1.投资于两种不同的资产一个投资者有冯诺依曼-摩根斯坦效用函数\(u（c）=-e^{-\alpha c}\)，\(c\)是消费，其中\(\alpha>0.^{39}\)世界上有两种状态，分别标为1和\(2，\)，这两种状态的可能性相同。有两种（相当极端的）资产，一种在状态1具有吸引力，另一种在状态2具有吸引力：
-资产1在状态1产生一个消费单位，而在状态2则没有。
资产2在状态1不产生任何收益，在状态2只产生一个消费单位。
-第一项资产的价格是\(\pi{1}\)，而第二项资产的价格是\(\pi{2}\)，为简单起见\(\pi{1}+\pi{2}=1。\)投资者从两项资产的w\(单位捐赠开始，但寻求平衡她的投资组合，以最大限度地提高他的预期效用。用\)x{1}\(表示他获得的第一项资产的单位数，用\)x{2}$表示第二项资产的单位数。
1）提出了投资者期望效用最大化问题。
2）找到效用最大化是购买资产1和2：\(x{1}\)和\(x{2}\)。
3)资产持有量如何随参数\(\alpha\)变化？解释。
4)投资者的风险厌恶与财富水平如何互动？多敏感,这个结果符合效用函数的规定吗？
3.有一个小贩在香山山道上出售一种只有他能编织的工艺品。周围有一定的群众在围观。 这个小贩没有固定成本，但编织一个工艺品的成本是 5。他们的反需求函数是 \(p\left(x_{1}\right)=60-4 x_{1},\) \(p\left(x_{2}\right)=40-\frac{2}{3} x_{2}\) (1) 求小贩的是优定价。 （2）假设有两个消费者，第一个的反需求函数是 \(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}_{1}\right)=125-30 \mathrm{y}_{1}, \quad \mathrm{p}\left(\mathrm{y}_{2}\right)=25-2 \mathrm{y}_{2}\) 并且这个小 贩实行“量大从优”的政策。即设定一个购买量 \(x\), 当购买量大于 \(x\) 的时候价格是 \(\mathrm{p}_{2}\), 购买量 小于 \(x\) 的时候，价格是 \(p_{1}, \quad p_{2}<p_{1}\) 。求这个购买限制量 \(x\) 和两个价格 \(p_{0}\) (提示: 在这个限制 量 \(x\) 下，第一个消费者会以 \(p_{1}\) 购买小于 \(x\) 的量，第二个消费者会以 \(p_{2}\) 购买大于 \(x\) 的量）
solution:
1)期望效用最大化：
\(\max : E u=-\frac{1}{2} e^{-\alpha x_{1}}-\frac{1}{2} e^{-\alpha x_{2}}\)
st: \(\pi_{1} x_{1}+\pi_{2} x_{2}=\left(\pi_{1}+\pi_{2}\right) w=w\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=-\frac{1}{2} e^{-\alpha x_{1}}-\frac{1}{2} e^{-\alpha x_{2}}+\lambda\left[w-\pi_{1} x_{1}-\pi_{2} x_{2}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{2} \alpha e^{-\alpha x_{1}}-\lambda \pi_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=\frac{1}{2} \alpha e^{-\alpha x_{2}}-\lambda \pi_{2}=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=w+\frac{\pi_{2}}{\alpha} \ln \frac{\pi_{2}}{\pi_{1}} \\ x_{2}=w+\frac{\pi_{1}}{\alpha} \ln \frac{\pi_{1}}{\pi_{2}}\end{array}\right.\)
2）比较静态分析： \(\left\{\begin{array}{l}\frac{d x_{1}}{d \alpha}=-\frac{\pi_{2}}{\alpha^{2}} \ln \frac{\pi_{2}}{\pi_{1}} \\ \frac{d x_{2}}{d \alpha}=-\frac{\pi_{1}}{\alpha^{2}} \ln \frac{\pi_{1}}{\pi_{2}}\end{array}\right.\)
若 \(\pi_{1}=\pi_{2}=\frac{1}{2}\)
此时 \(x_{1}=x_{2}=w\)，即不存在交易，此时两种转台的概率之比等于两种资产的价格之比，消费者能够实现两期消费的无波动，由于初始 \(x_{1}^{0}=x_{2}^{0}=w\)，故不用参与交易（联想公平保险时的投保edu）
若 \(0\leq\pi_{1}<\frac{1}{2}<\pi_{2} \leq 1\)
此时 \(x_{1}>w>x_{2}\)，且 \(\frac{d x_{1}}{d \alpha}<0 , \frac{d x_{2}}{d \alpha}>0\) 此时 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}=1>\frac{\pi_{1}}{\pi_{2}}\)，类似于保险市场的非公平定价，消费者认为 \(\pi_{2}\)偏高。因此更多购买 \(x_{1}\)，但随着 \(\alpha \uparrow\)，消费者平滑的意愿 $ $，即分享厌恶程度 $ $，使得 \(x_1\downarrow\)
3）风险厌恶程度 \(R_{A}(c)=-\frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^{\prime}(c)}=\alpha\)
绝对风险厌恶程度恒定，即风险厌恶程度，不随收入的 \(\uparrow\) 而 \(\uparrow\) 或 \(\downarrow\)
这一经济的均衡。
若小李的初始禀赋为 \((5,0),\) 均衡价格比是多少?小李的效用相对于禀赋为 (30,0) 时 有何变化?
solution：
\(\left\{\begin{array}{l}U_{l}=\min \left(x_{1}^{l}, x_{2}^{l}\right) \\ U_{z}=\min \left(x_{1}^{z} , \sqrt{x_{2}^{z}}\right)\end{array}\right.\)
1)契约曲线
\(p_{1}>0\) \(p_{2}>0\)
2）瓦尔拉斯均衡：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{l}=x_{2}^{l} \\ x_{1}^{z}=\sqrt{x_{2}^{z}}\end{array} \quad \Rightarrow\right.非均衡\)
初始禀赋 \(E_{0}\)，价格
\(p=\frac{p_{1}}{p_{2}}\) （ \(p_{1}>0\) 且 \(p_{2}>0\)）
\(l: E_{0} \rightarrow E_{L} \quad \Rightarrow\) \(z: E_{0} \rightarrow E_{z}\)
\(p_{1}=0\) \(p_{2}>0\)
\(\begin{array}{l}l: \quad E_{0} \rightarrow E_{1}-E_{2} \\ z: \quad E_{0} \rightarrow E_{3}-E_{4}\end{array} \Rightarrow E_{1}-E_{3}为均衡配置\)
\(P_{1}>0 , P_{2}>0\)
\[\left\{\begin{array}{ll} l: & E_{0} \rightarrow E_{l} \\ z: & E_{0} \rightarrow E_{z} \end{array} \Rightarrow\right.非均衡\]
综上：通过对整个区域的分析，契约曲线对应1）中的区域，且均衡价格为 \(p_{1}=0 , p_{2}>0\) 。
\(p_{1}=0 . \quad D z_{1} \leq 0\)即存在1的超额供给，这源于两者效用函数以及禀赋的特殊性。
3）本题
\(e_{L}(30,0) , e_{z}(0,20)\)
\(p_{1}>0 , p_{2}>0\)，非均衡
\(p_{1}=0 , p_{2}>0\)，君合配置
\(p_{1}=0 , p_{2}>0\)
\(p_{1}>0 , p_{2}=0\)
此时： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{l}=30 \\ x_{2}^{l}=30>E_{2}=20\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{z}=0 \\ x_{2}^{z}=[0,20]\end{array}\right.\)
市场1存在超额需求，非均衡
为何此时L退至 (30,20)的角点解不合理？
瓦尔拉斯均衡允许\(E D_{i}<0\) 的情况，此时 \(p_{i}=0\) ，即存在过剩资源，但不允许 \(E D_{i}>0\) ，此时供不应求。 \(p_{i}>0\)为不应是0
契约曲线
瓦尔拉斯均衡
若\(p_{1}>0\)且 \(p_{2}>0\)，令 \(p=\frac{p_{1}}{p_{2}}\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{l}=x_{2}^{l}=\frac{p e_{1}^{l}+e_{2}^{l}}{p+1} \\ p x_{1}^{z}+x_{2}^{z}=p e_{1}^{z}+e_{2}^{z} \\ x_{1}^z=\sqrt{x_{2}^{z}} \\ x_{1}^{z}+x_{1}^{z}=5\end{array}\right.\)
均衡点为 \(A(0.5，0.5)\)
此时 \(x_{1}^{l}=x_{2}^{l}=\frac{p e_{1}^{l}+e_{2}^{l}}{p+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow p=\frac{1-2 e_{2}^{l}}{2 e_{1}^{l}-1}>0\)
\(\Rightarrow \quad e_{1}^{l}>\frac{1}{2}\) 且 \(0<e_{2}^{l}<\frac{1}{2}\) 或 \(0<e_{1}^{l}<\frac{1}{2}\) 且 \(e_{2}^{l}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \exists p_{i}=0\)的区域为：
\(\left\{\left.\left(e_{1}^{L}, e_{2}^{L}\right)\right| {0}<e_{1}^{2}<\frac{1}{2}, e_{2}^{L}>\frac{1}{2} , e_{1}^{2}>\frac{1}{2}, 0<e_{2}^{L}<\frac{1}{2}\right\}\)
若\(p_{2}=0\)或\(p_{1}=0\)
若 \(p_{2}=0 , p_{1}>0\)
\(\left\{\begin{array}{ll}l: & E_{1}-E_{l} \\ z: & E z-E_{3}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad E z-E_{l}\)为均衡配置
若 \(p_{1}=0 , p_{2}>0\)
\(\left\{\begin{array}{ll}l: & E_{0} \rightarrow E_{4} \\ z= & E_{0} \rightarrow E_{5}-E_{6}\end{array} \Rightarrow\right.非均衡\)
剩余区域同样可验证 \(\forall p_{1} , p_{2} \geqslant 0\)为非均衡。
\(e_{l}(5,0) , e_z(0,20)\)
若 \(p_{1}>0 , p_{2}>0 .\)
此时 \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{l}=x_{2}^{l}=\frac{5 p}{p+1} \\ p x_{1}^{z}+x_{2}^{z}=20 \quad \Rightarrow p^{*}=\frac{1}{9} \\ x_{1}^{z}=\sqrt{x_2^{z}} \\ x_{1}^{l}+x_{1}^{z}=5\end{array}\right.\)
若 \(p_{2}=0 , p_{1}>0\)，此时
\(\left\{\begin{aligned} l: & E_{0} \rightarrow E_{1}-Q_{z} 无差异\\ & \quad\left(E_{1}-\alpha_ z\right.)\\ z: & Q_ z-E_{0} 无差异\end{aligned}\right.\)
\(\Rightarrow \quad Q_{z}-E_{1}\)为均衡配置
若 \(p_{1}=0 , p_{2}>0\)
\(\left\{\begin{array}{ll}L: & O_{L}-E_{0}无差异\\ z: & E_{0} \rightarrow E_{1}-O_{L}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\)均衡配置\(O_L-E_1\)
若考虑实际情况，则 \(p_{1}=0 , p_{2}>0\)不符合，因为 \(e_{1}<e_{2}\)。商品1相对稀缺，不应是 \(p_{1}=0\) 而是 \(p_{2}=0\)，不过从一般均衡分析，此时确实存在帕累托最优的配置。
3.有一个小贩在香山山道上出售一种只有他能编织的工艺品。周围有一定的群众在围观。 这个小贩没有固定成本，但编织一个工艺品的成本是 5。他们的反需求函数是 \(p\left(x_{1}\right)=60-4 x_{1},\) \(p\left(x_{2}\right)=40-\frac{2}{3} x_{2}\)
（2）假设有两个消费者，第一个的反需求函数是 \(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}_{1}\right)=125-30 \mathrm{y}_{1}, \quad \mathrm{p}\left(\mathrm{y}_{2}\right)=25-2 \mathrm{y}_{2}\) 并且这个小 贩实行“量大从优”的政策。即设定一个购买量 \(x\), 当购买量大于 \(x\) 的时候价格是 \(\mathrm{p}_{2}\), 购买量 小于 \(x\) 的时候，价格是 \(p_{1}, \quad p_{2}<p_{1}\) 。求这个购买限制量 \(x\) 和两个价格 \(p_{0}\) (提示: 在这个限制 量 \(x\) 下，第一个消费者会以 \(p_{1}\) 购买小于 \(x\) 的量，第二个消费者会以 \(p_{2}\) 购买大于 \(x\) 的量）
solution：
两类消费者的需求曲线存在内部交点，与不存在内部点的情况相比，此时不能严格地区分市场，定价方式也更加复杂。
1）由于群众微观，故无法区分消费者类型。此时只能定一个价格。
若同时供应：
\(\max : \pi=(p-5)\left(15-\frac{1}{4} p+60-\frac{3}{2} p\right)\)
st: \(\quad p \leq 40\)
Foc:\(\frac{d \pi}{d p}=\frac{335}{4}-\frac{7}{2} p=0\)
解得： \(p^{*}=23.92<40\)符合
此时利润
\(\pi^{*}\dot=627\)
若只供应第一类消费者 \(\max : \pi=(p-5)\left(15-\frac{1}{4} p\right)\)
st : \(p \geqslant 40\)
Foc：\(\frac{d \pi}{d p}=\frac{75}{4}-\frac{1}{2} p<0 \quad(p \geqslant 40)\)
\(\pi_{\max }=175<\pi^{*}\)
综上：小贩的最优定价为：23.92
2)通过设定一个x，使得1以 \(p_{1}\) 购买 \(x_{1}\) ，2以 \(p_{2}\)购买 \(x_{2}\)，从而区分了不同类型的消费者，此时存在3个问题。
在消费者已被区分的前提下，最优化的 \(p_{1},p _{2}\)应该定为多少？
为何此时能够通过设定一个x区分消费者？
最优的x应该满足什么条件？
若已经被区分，最优的定价同三级价格歧视的情况
此时能够通过设定x区分的原因在于两者的需求函数存在内部交点。若不存在，则无法通过设定x区分，而只能通过二级价格歧视中的组合定价。
不存在内部交点时，在无法区分的情况下若直接实行三级价格歧视，则1会选择 \(p_{2}\)，购买 \(q_{2}^{\prime}\)。若此时入本题一样设定x,则无效，因此1可以选择 \(q_{1}\)以 \(p_{2}\)的价格，此时1的消费者剩余依然上升。
当存在内部交点时，在无法区分的情况下若直接实行三级价格歧视，则1会选择 \(p_{2}\)购买 \(x_{2}^{\prime}\)，2不会像着偏离 ，措辞是设定 \(x_{1}<x<x_{2}\)，使得1只能以 \(p_{2}\)购买大于x的部分。
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}<x \leq x_{2}^{\prime} ，无约束作用 \\ x_{2}^{\prime}<x<x_{2}，可能有约束作用\end{array}\right.\)
随着x的增加，1的消费者剩余会下降。
最优的x应该使得：1以 \(p_{1}\)的价格购买 \(x_{1}\)的消费者剩余与以价格
\(p_{2}\)购买x的消费者剩余无差异。
首先求三级价格歧视时定价。
利润最大化：
\(\max : \pi=\left(p_{1}-5\right)\left(\frac{2 5}{6}-\frac{1}{30} p_{1}\right)+\left(p_{2}-5\right)\left(\frac{25}{2}-\frac{1}{2} p_{2}\right)\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}=\frac{25}{6}-\frac{1}{30} p_{1}-\frac{1}{30} p_{1}+\frac{1}{6}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}}=\frac{25}{2}-\frac{1}{2} p_{1} -\frac{1}{2} p_{1}+\frac{5}{2}=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=75 \\ p_{2}=15\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{5}{3} \\ x_{2}=5\end{array}\right.\)
此时 \(C S_{1}=\frac{125}{3}\)
x应满足 \(\frac{22}{6}<x<5\)
若1以 \(p_{2}=15\)购买x单位，则：
\(\begin{aligned} c s_{1}^{\prime} &=\int_{0}^{x}\left(125-30 x_{1}-15\right) d x_{1} \\ &=10 x-15 x^{2} \end{aligned}\)
令\(CS_{1}=C S_{1}^{\prime}\) ，解得： \(x=6.93\)或0.4
此时不存在这样的x能够区分市场。
题目会议的问题，若延用1）中的需求函数，则存在
若 \(p\left(x_{1}\right)=60-4 x_{1} \quad p\left(x_{2}\right)=40-\frac{2}{3} x_{2}\)
此时：
\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=32.5 \\ p_{2}=22.5\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=6.875 \\ x_{2}=26.25\end{array}\right.\)
解得：\(x_{2}^{\prime}=9.375\)
\(c s_{1}^{\prime}=\int_{0}^{x}\left(60-4 x_{1}-9.375\right) d x_{1}\)
\(CS_{1}=94.53125\)
\(x=10.75\)
综上： \(p_{1}=32.5 , \quad p_{2}=22.5, \quad 1 0.75<x<26.25\)