1.通过比较两种技术，一个企业可以通过两种不同的技术，使用两种投入，即：z{1}\(和z{2}\)（例如，劳动力和资本），生产一种产出。技术1用生产函数表示 \[ q=\min \left\{z_{1}, z_{2}\right\} \] 对于所有的\(z{1}，z{2}\geq 0，\)technology 2由生产函数表示： \[ q=\frac{z_{1}}{3}+\frac{z_{2}}{3} \] 对于所有\(z{1}，z{2}\geq 0。\)输入价格是\(w{1}，w{2}\geq 0\)
1）技术1是否表现出规模不变的回报？技术2怎么样？
2）找到每种技术的成本函数\(c（w，q）\)。[提示：您不需要设置拉格朗日，在解释中使用一个数字就足够了。]
3） 假设公司想要生产一种特殊数量的产品\(\bar{q}\)。对于\(w{1}\)的哪些值，公司将使用\(1\)，对于哪些值，公司将使用\(2\)？
solution：
1）技术1：
\(\begin{aligned} q_{1}\left(t z_1, t z_{2}\right) &=\min \left\{t z_{1}, t z_{2}\right\} \\ &=\operatorname{tmin}\left\{z_{1}, z_{2}\right\} \\ &=t q_{1} \end{aligned}\)
技术2：
\(\begin{aligned} q_{2}\left(t z_{1}, t z_{2}\right) &=\frac{t z_{1}}{3}+\frac{t z_{2}}{3} \\ &=t\left(\frac{z_{1}}{3}+\frac{z_{2}}{3}\right) \\ &=t q_{2} \end{aligned}\)
2）技术1：
\(z_{1}=z_{2}=q\)
\(c_{1}\left(w , q_{1}\right)=\left(w_{1}+w_{2}\right) q_{1}\)
技术2： \(c_{2}\left(w, q_{2}\right)=3 \min \left(w, w_{2}\right) q_{2}\)
3）技术1,2均为规模报酬不变
且 \(m c_{1}=w_{1}+w_{2}\)
\(mc_{2}=3 \min \left\{w_{1}, w_{2}\right\}\)
令 \(w=\frac{w_{1}}{w_{2}}\)
故当 \(\frac{1}{2}<w<2\)时，使用技术2
当 \(w=\frac{1}{2}\)时：无差异
当 \(0<w<\frac{1}{2}\)或 \(w>2\)时，使用技术1
2.有两种商品 x 和 y，小丽的效用函数为 \(\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\), 小贾的效用函数为 \(\mathrm{u}=\max \{\mathrm{x}, \mathrm{y}\}\)
（1）请用无差异曲线在埃奇沃思矩形图中表示两个人的偏好。
（2）请猜想 x 和 \(y\) 的均衡价格有什么关系?
（3）猜猜在均衡的情况下，分配结果会是什么样?
solution
1）图示：
2）均衡价格\(p=\frac{p_{x}}{p_{y}}=1\)
若 \(p \neq 1\) ，不妨价格 \(p>1\)
则 \(\left\{\begin{array}{l}x_{J}=0 \\ y_{J}=p e_{x}^{J}+e^{J}_y\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{L}=0 \\ y_{L}=p e_{x}^{L}+e_{y}^{L}\end{array}\right.\)
且 \(y_{J}+y_{L}=p e_{x}+e_{y}>e_{y}\)
即y市场超额需求大于0，非均衡
若 \(p=1\)
此时 \(\left\{\begin{array}{l}x_{J}=0 \\ y_{J}=e_{x}^{J}+e_{y}^{J}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}x_{J}=e_{x}^{J}+e_{y}^{J} \\ y_{J}=0\end{array}\right.\)
L的 \(x_{L}\) 与 \(y_{L}\)以1:1任意搭配
故可能存在两个均衡。
3.图图示：
3.\(\mathbf{3} .\left(20^{\prime}\right)\) 假定某垄断厂商在进行最优决策时不仅要选择产量水平，而且还要选择一定的质量水平， 产品质量由一个连续变量 \(q\) 代表。该垄断厂商面临的市场需求函数为 \(p(x, q)=(1-x) q,\) 其中 \(p\) 为 价格， \(x\) 为产量 \((0<x<1), q\) 为质量水平; 厂商的成本函数为 \(C(x, q)=\frac{1}{2} q^{2}\) 。
1）请求出垄断厂商利润最大化的产量和质量水平。
2）请求出社会福利最大化的产量和质量水平。
3）垄断厂商利润最大化的质量选择与社会福利最大化的要求有何差异? 请用文字解释两者之间 存在差异的原因。
1）垄断厂商利润最大化：
\(\max : \pi=(1-x) q \cdot x-\frac{1}{2} q^{2}\)
FOC: \(\begin{aligned} \text { Foc: } \frac{\partial \pi}{\partial x} &=q(1-2 x)=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial q} &=(1-x) x-q=0 \end{aligned}\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}x^{m}=\frac{1}{2} \\ q^{m}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\)
2）社会福利最大化：
\(\max : \operatorname{sw}(x ,9)=\int_{0}^{x} p(t, q) d t-c(x , q)\)
Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial sw}{\partial x}=(1-x) q=0 \\ \frac{\partial s w}{\partial q}=x-\frac{1}{2} x^{2}-q=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x^{*}=1 \\ q^{*}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
note：产品质量的选择
1基本假设
市场需求 \(p(q , s)\) ，q为数量
成本函数\(c(q , s)\)，s为质量
2垄断厂商的最优选择
\(\max : \pi^{m}=p(q , s) \cdot q-c(q, s)\)
FOC:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi^m}{\partial q}=p(q \cdot s)+p_{q}(q \cdot s) q-c_{q}(q \cdot s)=0 \\ \frac{\partial \pi^{m}}{\partial s}=p_{s}(q \cdot s) \cdot q-c_{s}(q \cdot s)=0\end{array}\right.\)
3中央计划者的最优选择
\(\max : s w=\int_{0}^{q} p(x ,s) d x-c(q ,s)\)
FOC: \(\begin{aligned} Foc: & \frac{\partial s w}{\partial q}=p(q \cdot s)-c_{q}(q \cdot s)=0 \\ & \frac{\partial s w}{\partial s}=\int_{0}^{q} p_{s}(x \cdot s) d x-c_{s}(q \cdot s)=0 \end{aligned}\)
4比较静态分析
1）产量选择的差异
垄断厂商：\(p(q , s)+p_{q}(q ,s) q=c_{q}(q ,s)\)
中央计划者\(p(q , s)=c_q(q , s)\)
\(\Rightarrow\)
中央计划者实现p=mc
垄断厂商还要考虑q增加的价格效应
\(p_{q}(q \cdot s) \cdot q\)，故存在产量的扭曲
2）产品质量的选择差异
\(q^{m}<q^{*}\)
\(\left\{\begin{array}{l}垄断厂商p_{s}(q , s) \cdot q=c_{s}(q , s) \\ 中央计划者：\int_{0}^{q} p_{s}(x , s) d x=c_{s}(q , s)\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\)
垄断厂商：增加质量的边际成本\(c_s(q,s)\) =增加质量的边际收益\(p_s(q,s)\)
中央计划者：增加质量的边际成本 \(c_s(q,s)\) =增加质量的社会平均边际收益 \(\int_{0}^{q} p_{s}(x , s) d x=p_{s}(\bar{q}, s) q\)
\(\mathrm{s}^{m}\) 与 \(\mathrm{s}^{*}\)的大小时不确定的，要看具体的 \(p(q , s)\)与 \(c(q , s)\)而定，可能出现垄断质量供应不存，也可能出现垄断质量过度供应。
3）本题为例
\(\left\{\begin{array}{l}q^{m}<q^{*}：垄断质量供应不足 \\ s^{m}>s^{*}：垄断质量过度供给\end{array}\right.\)