（1）每个消费者在市场机制下的购买量。
（2）市场均衡下的资源配置是否为帕累托有效。说明理由。
solution：
1）市场机制
1的效用最大化： \(\max : U_{1}=\sqrt{x}-x_{1}\)
\(s t: \quad x_{1} \geq 0\)
2的效用最大化
\(\max : U_{2}=2 \sqrt{x}-x_{2}\)
\(st: x_{2} \geqslant 0\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}_1=\sqrt{x}-x_{1}+\lambda_{1} x_{1}\)
\(\mathcal{L}_{2}=2 \sqrt{x}-x_{2}+\lambda_{2} x_{2}\)
FOC: \(\frac{\partial \mathcal{L}_{1}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-1+\lambda_{1}=0\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}_{2}}{\partial x_{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-1+\lambda_{2}=0\)
当 \(x_{1}=x_{2}=0\)时
\(\lambda_{1}>0 , \lambda_{2}>0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2} \rightarrow-\infty\)矛盾
当 \(x_{1}>0 , x_{2}>0\)时：
\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \sqrt{x}\)矛盾
当 \(x_{2}=0 , x_{1}>0\)时：
\(\lambda_{2}=0 , \lambda_{1}>0 \Rightarrow x=1, \lambda_{1}=-\frac{1}{2}\)矛盾
当 \(x_{1}=0 , x_{2}>0\)时：
\(\lambda_{1}=0 , \lambda_{2}>0 \Rightarrow x=\frac{1}{4}, \lambda_{2}=\frac{1}{2}\)符合
综上：
\(x_{1}=0 , x_{2}=\frac{1}{4}\)
2）帕累托最优：
\(\begin{array}{cl}\max : & U_{1}=\sqrt{x}-z_{1} \\ st: & \overline{U}_{2} \geqslant 2 \sqrt{x}-x_{2}\end{array}\)
\(\mathcal{L}=\sqrt{x}-x_{1}+\lambda\left[\overline{U_{2}}-2 \sqrt{x}+x_{2}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-1-\lambda \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}+\lambda\left[1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right]=0\end{array}\right.\)
解得： \(x^{*}=\frac{9}{4}\)
故市场均衡下的配置不是帕累托最优。
1） 请给出完全竞争均衡的定义。
2）请给出 Pareto 最优配制的定义。
3）请给出这个经济所有可能的 Pareto 最优配制。
4）假如初始财富配制为 \(A, B\) 各拥有 5 单位的 \(X\) 和 \(Y, X\) 和 \(Y\) 的价格比为 \(\frac{P_{X}}{P_{Y}}\), 当经济达到 完全竞争均衡时，这个价格比例能否大于 1? 为什么?
5）假设条件如上问所述，那么这个价格比能否小于 1? 为什么?
solution：
\(U_A=3 X_A+5 Y_A\) \(U_{B}=9 X_{B}+2Y_B\)
1）首先求帕累托最优配置
\((x , y)=(10 , 10)\)
契约曲线：
\(X_{A}=0 \quad\left(0 \leqslant Y_{A} \leqslant 10\right) \cup Y_{A}=10\left(0 \leqslant X_{A} \leqslant 10\right)\)
2）瓦尔拉斯均衡：
不妨假设 \(p=p_{x} / p_{y} , p_{y}=1\)
首先求A,B的需求：
\(x_{A}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{p e_{X}^{A}+e_{Y}^{A}}{p} & 0<p+\frac{3}{5} \\ {\left[0 . \frac{p e_{x}^{A}+e_{Y}^{A}}{p}\right]} & p=\frac{3}{5} \\ 0 & P>\frac{3}{5}\end{array}\right.\)
\(y_{A}=\left\{\begin{array}{cc}0 & 0<p <\frac{3}{5} \\ {\left[0, p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}\right]} & p=\frac{3}{5} \\ p e^{A}_X+e_{Y}^{A} & p>\frac{3}{5}\end{array}\right.\)
\(x_{B}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{p e_X^B+e_{Y}^{B}}{p} & 0<p<\frac{9}{2} \\ {\left[0 , \frac{p e_{x}^{B}+e_{y}^{B}}{p}\right]} & p=\frac{q}{2} \\ 0 & p>\frac{q}{2}\end{array}\right.\)
\(y_{B}=\left\{\begin{array}{cc}0 & 0<p<\frac{9}{2} \\ {\left[0, p e_{x}^{B}+e_{y}^{B}\right]} & p=\frac{9}{2} \\ p e_{x}^{B}+e_{y}^{B} & p>\frac{q}{2}\end{array}\right.\)
讨论可能的瓦尔拉斯均衡
当 \(0<p<\frac{3}{5}\)时：
\(Y_{A}+Y_{B}=0<e_{Y}=10\)，非均衡
当 \(p>\frac{9}{2}\)时：
\(x_{A}+x_{B}=0<e_x=10\)，非均衡
当 \(\frac{3}{5}<p<\frac{9}{2}\)时：
市场出清 \(Y_{A}+Y_{B}=P e_{X}^{A}+e_{Y}^{A}=10\) 价格
\(\Rightarrow \frac{3}{5}<p=\frac{10-e_{Y}^{A}}{e_X^{A}}<\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow 9 e^{A}_X+2 e_{Y}^{A}>20\) 且 \(3 e_X^{A}+5 e^{A}_Y<50\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{A}=0 \\ y_{A}=10\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x_{B}=10 \\ y_{B}=0\end{array}\right.\right.\) 可达到帕累托最优配置。
当 \(p=\frac{3}{5}\)时，
市场出清：
\(y_{A}+y_{B}=\left[0, \frac{3}{5} e_{X}^{A}+e_{Y}^{A}\right]\)
\(\Rightarrow \quad 0 \leq 10 \leq \frac{3}{5} e_x^{A}+e_{y}^{A}\)
\(\Rightarrow \quad 3 e_X^{A}+5 e^{A}_Y \geqslant 50\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{3 e_{B}^{X}+5-e_{B}^{Y}}{3} \\ y_{B}=0\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x_{A}=10-x_{B} \\ y_{A}=10\end{array}\right.\right.\) 可能均衡
当\(p=\frac{9}{2}\)时
市场出清\(x_{A}+x_{B}=\left[0, \frac{9 e^{B}_X+2 e_{Y}^{B}}{9}\right]\)
\(\Rightarrow \quad 0 \leq 10 \leqslant \frac{9 e_X^{B}+2 e_{Y}^{B}}{9}\)
\(\Rightarrow \quad 9 e_{X}^{A}+2 e_{Y}^{A} \leq 20\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x_{A}=0 & x_{B}=10 \\ y_{A}=\frac{9}{2} e_{x}^{A}+e_{y}^{A} & y_{B}=10-Y_{A}\end{array}\right.\)
可能的配置
当 \(\left(e_{X}^{A}, e_{Y}^{A}\right)=(5,5)\)时
\(\Rightarrow \quad 9 e_X^{A}+2 e_{Y}^{A}>2 0 , 3 e_X^{A}+5 e_Y^{A}<50\)
\(\Rightarrow \quad p^{*}=\frac{10-e^A_{y}}{e_{x}^{A}}=1\)均衡价格
\(\Rightarrow\)均衡配置
\(\left(x_{A}, y_{A}, x_{B} , y_{B}\right)=(0,10,10,0)\)
列出英德两军的支付矩阵
找出所有的纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡
如果德军采用了先进的每气技术，使得自己独自使用每气时英军的效用 变为-10 \(\quad\) (其他情形下效用不变 \() 。\) 此时谁具有占优策略, 找出占优策 略队及此时的纳什均衡。
solution:
1)支付矩阵：Y表示使用，N表示不使用，左边表示英国
| G | |||
|---|---|---|---|
| Y | N | ||
| B | Y | (-8,-8) | (3,-6) |
| N | (-6,3) | (0,0) |
2）纯策略
\(N E:(Y , N) ,(N , Y)\)
混合策略 \(NE:\left(\left(\frac{3}{5}, \frac{2}{5}\right),\left(\frac{3}{5}, \frac{2}{5}\right)\right)\)
价格B,G使用Y的概率分别为 \(\theta , \gamma(0<\theta , \gamma<1)\)
B使用Y时：
\(\pi_{B}^{Y}=-8 \gamma+3(1-\gamma)\)
B使用N时：
\(\pi_{B}^{N}=-6 \gamma\)
无差异性： \(\pi_{B}^{Y}=\pi_{B}^{N} \quad \Rightarrow \quad \gamma=\frac{3}{5}\)
同理得： \(\theta=\frac{3}{5}\)
3）德军改良技术
支付矩阵
| G | |||
|---|---|---|---|
| Y | N | ||
| B | Y | (-8,-8) | (3,-6) |
| N | (-10,3) | (0,0) |
此时B具有占优策略Y
占优策略 \(N E:(Y, N)\)