{r setup, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
1.为治理空气污染问题, 其他政府尝试污染权交易制度。政府 将总量为 \(\bar{Q}\) 的污染排放许可证免费分配给 \(\mathrm{N}\) 家不同的企业。假设企业 \(\mathrm{i}\) 免费获得的初始污染证数量是 \(Q_{i}^{0} 。\) 显然我们有 \(\bar{Q}=\sum_{i=1}^{N} Q_{0}^{n}\) 。企业可以在 市场上自由买卖这些污染权证数量。显然, 如果 \(Q_{i}>Q_{i}^{n},\) 企业必须从 市场上购买额外的污染权证, 反之则卖出污染权证。设 \(C_{i}\left(Q_{i}\right)\) 是企业 的污染减排成本, \(C_{i}^{\prime}\left(Q_{i}\right)<0, C_{i}^{\prime}\left(Q_{i}\right)>0_{\circ}\) 设 \(\mathrm{P}\) 为污染权证的市场价格。
1)考虑污染权证交易市场完全竞争。请写下企业 } i 的减排成本最 优化问题并写下企业的污染排放的最优条件。请问在该制度下，不同 企业的减排活动有什么重要特征? 该制度是帕累托有效的吗?
(3)设在污染权证市场上，企业 1 拥有垄断定价权，其它企业都 是价格跟随者。请分别写下企业 1 和其他企业的成本最小化问题以及 各自的污染物排放的最优条件。可考虑企业 1 选择污染权证价格以使 得自身的减排成本最小化。请问此时，污染权证制度是帕累托有效的 吗? 如果是帕累托有效的, 请解释你的答案。如果不是帕累托有效 的，请指出在什么条件下该污染权交易制度能实现帕累托有效的资源 配置。
Solution:
分析：首先对企业的行为进行分析。面对生产过程中的污染，一方面可以通过去污技术消去，另一方面可以购买污染权证。企业的行为无非是权衡两种方式的成本。
由于 \(Q_{i}>Q_{i}^{0}\)时，企业必须购买权证。故 \(Q_{i}\)表示企业去污过程中使用凭证的消除量。假设 \(\overline{Q}_{i}\) 表示企业i的总污染量，且为外生变量。则\(\overline{Q_{i}}-Q_{i}\)表示利用去污技术的消除量，该部分对应的成本为：
\(C_{i}\left(Q_{i}\right)=C_{i}\left(\overline{Q_{i}}-Q_ i\right)\)
由于 \(C_{i}^{\prime}(Q_i)=-C_{i}^{\prime}\left(\overline{Q_{i}}-Q_{i}\right)<0\) \(C_{i}^{\prime \prime}\left(Q_{i}\right)=C_{i}^{\prime \prime}\left(\bar{Q}_{i}-2 Q_i\right)>0\)
故企业的去污技术为污染量的单增凸函数
\(\min C_{i}=C_{i}\left(Q_{i}\right)+p\left(Q_{i}-{Q_{i}}^0\right)\)
FOC: \(\frac{d C_{i}}{d Q_{i}}=C_{i}^{\prime}\left(\alpha_{i}\right)+p=0\)
即： \(p=-C_{i}^{\prime}\left(R_{i}\right) \quad(\forall i=1,2 \cdots N)\)
ii)该制度下，任意企业i使得 \(p=-c_{i}^{\prime}\left(Q_{i}\right)\)，即使得两者去污方式的边际成本相等，，都等于市场价格p
iii)该制度帕累托有效，证明如下： \(\min : C=\sum_{i=1}^{n} C_{i}=\sum_{i=1}^{N}\left[C_{i}\left(Q_{i}\right)+P\left(Q_{i}-Q_{i}^0\right)\right]\)
st: \(\quad \sum_{i=1}^{N} C_{i}=\sum_{i=1}^{N}Qi ^{0}\)
\(\mathcal{L}=\sum_{i=1}^{n} C_{i}+\lambda\left[\sum_{i=1}^{N} Q_{i}-\sum_{i=1}^{N} Q_{i}\right]\)
Foc: \(\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_{i}}=c_{i}^{\prime}\left(\alpha_{i}\right)-\lambda=0\)
即： \(C_{i}^{\prime}(Q_i)=\lambda \quad(\forall i=1,2 \cdots N)\)
2)由1)知： \(p=-c_{i}^{\prime}\left(Q_{i}\right)\)
由于 \(C_{i}^{\prime}(Q_ i)\)单调，故存在一个反函数使得
\(Q_{i}=f_{i}(p)\)，即企业i的权证需求
权证市场总需求：
\(Q^{d}=\sum_{i=1}^{N} Q_{i}=\sum_{i=1}^{N} f_{i}(p)\)
均衡时： \(\sum^{N}_{i=1} f_{i}(p)=\sum^{N}_{i=1} Q_i^0=\overline{Q}\)
故 \(p=g(\overline{Q})\)(单调性得反函数)
因此均衡的价格是\(\overline{Q})\)的函数，与产权的初始分配无关。(科斯定理)
3)若企业1是价格领导者：
价格追随者\(i(i=2,3 \cdots \cdot N)\)的最优条件：
\(p=c_{i}^{\prime}\left(Q_{i}\right)\)
权证剩余需求：
\(Q_{1}=\overline{Q}-\sum^{N}_{i=2} Q_{i}=Q_{1}(p)\)
价格领导者1的最优条件：
\(\min : C_{1}=C_{1}\left(Q_{1}\right)+P\left(Q_{1}-Q_{1}^{0}\right)\)
\(Foc: \frac{d c_{1}}{d p}=c_{1}^{\prime}\left(Q_{1}\right) \cdot \frac{d{Q_1}}{d p}+p \cdot \frac{d Q_{1}}{d p}+\left(Q_{1}-Q_{1}^{0}\right)=0\)
当且仅当 \(Q_{1}=Q_{1}^0\)时；\(p=-c_1'(Q_1)\)，即帕累托最优。
即企业1对权证的需求为0时，能够达到帕累托最优，此时2-N相当于形成一个完全竞争市场，科斯定理成立。从整体上看，此时产权的初始分配会影响均衡价格。
2.生产均衡。考虑一个经济体有两种商品，1和2，它们都是用资本和劳动生产的。企业是价格接受者，产出价格由国际市场决定。商品1和商品2的产出系数为 \[ \begin{array}{l} q_{1}=\left(K_{1}\right)^{1 / 4}\left(L_{1}\right)^{3 / 4} \\ q_{2}=\left(K_{2}\right)^{3 / 4}\left(L_{2}\right)^{1 / 4} \end{array} \]
1)求出每个公司的边际成本。
2)用1)部分的结果把你的结果和斯托尔珀-萨缪尔森定理联系起来。
3)如果\(p{1}=2p{2}，\)，那么在均衡时\(w{L}=4w{K}\)
Solution:
\(\begin{aligned} \min : & c=w_{k} \cdot k+w_{l} \cdot l \\ s t: & q=k^{\alpha} l^{1-\alpha} \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \quad \frac{k}{l}=\frac{\alpha}{1-\alpha} \cdot\left(\frac{w_{l}}{w_{k}}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}k=\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\left(\frac{w_{l}}{w_{k}}\right)^{1-\alpha} q \\ l=\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)^{\alpha}\left(\frac{w_{k}}{w_{l}}\right)^{\alpha} \cdot q\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow c=\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)} w_{k}^{\alpha} w_{L}^{1-\alpha} \cdot q\)
\(\Rightarrow \quad m c=\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)} w_{k}^{\alpha} w_{l}^{1-\alpha}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}mc_{1}=4 \cdot 3^{-\frac{3}{4}} \cdot w_{k}^{\frac{1}{4}} w_{L}^{\frac{3}{4}} \\ mc_{2}=4 \cdot 3^{-\frac{3}{4}} \cdot w_{k}^{\frac{3}{4}} w_{L}^{\frac{1}{4}}\end{array}\right.\)
2)由于企业为价格接受者：
则 \(P_{1}=M C_{1}; P_{2}=M C_{2}\)
即 \(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left(\frac{w_{l}}{w_{k}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
Stolper-Samuelson 效应：
某一商品相对价格的上升，会使得该密集使用的生产要素的相对价格上升，即提高了该要素所有者的收入，这就是对外开放的一个重要意义。
\(p=\frac{p_{1}}{p_{2}} \uparrow \rightarrow\left(\frac{w_{l}}{w_{k}}\right) \uparrow \rightarrow \frac{k_{1}}{l_{1}} \uparrow, \frac{k_{2}}{l_{2}} \uparrow\)
3)由于 \(\frac{W_{l}}{W k}=\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{2}\)
当 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}=2\) 时， \(w_{L}=4 w_{k}\)
3.给定如下支付矩阵
| player B | |||
|---|---|---|---|
| L | R | ||
| player A | T | (a,b) | (c,d) |
| B | (e,f) | (g,h) |
如(T,L)是占优策略（Dominant Strategy )，则 a 到 h 间应满足什么关系?
如(T,L)是纳什均衡，则 a 到 h 间应满足什么关系?
如(T,L)和(B,R)都是纳什均衡，则 a 到 h 间应满足什么关系?
4)试求该题目的混合策略。
Solution:
1)若(T,L)是占优策略: \[ \left\{\begin{array}{ll} 对A而言： & a \geq e, \quad c \geq g \\ 对B而言 ：& b \geqslant d, \quad f \geqslant h \end{array}（取等号时为弱占优策略）\right. \]
2)若 \((T, L)\)时NE
\[ \left\{\begin{array}{ll} 对B而言： \in 1: & b \geqslant d \\ 对A而言: & a \geq e \end{array}\right. \]
3)若\((T,L),(B , R)\)是NE：
\((T , L)\)为NE: \(b \geq d, a \geq e\) \((B, R)\)为NE: \(h \geqslant f \quad g \geqslant c\)
4)混合均衡
假设A以\(\gamma\)选择T,B以\(\theta\)选择L ,且\((0<\gamma,\theta<1)\)
若A选T:
\(E \pi_{A}^{T}=\theta \cdot a+(1-\theta) \cdot c\)
若A选B: \(E \pi_{A}^{B}=\theta \cdot e+(1-\theta) \cdot g\)
由无差异性： \(E \pi_{A}^{T}=E \pi_{A}^{B}\)
得： \({\theta}^*=\frac{c-g}{c+e-a-g}\)
同理得：
\(\gamma^{*}=\frac{h-f}{b+h-f-d}\)
当且仅当 \(0<\theta^{*} , \gamma^{*}<1\)时，存在混合策略NE
即：
\((c-g)(e-a)>0\) \((b-d)(h-f)>0\)