1.\(\quad\) 蜜蜂对果园有正的外部效应。假定养蜂人的成本函数为: \(C_{H}(H)=H^{2} / 100\) ， 果园的成本函数为 \(C_{A}(A)=A^{2} / 100-H\) 。蜂蜜和苹果各自在完全竞争的市场 上出售，蜂蜜的价格是 2 ，苹果的价格是 3。

  1. 如果养蜂和果园独立经营，各自生产多少?

  2. 如果合并，生产多少?

  3. 社会最优的蜂蜜产量是多少？如果两个厂家不合并，那么如何补贴（数量补 贴）养蜂人才能使其生产社会最优的产量?

solution：

1）独立经营：

\(\max : \pi_{H}=2 \mathrm{H}-\frac{\mathrm{H}^{2}}{100}\)

\(\max : \quad \pi_{A}=3 A-\frac{A^{2}}{100}+H\)

\(Foc:\left\{\begin{array}{l}\frac{d \pi_{H}}{d H}=2-\frac{H}{50}=0 \\ \frac{d \pi_A}{d A}=3-\frac{A}{50}=0\end{array}\right.\)

解得：

\(\left\{\begin{array}{l}H^{*}=100 \\ A^{*}=150\end{array}\right.\)

2）合并：

\(\max : \pi=2 H-\frac{H^{2}}{100}+3 A-\frac{A^{2}}{100}+H\)

Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial H}=2-\frac{H}{50}+1=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial A}=3-\frac{A}{5 0}=0\end{array}\right.\)

解得： \(\left\{\begin{array}{l}H^{* *}=150 \\ A^{* *}=150\end{array}\right.\)

3）社会最优的养蜂量 \(H^{* *}=150\)

若对养蜂人进行补贴，单位H补贴t

max: \(\pi_{H}=2 H-\frac{H^{2}}{100}+t \cdot H\)

\(Foc: \frac{d \pi_{H}}{d H}=2+t-\frac{H}{50}=0\)

若\(H=150\)， 则 \(t=1\) 即单位H补贴1

2・假设股票市场有发生概率相等的两种状态，牛市或熊市，有两个投资策略不同的消费 者 \(a\) 和 \(b,\) 他们具有相同的效用函数 \(u=\ln x, x\) 代表消费者的股票价值 (单位: 万元)。 如果赶上牛市，消费者 \(a\) 和 \(b\) 的股票价值分别是 20 和 40 ，如果赶上熊市，双方股票价 值分别 40 和 20 。请回答下列问题:

1）求消费者 \(a\) 和 \(b\) 的股票价值期望值和期望效用（用公式表示即可）。

2）结合画图和数学公式，简单分析两名消费者的交易动机。

  1. 如果你来充当免费交易中介，你会为双方制定什么样的最优交易方案?

  2. 如果熊市发生，消费者 \(b\) 的股票价值为 0，重新回答上一问。

5）从实际情况来看，股票市场兴衰显然是无法准确预知的，消费者对涨跌都有各自的 看法。记消费者 1 认为牛市发生的概率为 \(p_{1}=\frac{1}{3},\) 消费者 2 认为牛市发生的概率为 \(p_{2}=\frac{2}{3}\), 概率介于 0 与 1 之间。如果两种状态下的总課赋为（ 60,40 )，求股票市场的契约曲线。

  1. 如果消费者 \(b\) 效用函数为 \(u=x,\) 其他条件维持 5 ) 不变, 求均衡交易价格比的范围。

solution：

1）若

\(\left\{\begin{array}{l}e_{A}=\left(w_{1}^{A}, w_{2}^{A}\right)=(20,40) \\ e_{B}=\left(w_{1}^{B}, w_{2}^{B}\right)=(40,20)\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}U_{A}=\frac{1}{2} \ln x_{1}^{A}+\frac{1}{2} \ln x_{2}^{A} \\ U_{B}=\frac{1}{2} \ln x_{1}^{B}+\frac{1}{2} \ln x_{2}^{B}\end{array}\right.\)

存在帕累托改进的区域，有交易动机

均衡时的价格比：不妨假设 \(p_{2}=1 , p=p_{1} / p_{2}\)

则 \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{20 p+40}{2 p} \\ x_{2}^{A}=\frac{20 p+40}{2}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{40 p+20}{2 p} \\ x_{2}^{B}=\frac{40 p+20}{2}\end{array}\right.\)

市场1出清： \(x_{1} A+x_{1}^{B}=6\)

\(\Rightarrow \quad p^{*}=1\)

最优交易方案： 牛市时B给A10万元 熊市时A给B10万元

完全消除风险

2）若 \(e_{B}=\left(w_{1}^{B}, w_{2}^{B}\right)=(40,0)\)

则

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{20 p+40}{2 p} \\ x_{2}^{A}=\frac{20 p+40}{2}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=20 \\ x_{2}^{B}=20 P\end{array}\right.\)

\(x_{1}^A+x_{1}^{B}=6\)

\(\Rightarrow \quad p^{*}=\frac{2}{3}\)

市场1出清： 最优交易方案： 牛市时B给A20万元 熊市时A给B40/3万元

此时双方共同承担风险

3）若 \(\left\{\begin{array}{l}U_{A}=\frac{1}{3} \ln x_{1}^{A}+\frac{2}{3} \ln x_{2}^{A} \\ U_{B}=\frac{2}{3} \ln x_{1}^{B}+\frac{1}{3} \ln x_{2}^{B}\end{array}\right.\)

求契约曲线： \(\left(w_{1}, w_{2}\right)=(60,40)\)

\(\max : U_{A}=\frac{1}{3} \ln x_{1}^{A}+\frac{2}{3} \ln x_{2}^{A}\)

\(st: \overline{U_{B}}=\frac{2}{3} \ln \left(60-x_{1}^{A}\right)+\frac{1}{3} \ln \left(40-x_{2}^{A})\right.\)

拉格朗日函数：

\(\mathcal{L}=\frac{1}{3} \ln x_{1}^{A}+\frac{2}{3} \ln x_{2}^{A}\) \(+\lambda\left[\overline{U_{B}}-\frac{2}{3} \ln \left(60-x_{1}^{A}\right)-\frac{1}{3} \ln \left(40-x_{2}^{A}\right)\right]\)

FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1^{A}}=\frac{1}{3 x_{1}^{A}}+\lambda \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6{0}-x_{1}^{A}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}^{A}}=\frac{2}{3x_{2}^{A}}+\lambda \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{40-x_{2}^{A}}=0\end{array}\right.\)

解得： \(160 x_{1}^{A}=60 x_{2}^{A}+3 x_{1}^{A} x_{2}^{A}\)

\(\left(0 \leqslant x_{1}^{A} \leqslant 60\right)\)

契约曲线过两个起始点，仅存在（100/3，100/3）处B承担所有风险，其他时刻均风险共担。

4）若 \(U_{B}=\frac{2}{3} x_{1}^{B}+\frac{1}{3} x_{2}^{B}\)

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{P w_{1} A+W_{2}^{A}}{3 P} \\ x_{2}^{A}=\frac{2\left(P w_{1}^{A}+W_{2}^{A}\right)}{3}\end{array}\right.\)

\(x_{1}^{B}=\left\{\begin{array}{c}\frac{p w_{1}^{B}+w_{2}^{B}}{p}_{0}<p<2 \\ {\left[0, \frac{p w_{1}^{B}+w_{2}^{B}}{p}\right] p=2} \\ 0\end{array}\right.\)

\(x_{2}^{B}=\left\{\begin{array}{cc}0 & 0<p<2 \\ \left[0, p w_{1}^{B}+w_{2}^{B}\right] & p{=2} \\ p w_{1}^{3}+w_{2}^{B} & p>2\end{array}\right.\)

\(x_{2}^{B}=\left\{\begin{array}{ll}0 & 0<p<2 \\ {\left[0, p w_{1}^{B}+w_2^{B}\right] } & p>2 \\ p w_{1}^{B}+w_{2}^{B} & p>2\end{array}\right.\)

当 \(0< P<2\)时， 市场2出清：

\(x_{2}^{A}+x_{2}^{B}=40\)

\(\Rightarrow \quad 0<p=\frac{60-w_{2}^{A}}{w_{1}^{A}}<2\)

\(\Rightarrow \quad 2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A}>60 \quad\left(w_{2}^{A} < 60\right)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{3} \leqslant p<2\)

若 \(p>2\)时，市场1出清：

\(x_{1} A+x_{2} A=60\)

\(\Rightarrow p=\frac{w_{2}^{A}}{180-w_{1}^{A}} < 2\)矛盾

若 \(p=2\)时，市场2出清：

\(x_{2}^{A}+x_{2}^{B}=\left[\frac{2\left(p w_{1}^{A}+w_{2}^{A}\right)}{B}, p w_{1}^{B}+w_{2}^{B}+\frac{2\left(p w_{1}^{A}+w_{2}^{A}\right)}{3}\right]\)

\(=\left[\frac{2\left(p w_{1}^A+w_{2}^{A}\right)}{3}, 40+60p-\frac{p w_{1}^{A}+w_{2} A}{3}\right]\)

\(=\left[\frac{4 w_{1}^{A}+2 w_{2}^{A}}{3}, 16-\frac{2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A}}{3}\right]\)

\(\Rightarrow \frac{4 w_{1}^{A}+2 w_{2}^{A}}{3} \leqslant 40 \leqslant 160-\frac{2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A}}{3}\)

\(\Rightarrow \quad 2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A} \leqslant 60\)

综上： \(\frac{1}{3} \leqslant p \leqslant 2\)

\(\left\{\begin{aligned} 当0 \leq & 2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A} \leq 6 , 时，p=2，对应为内部解 \\& 当 2 w_{1}^{A}+w_{2}^{A}>6 时, p=\frac{6_{0}-W_{2}^{A}}{w_{1}^{A}}，对应角点解 &\end{aligned}\right.\)

  1. \(\mathrm{A}\) 国居民对运动鞋的需求可以表示为: \(Q=13000-10 P,\) 其中 \(\mathrm{Q}\) 为运动鞋的年需求量, 单位为万双：P为运动鞋的价格，单位为元。 A 国运动鞋行业的市场供给曲线为: \(\mathrm{Q}=120 \mathrm{P}_{\circ}\)
  1. \(\quad\) 假设不存在进出口， \(\mathrm{A}\) 国运动鞋市场的均衡价格和产量分别为多少?

（2） 现在假设 A 国政府实施了开放政策，A 国居民能够以 80 元每双的价格从国际市场 上购买同样品质的运动鞋。新的市场均衡是什么? \(\mathrm{A}\) 过需要从国外进口多少双运动 鞋才能满足本国居民需求?

  1. \(\quad\) 在 \(\mathrm{A}\) 国运动鞋企业的游说下， \(\mathrm{A}\) 国全国人民代表大会通过了一项进口税法案: 对每 双进口运动鞋征收 \(12.5 \%\) 的关税。此时的市场均衡是什么? 这一法案能为政府带来 多少税收收入? 与（2）中的均衡相比，消费者剩余和生产者剩余分别变动了多少? A 国的净福利 (消费者剩余+生产者剩余+政府收入) 增加了还是减少了? 增加/减少 了多少?

  2. 假设 A 国全国人民代表大会通过的法案不是对每双运动鞋征收 \(12.5 \%\) 的关税，而是 实施了 1300 万双的进口配额, 即每年最多允许进口 1300 万双运动鞋。在此情况下, 重新回答（3）中的问题。并回答，如果 A 国政府打算把这一配额拍卖，最多能卖 多少钱?

solution：

1）国内市场均衡：

\(\left\{\begin{array}{l}Q^{d}=13000-10{p} \\ Q^{s}=120 p \\ Q^{d}=Q^{s}\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p=100 \\ Q=12000\end{array}\right.\)

2）对外开放 \(p=80\)

国内供给 \(Q^{s}=9600\)

国内需求： \(Q^{d}=12200\)

进口： \(Q^{s} f=Q^{d}-2 s=2600\)

3）对外开放：征税

税后价格： \(p_{t}=(1+t) p=90\)

国内供给： \(Q^{S}=10800\)

国内需求： \(Q^{d}=12100\)

进口 \(Q^{s} f=Q^{d}-2 s=1300\)

\(\left\{\begin{aligned} \Delta c s &=-121500 \\ \Delta p s &=102000 \\ T &=13000 \\ \Delta s w &=\Delta c s+\Delta p s+T=-6500 \end{aligned}\right.\)

4）对外开放：配额

配额获得者能够以80元/双 从国外进口1300万双，再在国内以 \(p(p \geq 80)\)的价格售出，获利 \(1300(p-80)\)万元。

此时国内消费者对国内厂商的需求为：

\(\left\{\begin{array}{l}Q_{d}^{\prime}=11700-10 p \quad \Rightarrow p=90 \\ Q_{s}=120 p\end{array}\right.\)

即配额的价值为 \(V=13000\)

可以看出，一定的税收与配额等价，即各个经济体的福利变化一样

但征税比配额更有效率，因为配额时会发生寻租行为。