1） 如果两位猎人能够达成一个最优捕获率，那么最优捕获率等于多少？
2） 如果每个猎人各自决策，那么他们选择的捕获率将是多少？请简要解释为什么猎人各自决策 的结果和第 1 问中得到的结果会存在差异。
3） 上述问题在经济学上被称为“公共地悲剧”。请简要说明什么是公共地悲剧。另请列举一种 解决办法，并说明条件和理由。
3.一个有垄断势力的企业面临的需求曲线为 \(P=100-3 Q+4 \sqrt{A}, \quad A\) 为广告费用，总成 本函数为 \(C(Q, A)=4 Q^{2}+100+A\) 。
1）试求企业利润最大化时的 \(P, Q, A\);
2）厂商利润最大化时，勒纳指数是多少?
4）从整个社会角度来看，最优的 \(P, Q, A\) 是多少?
solution
1）共同捕猎：
\(\begin{aligned} \text { max: } U=U_{1}+U_{2} &=4 q_{1}+50 r_{1}-r_{1}^{2}+4q_{2}+50 r_{2}-r_{2}^{2} \\ &=4000+50 r_{1}-r_{1}^{2}+50 r_{2}-r_{2}^{2} \end{aligned}\)
FOC:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial r_{1}}=50-2 r_{1}=0 \\ \frac{\partial U}{\partial r_{2}}=50-2 r_{2}=0\end{array}\right.\)
解得：
\(r_{1}^{*}=r_{2}^{*}=25\)
2）独自捕猎：
\(\begin{aligned} \max : U_{i} &=4 q_{i}+50 r_{i}-r_{i}^{2} \quad(i=1,2) \\ &=\frac{4000 r_{i}}{r_{1}+r_{2}}+50r_{i}-r_{i}^{2} \end{aligned}\)
FOC:\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial U_{1}}{\partial r_{1}}=50-2 \gamma_{1}+\frac{4000 r_{2}}{\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}=0 \\ \frac{\partial V_{2}}{\partial r_{2}}=50-2 r_{2}+\frac{4000 r_{1}}{\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}=0 \end{array}\right.\]
解得： \(r_{1}^{* *}=r_{2}^{* *}=\frac{25+\sqrt{2625}}{2} \doteq 38\left(\frac{25-\sqrt{2625}}{2}\right)\)
3）公地悲剧：过多的参与者追求有限的资源，每个参与者只考虑自己的理性决策，同样会对其他参与者产生负的外部效应。
体中由于效用函数中存在 \(4 q_{i}=\frac{4000 r_i}{r_{1}+r_{2}}\)项，即独自选择最优捕获率时选择的产量为 \(q_{i}\)，总体产量时给定的，就会影响到其他参与者的效用 \(U_{j}\)。
解决方案：
第三方干预：征税、许可证
利用科斯定理：产权界定、交易等
以本题为例：若对每个猎人的捕获量征收t单位的从量税，则
\(\max : \quad U_{i}=(4-t) q_{i}+50 r_{i}-r_{i}^{2}\)
\({Foc}: \frac{\partial U_{i}}{\partial r_{i}}=(4-t) \frac{4000 r_{j}}{\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}+50-2 r_{i}\)
若 \(r_{i}=r_{0}=25\) ，则 \(t^{*}=4\)
2.在纯交换经济中，存在两个消费者 A 和 B，他们的效用函数分别是 \(U_{A}=x_{A} y_{A}\) 和 \(U_{B}=2 x_{B}+y_{B},\) 消费者 \(\mathrm{A}\) 的初始課赋为 \((3,3),\) 消费者 \(\mathrm{B}\) 的初始京赋为 (2,7)
2）在价格比为 \(\mathrm{P}\) 的情况下，求两种商品的超额需求函数。
均衡价格比是多少?消费者 A 和 B 各自需求量是多少?
如果该经济的总京赋是 \((5,10),\) 求所有均衡轨迹。
如果该经济的总課赋是 \((10,10),\) 求所有均衡轨迹。
承接 5 )，消费者 A 的初始課赋为 (8,8) ，求均衡价格比。
solution：
1）图示
2）A的效用最大化：
\(\max : \quad U_{A}=x_{A} y_{A}\)
\(st: p x_{A}+y_{A}=3 p+3\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=x_{A} y_{A}+\lambda\left[3 p+3-p x_{A}-y_{A}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{A}}=y_{A}-\lambda p=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t_{A}}=x_{A}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{3 p+3}{2 p} \\ y_{A}=\frac{3 p+3}{2}\end{array}\right.\)
B的需求为：
\(x_{B}=\left\{\begin{array}{ll}0 & p>2 \\ {\left[0, \frac{2 p+7}{p}\right]} & p=2 \\ \frac{2 p+1}{p} & 0<p<2\end{array}\right.\)
\(y_{B}=\left\{\begin{array}{cc}2 p+7 & p>2 \\ {[0,2 p+7]} & p=2 \\ 0 & 0<p<2\end{array}\right.\)
综上：x,y的超额需求为：
\(E D x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3-7 p}{2 p} & p>2 \\ {\left[\frac{173 p}{2 p} \frac{7-3 p}{2 p}\right]} & p=2 \\ \frac{17-3 p}{2 p} & 0<p<2\end{array}\right.\)
\(E D_{y}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{7}{2} p-\frac{3}{2} & p>2 \\ {\left[\frac{3 p-17}{2}, \frac{7 p-3}{2}\right]} & p=2 \\ \frac{3}{2} p-\frac{17}{2} & 0<p<2\end{array}\right.\)
3）均衡时： \(E D x=E D y=0\)
当 \(p>2\)时，
\(p=\frac{3}{7}<2\)不符合
当 \(0<p<2\)时， \(p=\frac{17}{3}>2\)不符合
当 \(p=2\)时
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{9}{4} \\ y_{A}=\frac{9}{2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{11}{4} \\ y_{B}=\frac{11}{2}\end{array}\right.\)
此时为瓦尔拉斯均衡。
4）求 \(e=(5, 10)\)时的契约函数
\(\max : \quad U_{A}=x_{A} y_{A}\)
\(\overline {U}_{B}=2 x_{B}+y_{B}\)
\(x_{A}+x_{B}=5\)
\(y_{A}+y_{B}=10\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=x_{A} y_{A}+\lambda\left[\overline{U_{B}}-2\left(5-x_{A}\right)-\left(10-y_{A}\right)\right]\)
FOC:
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{A}}=y_{A}+2 \lambda=0\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{A}}=x_{A}+\lambda=0\)
解得：
\(y_{A}=2 x_{A} \quad\left( 0 \leq x_{A} \leq 5\right)\)
此时只存在内部解。
5） \(e=(10,10)\)时的契约曲线
内部解均衡：
\(y_{A}=2 x_{A} \quad\left(0 \leqslant x_{A} \leq 5\right)\)
对应区域：
此时 \(p^{*}=2\)，由A的禀赋约束：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{{p}^* e_{A}^{X}+e_{A}^{Y}}{2 p_{*}^{r}} \leq 1 \\ y_{A}=\frac{p^{*} e_{A}^{X}+e^{Y}_A}{2} \leq 10\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow 0 \leq e_{A}^{Y} \leq 20-2 e_{A}^{x}\)
角点解均衡：
契约曲线：
\(y_{A}=10 \quad\left(5 \leqslant x_{A} \leqslant 10\right)\)
对应的区域：
\(e_{A}^{Y} \geqslant 20-2 e_{A}^{X}\)
初始禀赋 \(E_{0}\)
若无约束： \(E_{0} \rightarrow E_{3}\)
有约束： \(E_{0} \rightarrow\left(E_{1}-E_{2}\right)\)
取决于均衡价格 \(p^{*}\)
6）若A的初始禀赋为： \(e_{A}=(8,8)\)
首先限定B的需求：确定 \(p^{*}\)的上限。
若 \(p>2\) 则 \(x_{B}=0\)，不可能达到角点解均衡
故 \(p^{*} \leq 2\)
其次限定A的需求：确定 \(p^{*}\)下限
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{8 p+8}{2 p}=4+\frac{4}{p} \geqslant 6 >5：一定满足角点解\\ y_{A}=\frac{8 p+8}{2}=4+4 p \geq 9：不一定满足角点解\end{array}\right.\)
令 \(y_{A} \geqslant 10 \Rightarrow p^{*} \geqslant \frac{3}{2}\)
综上 \(1.5 \leq p^{*} \leq 2\)
此时均衡为： \(y_{A}=10\) 且 \(\frac{20}{3} \leqslant x_{A}<7\)
\(E_{0}(8,8) \quad\left\{\begin{array}{l}E_{1}(7,10) \\ E_{2}(6.4,10) \\ E_{3}\left(\frac{20}{3}, 10\right)\end{array}\right.\)
3.一个有垄断势力的企业面临的需求曲线为 \(P=100-3 Q+4 \sqrt{A}, \quad A\) 为广告费用，总成 本函数为 \(C(Q, A)=4 Q^{2}+100+A\) 。
1）试求企业利润最大化时的 \(P, Q, A\);
2）厂商利润最大化时，勒纳指数是多少?
4）从整个社会角度来看，最优的 \(P, Q, A\) 是多少?
solution：
1）利润最大化：
\(\max : \pi=P(Q, A) \cdot Q-C(Q, A)\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial Q}=p_{2} \cdot Q+p(Q, A)-c_{Q}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial A}=p_{A} \cdot Q-c_{A}=0\end{array}\right.\)
解得：
\(Q^{*}=\frac{100}{3} \quad A^{*}=\frac{40000}{9} \quad p^{*}=\frac{800}{3}\)
2） \(L=\frac{p-m c}{p}=0\)
3）若 \(A=0\)，利润最大化：
\(\max : \pi=P(Q) \cdot Q-C(Q)\)
\(Foc: \frac{d \pi}{d Q}=100-6Q-8Q=0\)
解得：\(Q^{m}=\frac{50}{7}\)
4）社会最优：
\(\max : \quad s w=\int_{0}^{Q} p(t, A) d t-c(Q, A) .\)
FOC:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial S W}{\partial \alpha}=P(Q, A)-C_Q=0 \\ \frac{\partial S W}{\partial A}=\int_{0}^{Q} p_{A}(t, A) d t-C_A=0\end{array}\right.\)
解得 \(Q^{* *}=\frac{100}{3} \quad A^{* *}=\frac{40000}{9} \quad p^{* *}=\frac{800}{3}\)
附加：若 \(c(Q ,A)=4 Q^{2}+10Q+A\)
1）垄断厂商最优：
Q=15,A=900 ,P=175
\(L=\frac{p-c_{Q}}{p}=\frac{9}{35}\)
\(A=0\)时厂商最优：
\(Q^{m}=\frac{45}{4}\)
4）社会最优： \(Q^{* *}=30 \quad A^{* *}=3600 \quad P^{*}=250\)
垄断广告不足，有时也会出现垄断广告过剩。