(1)画出需求曲线、供给曲线、边际损耗曲线以及社会的边际成本曲线。
(2)如果企业不对污染采取措施,那么市场的均衡价格和产量是多少?
(3)请问社会最优的产量是什么?相应的污染成本为多少?
(4)请问污染的外部性造成的社会福利损失为多少?
(5)政府能否通过对产量征税从而达到社会最优产量水平?如果可以,如何征税?
solution：
1）图形 \(M C^{\text {social }}=p^{s}+M D=2+1.5 Q\)
2）企业不控制污染
均衡时： \(p_{s}=p_{d}\)
得：\(p=11 , \quad Q=9=c\)
3）社会最优： \(P d=M C^{\text {social }}\)
均衡时： \(p^{*}=12.8\)
污染： \(c^{*}=Q^{*}=7.2\)
4）污染的外部性造成的sw的损失
\(\begin{aligned} { \Delta SW } &=S W^{*}-S W \\ &=\int_{9}^{7.2}\left[p_{d}(a)-MC^{\text {socicl }}_{(Q)}\right] d Q \\ &=-4.05 \end{aligned}\)
5）假设对企业的单位产量征收t单位税收
则 \(p_{s}^{\prime}=2+Q+t\)
均衡时： \(p_{s}^{\prime}=p^{d}\)
得：\(Q^{\prime}=9-\frac{t}{2}\)
\(Q^{\prime}=Q^{*}=7.2\)
\(t^{*}=3.6\)
(5 分) 在该经济中找到一个竞争均衡。
(5 分) 证明下面这个分配; \(\left(\mathbf{x}_{\mathbf{1}}, \mathbf{y}_{\mathbf{1}}\right)=(1,1)\), \(\left(\mathbf{x}_{2}, \mathbf{y}_{2}\right)=(3,1)\) 是帕累托有效的。
(5 分) 上面一问中的分配能否在转移初始离赋的情况下成为一个竞争均 衡的分配？如果可以，说明如何转移以及相应的均衡价格。如果不行，说明 为什么?
(4)(10 分)现假设行为人 2 在商品 X 上的消费对行为人 1 能产生正的外部 性。特别地，现假设行为人 1 的效用函数为 \(\mathbf{u}_{1}\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}_{\mathbf{1}} ; \mathbf{x}_{2}\right)=\min \left\{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}+\mathbf{x}_{2}, \mathbf{y}_{\mathbf{1}}\right\} ;\) 其中 \(\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\) 和 \(\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\) 为行为人 1 在 X 和 \(\mathrm{Y}\) 商品上的消费，x \(_{2}\) 为行为人 2 在 \(\mathrm{X}\) 上的消费。假设行为人 2 的效 用函数以及两人的初始棕赋都不变，找出该经济中全部由帕累托有效的分配。
solution
1）假设
\(p=p_{x} / p_{y} ， p_{y}=1\)
效用最大化：
\(\max :\quad U_{1}=\min \left\{x_{1}, y_{1}\right\}\) \(st: p{x_{1}}+y_{1}=4 p\)
\(m a x:U_{2}=x_{2}^{2} y_{2}^{3}\) \(st: p x_{2}+y_{2}=2\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{4 p}{p+1} \\ y_{1}=\frac{4 p}{p+1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{4}{5 p} \\ y_{2}=\frac{6}{5}\end{array}\right.\)
市场2出清： \(y_{1}+y_{2}=2\)
得\(p^{*}=\frac{1}{4}\)
瓦尔拉斯均衡配置：
\(\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\frac{4}{5} , \frac{4}{5}\right)\)
\(\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(\frac{16}{5}, \frac{6}{5}\right)\)
2） \(\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,1), \quad\left(x_{2}, y_{2}\right)=(3,1)\)
帕累托最优的条件：
\(\max : U_{1}=\left\{x_{1}, y_{1}\right\}\)
st: \(\overline{U}_{2}=\left(4-x_{1}\right)^{2}\left(2-y_{1}\right)^{3}\)
最优条件：
\(y_{1}=\left\{\begin{array}{ll}x_{1} & \left(0 \leq x_{1} \leq 2\right) \\ 2 & \left(2 \leq x_{1} \leq 4\right)\end{array}\right.\)
将 \(\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,1),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(3,1)\)带入满足条件
3）假设转移后的禀赋为 \(\left(e_{x}^{1} , e_{y}^{1}\right) \quad\left(e_{x}^{2}, e_{y}^{2}\right)\) ，价格为p
则需求为： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{p e_{x}^{1}+e_{y}^{1}}{p+1} \\ y_{1}=\frac{p e_{x}^{1}+e_{y}^{1}}{p+1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{3\left(p_{x}^{2}+e_{y}^{2}\right)}{5 p} \\ y_{2}=\frac{2\left(p e_{x}^{2}+e^{2}_y\right)}{5}\end{array}\right.\)
令2）中分配为竞争性均衡，则： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{p e_{x}^{1}+e_{y}^{1}}{p+1}=1 \\ x_{2}=\frac{3\left(pe_{x}^{2}+e^{2}_y\right)}{5 p}=3\end{array}\right.\)
解得：p=0.5
且 \(e_{x}^{1}+2 e_{j}^{1}=3 \Rightarrow\left(e_{x}^{1}-1\right)+2\left(e_{y}^{1}-1\right)=0\)
即将1的禀赋x,y按照1:2的笔记转换，即价格比
4） \(U_{1}=\min \left\{x_{1}+x_{2}, y_{1}\right\} \quad U_{2}=x_{2}^{2} y_{2}^{3}\) 且 \(\left(e_{1}^{x} , e_{1}^{y}\right)=(4,0)\)
\(\left(e_{2}^{x}, e_{2}^{y}\right)=(0,2)\)
由于均衡时： \(x_{1}+x_{2}=e_{1}^{x}+e_{2}^{*} \equiv 4\)
故 \(U_{1}=\min \left\{4, y_{1}\right\}=y_{1}, \quad U_{2}=x_{2}^{2} y_{2}^{3}\)
帕累托有效配置：
\(x_{1}=0 \quad\left(\quad 0 \leqslant y_{1} \leqslant 2\right) \quad \cup \quad y_{1}=2 \quad\left(\quad 0 \leqslant x_{1} \leqslant 4\right)\)
瓦尔拉斯均衡的配置：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0 \\ y_{1}=4 p\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{4}{5 p} \\ y_{2}=\frac{6}{5}\end{array}\right.\right.\)
市场出清： \(x_{1}+x_{2}=4\)
\(\Rightarrow \quad p^{*}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \quad\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(0, \frac{4}{5}\right)\) \(\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(4, \frac{6}{5}\right)\)
给出餐饮业的长期供给曲线。并求长期中餐饮业可以容纳多少个企业?每个企业每 天提供多少份菜?每个企业每天的利润是多少?
作为一个典型企业，“老地方”的与长期均衡产量相伴随的短期总成本为: \(C(q)=q^{2}-990 q+250000,\) 其中 \(\mathrm{q}\) 为其每天提供的菜的份数。要使其短期平均成 本曲线达到最低点，“老地方”每天需要提供多少份菜?
给出“老地方”和整个餐饮业的短期供给曲线。
由于移民的进入，“老地方”所在城市的餐饮业 的市场需求增加为： \(Q=55000-50 P\) 。在非常短的时期内（既没有企业进入，现存企业也不能调整其 每天提供的菜的份数 )，餐饮市场的均衡价格是多少? 这个行业内的企业数量是多 少？每个企业每天提供多少份菜？每个企业每天的利润是多少?
\(\quad\) 短期内，现存的每家企业都可以调整其每天提供的菜的份数，但新的企业不能进入。 此时，重新回答（4）中各问题。
长期中，不但现存的每家企业都可以调整其每天提供的菜的份数，而且新的企业可 以进入，原有的企业也可以退出。在此条件下，重新回答（4）中个问题。
solution
1）完全竞争，成本不变行业：
\(A C_{\min }=10\)
则长期供给曲线为：
\(p=10\)
长期竞争均衡时的企业数量：
\(n=\frac{Q(10)}{500}=99\)
每家企业每天提供500份菜，利润为0
2）短期成本： \(c=q^{2}-990 q+250000\)
则 \(S A C=q-990+\frac{250000}{q}\)
令: \(\frac{d S A C}{d q}=1-\frac{250000}{q^{2}}=0\)
解得：
\(q^{*}=500\)
3）单个企业的短期供给：
\(p=M C\)，且 \(p \geqslant A V C_{\min }\)，存在固定成本
得：
\(q^{s}=\frac{p}{2}+495 \quad(p \geqslant 0)\)
行业的短期总供给为： \(Q^{S}=n q^{s}=\frac{79}{2} p+49005(p \geqslant 0)\)
4）极短期： \(n=99 , q^{s}=500\)
行业总供给不变： \(Q^{S}=99 \cdot 500=49500\)
均衡时： \(Q^{d}=55000-5 \cdot p=Q^{S}\)
解得： \(p=110\)
单个企业利润： \(\pi=p \cdot q-c(q)=50000\)
5）短期： \(n=99\)
均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}Q^{s}=\frac{99}{2} p+49005 \\ Q^{d}=55000-50{p} \\ Q^{s}=Q^{d}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p\dot=60.25 \\ q=525\end{array}\right.\)
单个企业利润：
\(\pi=p \cdot q-c(q)=25757\)
6）长期：n，q均不发生变化
长期均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}p=10 \\ Q=55000-50 p\end{array}\right.\)
解得： \(\begin{array}{ll}p=10 , & Q=54500 \\ n=109 & \pi=0\end{array}\)