尔森条件，从该条件可以看出，与竞争性商品的供给不同，公平的供给为纵向加总
左边
\(\sum_{i=1}^{k} M R S_{H, X_{i}}\)表示村民对于H的相对报价之和，右边为市场的均衡条件
本题中 \(U_{i}\left(H, x_{i}\right)=H^{\frac{1}{2}} x_{i}^{\frac{1}{2}} , p_{H}=p_{G}=1\)
解得： \(\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial U_{i} / \partial H}{\partial U_{i} / \partial Y_{i}}=\frac{\sum^{k}_{i=1} X_{i}}{H}=1\)
故 \(H^{* *}=\frac{w}{2}\)
note：
财富的平均分配人数会影响到竞争性均衡时的 \(H^{*}\)数量
由1）知
\(H^{*}=\frac{w}{k+1}, \quad H_{i}^{*}=\frac{w}{k(k+1)}\)
由于 \(\frac{d H_{i}^{*}}{d k}<0\)
故 \(\frac{d H^{*}}{d k}<0\)
即得到财富的人越多，搭便车的行为越严重。
财富的初始分配会影响到竞争性均衡时的 \(H^{*}\)数量
假设初始财富分配为
\(\left(w_{1}, w_{2} \ldots . w_{k}\right)\left(\sum^{k}_{i=1} w_{i}=w\right)\)
\(\max : \quad U_{i}=U_{i}\left(H, X_{i}\right)\)
st \(: \quad p_{H} \cdot H_{i}+p_{x} \cdot X_{i}=w_{i}\)
\(H_{i} \geq 0\)
\(\mathcal{L}=U_{i}\left(H, X_{i}\right)+\lambda\left[w_{i}-p_{H} H_{i}-p_{x} \cdot x_{i}\right]+\mu H_{i}\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H_{i}}=\frac{\partial U_{i}}{\partial H}-\lambda p_{H}+\mu=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{i}}-\lambda p_{x}=0 \\ \mu \cdot H_{i}=0\end{array}\right.\)
以C-D函数为例说明： \(U_{i}=H^{\alpha} x_{i}^{1-\alpha}\) 其中 \(k=2\)
\(\left\{\begin{array}{l}M R S_{H , x_{i}}=\frac{p_{N}}{p_G} \quad(i=1,2) \\ p_{H} \cdot H_{i}+p_{x} \cdot X_{i}=w_{i}\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}A^{*}=\frac{2}{2-\alpha} \frac{w}{p_{H}} \\ H_{1}^{*}=\frac{w_{1}-(1-\alpha) w_{2}}{(2-\alpha) p_{H}} \\ H_{2}^{*}=\frac{w_{2}-(1-\alpha) w_{1}}{(2-\alpha) p_{H}}\end{array}\right.\)
若1,2均为内点解
此时 \(H^{*}\)受到指数的影响，而不收到 \(\left(w_1, w_{2}\right)\)的初始分配影响，也就是强调内部解的原因
若角点解 \(\exists\)
不妨假设 \(w_{1}<(1-\alpha) w_{2}\)
即 \(H_{1}^{*}=0\)
此时 \(H^{*}=\frac{\partial W_{2}}{P _H}\)
由于 \(\frac{\partial W_{2}}{P_H}-\frac{\alpha}{2-\alpha} \frac{w}{p_H}=\frac{\alpha}{P_{H}}\left[(1-\alpha) w_{2}-w_{1}]>0\right.\)
即 \(H^{*}\)上升
说明初始分配越极端，
\(H^{*}\) 越接近 \(H^{* \star}\)
当\(w_{2} \rightarrow w\)时，
\(H^{*} \rightarrow \frac{\partial w}{p_{H}}=H^{* *}\)
2.假设鲁滨逊漂流记生产和消费鱼\(（F）\)和椰子\(（C）。\)假设在某一时期内，他决定工作200个小时，对这段时间是钓鱼还是采集椰子漠不关心。罗宾逊的鱼产量由 \[ F=\sqrt{l_{F}} \]
椰子生产 \[ C=\sqrt{l_{C}} \] 其中，\(l{F}\)和\(l{C}\)是捕鱼或采集椰子所花费的小时数。因此， \[ l_{C}+l_{F}=200 \] 鲁宾逊漂流记对鱼和椰子的效用由 \[ \text { utility }=\sqrt{F \cdot C} \]
1） 如果罗宾逊不能与世界其他地方进行贸易，他将如何选择分配他的劳动力？F\(和C\)的最佳水平是什么？他的效用是什么？椰子鱼的价格是多少？
2）假设现在贸易已经开放，罗宾逊可以以\(p{F}/p{C}=2/1的价格比交易鱼和椰子。\)如果罗宾逊继续生产（a）部分的\(F\)和\(C\)数量，一旦有机会交易，他会选择消费什么？他的新效用水平将是什么？
3） 如果罗宾逊调整产量以利用世界价格优势，你对（b）部分的回答会有什么变化？
4）将第\(（a）、（b）、\)和（c）部分的结果制成图表
solution：
1）生产可能性边界
\(F^{2}+c^{2}=200\)
鲁滨逊效用最大化：
\(\max : \quad U=\sqrt{F \cdot c}\)
st: \(\quad F^{2}+c^{2}=200\)
\(\mathcal{L}=\sqrt{F \cdot c}+\lambda\left[200-F^{2}-c^{2}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F}=\frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{F}}-2 \lambda F=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=\frac{\sqrt{F}}{2 \sqrt{c}}-2 \lambda c=0\end{array}\right.\)
解得： \(F^{*}=c^{*}=10\) \(u^{*}=10\)
\(R P T_{F , c}=1\)
2）维持禀赋 \(\left(w_{F} , w_{c}\right)=(10,10)\)
效用最大化，令 \(p=P_{F} / P_{c}\)
\(\max : \quad U=\sqrt{F\cdot c}\)
st: \(2 \cdot F+c=30\)
\(\mathcal{L}=\sqrt{F \cdot c}+\lambda[30-2 F-c]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F}=\frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{F}}-2 \lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=\frac{\sqrt{F}}{2 \sqrt{c}}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得：
\(F=7.5 \quad c=15\)
\(U=10.61\)
3）天正生产计划
效用最大化：
\(\max : U=\sqrt{F \cdot c}\)
\(st: 2 F+C=2 \mathrm{wF}+\mathrm{wC}\) \(\mathrm{w}_{F}^{2}+\mathrm{w}_{\mathrm{c}}^{2}=200\)
\(\mathcal{L}=\sqrt{F \cdot c}+\lambda\left[2 w_{F}+w_{c}-2 F-c\right]+\mu\left[200-w_{F}^{2}-w_{c}^{2}\right]\)
FOC:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F}=\frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{F}}-2 \lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=\frac{\sqrt{F}}{2 \sqrt{c}} \quad-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_{F}}=2 \lambda-2 \mu w_{F}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_{c}}=\lambda-2 \mu w_{c}=0\end{array}\right.\)
解得： \(W_{F}^{**}=4 \sqrt{10} \quad W_{c}^{* *}=2 \sqrt{10}\)
\(F^{* *}=\frac{5}{2} \sqrt{10} \quad c^{* *}=5 \sqrt{10}\)
\(U^{* * *} \doteq 11.18\)
3.对于某一起盗切案件有 \(\mathrm{k}\) 个目击证人。每个目击证人可以选择告发盗穷犯，也可 以选择不告 发。由于目击证人都很忙，因此选择告发会带来一些不便，但是将罪 犯绳之以法又是大家希望看到 的结果。对于每个目击证人而言，罪犯被抓获产生 的效用为 4; 而罪犯逃脱的效用为 0. 目击证人告 发罪犯本身会带来 1 的负效用。 罪犯被抓获的充要条件是有人告发罪犯。
1). 求出所有的纯战略纳什均衡。(6’)
2). 若只有两个目击证人, 求出混合战略纳什均衡。(7’)
3). 在 \(\mathrm{k}\) 个日击证人的情况下，混合战略纳什均衡具有对称性，求此均衡，并求出 罪犯被抓获的 概率。(7’)
solution：
1）求纯策略NE
令 \(s=1\)表示告发， \(s=0\)表示不告发
纯策略 \(\left(s_1, \ldots s_{k}\right)=(0 . \ldots 0)\)即无一人告发
\(\forall\)目击者i，给定 \(s_{-i}=0, \quad \pi\left(s_{i}=1\right)=3 \quad \pi(s_i =0)=0\)
故 \(\forall i\)会偏离 \(s_{i}=0\) ，选择 \(s_{i}=1\)
即 \(\left(s_{1} \ldots s_{k}\right)=(0, \cdots 0)\)不是纯策略。
纯策略2：仅有1人告发，不妨假设 \(s_{i}=1 ,s_{-i}=0\)
\(\forall\)选择 \(s_{j}=0\)的目击者而言
给定 \(s_{i}=1, s_{-i}=0\)
\(\pi\left(s_{j}=0\right)=4 , \pi\left(s_{i}=1\right)=3\)
\(\forall j\)不会偏离
\(s_{-i}=0\)
\(\pi\left(s_{i}=0\right)=0 , \pi\left(s_{i}=1\right)=3\) ，i也不会偏离
纯策略3： 对于高发这而言：给定存在其他告发者的情况\(\pi(s=1)=3 , \pi(s=0)=4\)故会偏离
即：高发这不小于2不是纯策略NE
综上：纯策略NE有k个，分别为
\(s_{1}=\left(s_{1}, \cdots, s_{k}\right)=(1,0, \ldots, 0)\) \(\vdots\) \(s_{k}=\left(s_{1}, \ldots s_{k}\right)=(0,0, \ldots, 1)\)
3）当 \(k=2\)时，求混合策略
支付矩阵：
| B | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | ||
| A | 1 | (3,3) | (3,4) |
| 0 | (4,3) | (0,0) |
假设A,B选择 \(s=1\) 的概率分别为 \(\theta , \gamma\)
\((0<\gamma , \theta<1)\)
当 \(s_{A}=1\)时
\(E \pi_{A}^{\prime}=3\)
当 \(s_{A}=0\)时
由无差异性： \(E \pi_{A}^{0}=4 \gamma\)
得： \(E \pi_{A}^{1}=E \pi_{A}^{0}\)
得： \(\gamma=\frac{3}{4}\)
由对称性知：
\(\gamma^{*}=\theta^{*}=\frac{3}{4}\)
即混合策略NE: \(N E:\left(s_{A} , s_{B}\right)=\left(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right),\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right)\right)\)
3)假设有k个目击者，求混合策略NE
假设i选择 \(s_{i}=1\)的概率为
\(p_{i}\left(0<p_{i}<1, i = 1,2 \ldots k\right)\)
当 \(s_{i}=1\)时，
\(E \pi_{i}^{\prime}=3\)
当 \(s_{i}=0\)时
\(E \pi_{i}^{0}=4\left[1-\prod_{j \neq i}\left(1-p_{j}\right)\right]\)
由无差异性知：
\(E \pi_{i}^{0}=E \pi_{i}^{\prime}\)
由对称性知：
\(p_{1}=p_{2}=\cdots=p_{k}=p\)
解得： \(p^{*}=1-4^{\frac{1}{1-k}}\)
综上：混合策略NE为： \(\left(s_{1}, \cdots \cdot s_{k}\right)=\left[\left(p^{*}, 1-p^{*}\right) \cdots\left(p^{*}, 1-p^{*}\right)\right]\)
囚犯被抓的概率为：
\(q^{*}=1-\left(1-p^{*}\right)^{k}=1-4^{\frac{k}{1-k}}\)