1.A、B、C三个企业,污染水平如表所示
| 初始污染水品 | 治理单位污染成本 | |
|---|---|---|
| A | 70 | 20 |
| B | 80 | 25 |
| C | 50 | 10 |
政府要把污染控在120单位,并为每个企业免费发放40单位的污染牌照
1)作图说明牌照的供给函数,需求函数及均衡价格
2)谁是买者?谁是卖者?均衡时各自排放多少?
3)均衡结果与初始禀赋有关吗?
Solution:
1)入刑如下，均衡价格 \(p^{*}=20\)
2)当均衡价格为 \(p^{*}=20\)时，B为买者，C为卖者，A无差异
\[\begin{cases} 其中B排放80，购买40单位牌照\\ C排放0，出售40单位牌照\\ A排放40单位，治理30单位\end{cases}\] 在产权价便宜市场存在的情况下，通过发放牌照控制总排污量。
3)科斯定理：若不存在交易成本，则产权的初始分配不影响均衡状态。
证明如下： 假设牌照的初始禀赋为 \(\left(e_{A} , e_{B} , e_{C}\right)\) ，其中 \(e_{A}+e_{B}+e_{C}=120\)
则：
| 价格 | 超额需求 |
|---|---|
| \(0<P<10\) | 80 |
| \(P=10\) | c |
| \(10<P < 20\) | 30 |
| \(P=20\) | [-40,30] |
| \(P=P < 25\) | -40 |
| \(P=25\) | [-40,-120] |
| \(P>25\) | -120 |
均衡时：\(E D=0\)
由于只有当 \(p^{*}=20\)时，才可能出现ED=0
故 \(p^{*}=20\)与初始产权的分配无关
2.经济中存在一种商品，经济中有两种状态，产生状态 1 的概率为 \(\frac{3}{4},\) Alex 是风险中性的;Bev 是风险规避者，他的效用函数是 \(u(c)=\ln (1+c),\) 其经济的禀赋为 \(\left(w_{1}, w_{2}\right)=(100,200)\) 。
最大的均衡状态权益价格比率 (state claims price ratio) 是什么?
对于什么样的亭赋，使得风险中性者承担所有均衡风险?
不妨设 \(u_{A}=c, p_{2}=1 . \quad p=p_{1} / p_{2}\)
则两人的期望效用为： \(\left\{\begin{array}{l}E U_{A}=\frac{3}{4} c_{1}+\frac{1}{4} c_{2} \\ E U_{B}=\frac{3}{4} \ln \left(1+c_{1}\right)+\frac{1}{4} \ln \left(1+c_{2}\right)\end{array}\right.\)
首先求A,B的马歇尔需求(瓦尔拉斯需求)：
\(\left\{\begin{array}{l}c_{1}^{B}=\frac{3\left(p e_{1}^B+e_{2}^B+1-\frac{p}3\right)}{4 p} \\ c_{2}^{B}=\frac{p\left(e_{1}^{B}+1\right)+e_{2}^{B}-3}{4}\end{array}\right.\)
\(c_{1}^{A}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{p e_{1}^{A}+e_{2}^{\beta}}{p} & 0< p < 3 \\ {\left[\begin{array}{ll}\left.0 , \frac{p e_1^{A}+e_{2}^{A}}{p}\right] & p=3\end{array}\right.} \\ 0 & p>3\end{array}\right.\)
\(c_{2}^{A}=\left\{\begin{array}{ll}0 & 0<p<3 \\ {\left[0, p e_{1}^{A}+e_{2}^{A}\right]} & p=3 \\ p e_{1}^{A}+e_{2}^{A} & p>3\end{array}\right.\)
1)当 \(0<p<3\)时，有 \(c_{2}^{B}+c_{2}^{A}=\frac{p\left(e_{1}^{B}+1\right)+e_{2}^{B}-3}{4} <e_{2}\)，此时非均衡。
2)当 \(p=3\)时，此时A以\(1:3\)的比例任意搭配 \(c_{1}^{A} , c_{2}^{A}\) 能够达到均衡。
由禀赋约束：
\(\left\{\begin{array}{l}0 \leq c_{1}^{B} \leq 100 \\ 0 \leq c_{2}^{B}\leq200\end{array}\right.\)
得： \(3 e_{1}^{A}+e_{2}^{A} \geq 100\)
此时A承担所有的风险 (此时即为内部解，对应的禀赋为\(3 e_{1}^{A}+e_{2}^{A} \geq 100\))
3)当 \(p>3\)时(此时为角点解) ，由市场出清得： \(c_{1}^{B}=\frac{3\left(p e^{B}+e_{2}^{B}+1-\frac{p}3\right)}{4 p}=100\)
解得： \(p=\frac{3\left(1+e_{2}^{B}\right)}{401-3 e_{1}^{B}}=\frac{603-3 e_{2}^{A}}{101+3 e_{1}^{A}}\)
令\(p>3\)得，\(3 e_{1}^{A}+e_{2}^{A} < 100\) ，此时能达到角点的区域为\(3 e^{A}+e_{2}^{A} < 100\)
此时均衡价格为：\(p^{*}=\frac{603-3 e_1^{A}}{101+3 e^{A}}\)
此时A与B共同承担风险。
综上：均衡价格(均衡状态权益价格比率)所在的区间为： \(3 \leq p^{*} \leq \frac{603}{101}\)
3.具有固定成本的古诺（d’Aspremont和Motta 1994）认为一个同质的好行业有两个潜在的公司。市场需求由\(Q=S（1-p）给出，\)，其中\(S\)是市场规模，\(Q\)是行业产出。企业的固定边际成本为零，但如果它们是活跃的，则会产生固定成本（0，S/9）$。游戏的时间结构是：首先决定是否进入，然后在产品市场上进行竞争。对于以下三种不同形式的竞争，找出均衡数量、价格、利润、消费者剩余和福利：
公司独立地同时选择数量（古诺竞争）。
企业非合作选择价格（伯特兰竞争）。
3)企业设定数量（或价格，相当于）以便共同实现利润最大化（卡特尔）。
4)比较a到\(\mathrm{c}\)部分分析的三种竞争形式所产生的社会福利。
Solution:
1)古诺均衡
企业1利润最大化
\(\max : \pi_{1}=\left[1-\frac{1}{s}\left(q_{1}+q_{2}\right)\right] q_{1}-k\)
\(Foc: \frac{\partial {\pi}_{1}}{\partial q_{1}}=1-\frac{2}{s} q_{1}-\frac{1}{s} q_{2}=0\)
由对称性得反应函数：
\[ \left\{\begin{array}{l} q_{1}=\frac{s}{2}-\frac{1}{2} q_{1} \\ q_{2}=\frac{s}{2}-\frac{1}{2} q_{2} \end{array}\right. \]
解得：
\[ \left\{\begin{array}{l} q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=\frac{5}{3} \\ \pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=\frac{s}{q}-k>0(进入) \\ p^{c}=\frac{1}{3} \\ c s^{s}=\frac{2}{9} s \\ s w^{s}=\frac{4}{9} s-2 k \end{array}\right. \] 2)伯川德均衡：
第二阶段奇特进行价格竞争：
直至： \(P^{B}=P_{1}^{B}=P_{2}^{B}\) \(\pi_{i}^{B}=p^{B} \frac{s\left(1-p^{B}\right)}{2}-k=0\)
解得： \(p^{B}=\frac{1-\sqrt{1-\frac{8 k}{s}}}{2}\)
\(q_{1}^{B}=q_{2}^{B}=\frac{S\left[1+\sqrt{1-\frac{8 h}{s}}\right]}{4}\)
\(\pi_{1}^{B}=\pi_{2}^{B}=0\)
\(C S_{B}=S W_{B}=\frac{S\left[1+\sqrt{1-\frac{8 k}{s}}\right]^{2}}{8}\)
3)卡特尔均衡
联合利润最大化：
max: \(\pi=s(1-p) \cdot p-2 k\)
\(Foc: \frac{d{\pi}}{d p}=s(1-2 p)=0\)
解得：\(p^{m}=\frac{1}{2}\)
\(q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{s}{4}\)
\(\pi_{1}^{m}=\pi_{2}^{m}=\frac{s}{8}-k\)
\(c s^{m}=\frac{s}{8}\)
\(s w^{m}=\frac{3}{8} s-2 k\)
4)社会福利的比较
\(s w^{B}>s w^{c}>s w^{m}\)
市场竞争越激励，社会福利越大，消费者剩余越大。