proof：因势利导——不等式情形
由于
\(\frac{1}{2} U(w-1)+\frac{1}{2} U(w+2) < U(w) \quad(100 \leq W \leq 200)\)
则： \(\sum_{w=100}^{200} U(w)>\frac{1}{2} \sum_{w=100}^{200} U(w-1)+\frac{1}{2} \sum_{w=100}^{200} U(w+2)\) \(+\frac{1}{2} \sum_{100}^{200} U(w)+\frac{1}{2}[U(201)+U(202)-U(100)-U(101)]\)
则： \(\begin{aligned} U(99)+U(202)+U(201) &<U(200)+U(100)+U(101) \\ & < U(201)+U(101)+U(b 1) \end{aligned}\)
\(< U(201)+U(101)+U(101)\) 因此 \(U(99)+U(202)<2U(101)\)
在埃奇沃思盒中画出这一情形;
\(p_{1}\) 和 \(p_{2}\) 之间的均衡关系是什么?什么是均衡分配?
如果 \(Z\) 的效用函数是 \(U_{L}=x_{1}^{Z}+3 x_{2}^{Z},\) 均衡价格比是多少?
如果 \(Z\) 的效用函数是 \(U_{L}=\max \left\{x_{1}^{Z}, x_{2}^{Z}\right\},\) 均衡价格比是多少?
如果 \(Z\) 的效用函数是 \(U_{L}=x_{1}^{Z} x_{2}^{Z}\) ，均衡价格比是多少?
solution：
交换经济中的一般均衡主要涉及两个变量：效用函数的类型以及总課赋的比 例。两者共同影响最终形成的竞争性均衡以及契约曲线的形状。大致可分为以下 组合: 全替代 完全互补 \(C-D\) Stone-Geary Ex/Ey=1 拟线性 最大值 特殊效用 Ex/Ey>1
\(p=\frac{p_{x}}{p_{y}}\) \(\frac{a}{b}\) \(U=a x+b y\)
1.完全替代+完全互补——本题
1）契约曲线
\(\left\{\begin{array}{l}U_{A}=x_{A}+y_{A} \\ U_{B}=\min \left\{x_{B} , y_{B}\right\}\end{array}\right.\)
契约曲线： \(Y_{A}=X_{A}\left(0 \leqslant X_{A} \leqslant E_{x}\right)\)
\(Y_{A}=\left\{\begin{array}{cl}X_{A}+E_{Y}-E_{X} & E_{X}-E_{Y} \leq X_{A} \leq E x \\ 0 & 0 \leqslant X_{A} \leqslant E_{X} E_{Y}\end{array}\right.\)
2）瓦尔拉斯均衡
1）内点解：
\(Y_{A}=X_{A}+E_{Y}-E_{X}\)
若 \(P=\frac{P_{X}} {P_Y}=1\)：
\(\left\{\begin{array}{l}X_{B}=Y_{B}=\frac{P e_{x}^{B}+e_{Y}^{B}}{P+1} \Rightarrow \\ X_{A} , Y_{A}任意组合\end{array}\right.\)
此时能够达到均衡状态
若 \(p=p_{X} / p_{Y} \neq 1\)
\(\left\{\begin{array}{l}X_{B}=Y_{B}=\frac{p \cdot e_{x}^{B}+e_{Y}^{B}}{P+1} \\ X_{A}=Y_{A}=0 \quad\left( 令X_{A}=0\right)\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow X_{A}+X_{B}\) 不一定等于 \(E_X\)
\(\Rightarrow\) 非均衡
2）角点解：
\(Y_{A}=0\)
若\(p=\frac{p_x}{p_y}>1\) ，则\(x_{A}=0\)，为非均衡
若 \(p=\frac{p_{X}}{p_{Y}} \in[0,1]\)，则为均衡状态，无交易 【注意此时可能取到0，但还是无交易】
3）效用函数中的参数问题
\[\left\{\begin{array}{l} U_{A}=a X_{A}+b Y_{A} \\ U_{B}=\min \left\{c X_{B}, d Y_{B}\right\} \end{array}\right.\] 参数的比例与 \(E_X / E_{Y}\) 有一定的替代关系
例如
\(U_{A}=X_{A}+Y_A\) \(U_{B}=\left\{2 X_{B}, Y_{B}\right\}\) \(E x / E y=1\)
2完全替代+完全替代——本题
\(\left\{\begin{array}{l}U_{A}=X_{A}+Y_{A} \\ U_{B}=X_{B}+3 Y_{B}\end{array}\right.\)
契约曲线
\(E_0\)为初始禀赋，阴影区域为帕累托改进的部分，m-n为可能达到的帕累托最优，\(o_A-n—o_B\)折线为契约曲线
瓦尔拉斯均衡
\(\left(p=p_{x} / p_{Y}\right)\)
\(0<p<\frac{1}{3}\) 此时 \(Y_{A}=Y_{B}=0 \quad \Rightarrow\)非均衡
\(p>1\) 此时， \(x_{A}=x_{B}=0 \quad \Rightarrow\)非均衡
\(\frac{1}{3} \leq p \leq 1\)
取等号性，其中一人以一定的比例任意组合，能达到均衡
不取等号： \(\left\{\begin{array}{lll}X_{A}=\frac{p e_{X}^{A}+e_{Y}^{A}}{p} & ; \quad Y_{A}=0 \\ X_{B}=0 & ; \quad Y_{B}=P e_{X}^{B}+e_{Y}^{{B}}\end{array}\right.\)
能够到达角点解均衡
\(\frac{1}{3}<p<1\)时：
\(\left\{\begin{array}{ll}A: & E_{0} \rightarrow E_A \\ B: & E_{0} \rightarrow E_B\end{array}\right.\)，退而求其次取\(E_B\)
3.完全替代与最大值
\(\left\{\begin{array}{l}U_{A}=X_{A}+Y_{A} \\ U_{B}=\max \left\{X_{B}, Y_{B}\right\}\end{array}\right.\)
契约曲线
\(E_{0}, E_{1}\)为初始禀赋，阴影区域为帕累托改进区域，\(m_i-n_i\)为可能达到的帕累托最优，四边为契约曲线
瓦尔拉斯均衡
若\(p=\frac{p_{X}}{p_{Y}} \neq 1\)，假设其大于1
\(\left\{\begin{array}{l}X_{A}=X_{B}=0 \\ Y_{A}=P e_{X}^{A}+e_{Y}^{A} \quad \Rightarrow \\ Y_{B}=P e_{X}^{B}+e_ Y^B\end{array}\right.\)
此时达不到角点解均衡
\(p>1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}A: & E_{0} \rightarrow E_{A}^{\prime} \\ B: & E_{0} \rightarrow E_{B}^{\prime}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}A: E_A ^{\prime}\rightarrow E_A^{\prime\prime} \\ B: E_{B}^{\prime} \rightarrow E _B^{\prime\prime}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\) 非均衡
若\(p=1\)
A以一定比例任意组合，足够能够达到角点解均衡，均衡点位A或B.
3、圆形城市，周长为1。企业的进入成本为\(f\)，边际成本为\(c\)。厂商进行 两阶段博亦：第一阶段决定是否进入; 第二阶段进入后均匀分布，进行 价格博亦。消费者的单位交通成本为t。
第二阶段的均衡价格
第一阶段的均衡数量
社会最优的均衡数量
solution:
1)第二阶段价格竞争
假设院上等距分布n个厂商，间距为 \(\frac{1}{n}\) ， \(\forall\)取第i个企业进行分析。
有对称性知：
\(P_{i-1}=P_{i+1}=P_{j}\)
则企业i的任一段需求x应满足
\(p_{i}+t x=p_{j}+t\left(\frac{1}{n}-x\right)\)
解得总需求：
\(D_{i}=2 x=\frac{1}{n}+\frac{P_{j}-P_{i}}{t}\)
利润最大化： \(\max : \pi_{i}=\left(p_{i}-c\right) p_{i}-f\)
\(Foc: \frac{\partial \pi_{i}}{\partial p_{i}}=\frac{1}{t}\left[p_{j}+c+\frac{t}{n}-2 p_{i}\right]=0\)
由对称性解得：\(p_{i}^{*}=p_{j}^{*}=c+\frac{t}{n}\)
2）第一阶段均衡的条件：
\(\pi_{i}^{*}=\frac{t}{n^{2}}-f=0\)
即\(n^{*}=\sqrt{\frac{t}{f}}\)
若\(\pi_{i}^{*}>0\)，则会有企业进入获得正利润
3）社会最优的数量
\(s w=c s+p s-T\)
由于总需求恒定，则 cs+ps不变，中央计划者目标为：
\(\min: T=2 n \int_{0}^{\frac{1}{2 n}} t \cdot x d x+n f\)
\(Foc: \frac{\partial T}{\partial n}=f-\frac{t}{4 n^{2}}=0\)
解得：
\(n^{* *}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{t}{f}}<n^{*}\)