1.关于被国税局审计的不确定性，考虑外生收入为\(y>0\)的纳税人，其面临的税率为\(t，\)，其中\(0<t<1。\)她被要求向政府报告收入水平\(x\)，并根据报告纳税，即\(t x\)。如果纳税人是诚实的，她将报告\(x=y\)，但她可能会通过报告较低的收入0\(\leq x<y来作弊。\)让\(z=y-x\)代表收入被低估的金额。政府不知道真正的收入是多少，必须通过审计和处罚制度来强制执行。假设纳税人所知的执行政策是以概率\(p审计报告，\)其中\(0<p<1。\)假设\(p\)是常数，因此独立于\(x。\)如果有审计，我们假设政府总是知道这个人的真实收入\(y。\)如果纳税人被发现作弊，除了逃税外，她还必须为每一美元的逃税收入支付罚款\(\theta\)。假设纳税人是风险厌恶型的，这意味着她的效用\(u（x）\)在收入上是增加的和凹的，并且她使预期效用最大化。
1)对于任何\(z，\)其中\(0\leq z<y，\)写出纳税人在两种可能情况中的每一种情况下将获得的收入：如果有审计和如果没有审计（请注意，消费者的选择变量是\(z\)）。
3)假设纳税人选择\(z^{*}>0\)。证明了最优值\(z^{*}\)在被审计的概率，\(p\)和被罚款的概率，\(\theta\)中都减小。[提示：使用隐函数定理。
4） 你能证明\(z^{*}\)随税率\(t单调变化吗？\)如果你不能给出一个明确的答案，用纳税人的预期效用最大化问题从a部分提供一个解释，一方面增加新台币如何提高作弊的动机，另一方面减少这些动机。
solution:
不欺诈：
税后收入
\(y_{0}=(1-t) y\)
税后效用
\(u_{0}=u\left(y_{0}\right)\)
欺诈：
税后收入分布： \(\left(\begin{array}{cc}p & 1-p \\ y_{1} & y_{2}\end{array}\right)\)
其中： \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=(1-t) y-\theta z \\ y_{2}=f-t x=(1-t) y+t z\end{array}\right.\)
期望效用：
\(E u_{1}=p u\left(y_{1}\right)+(1-p) u\left(y_{2}\right)\)
当 \(t=0\)，即不征税时，居民会选择逃税，此时的t即为最小的t
比较静态分析：
期望效用最大化：
\(\max : E u_{1}=P u\left(y_{1}\right)+(1-p) u\left({y}_{2}\right)\)
\(\frac{d E u_{1}}{d z}=-\theta p u^{\prime}\left(y_{1}\right)+t(1-p) u^{\prime}\left(y_{2}\right)=0\)
\(z^{*}=z^{*}(p, \theta , t)\)
对一阶条件取全微分得：
\(\left[-\theta^{2} p u^{\prime \prime}\left(y_{1}\right)-t^{2}(1-p) u^{\prime \prime}\left(y_{2}\right)\right] d z^{*}\)
\(=\left[-t u^{\prime}\left(y_{2}\right)-\theta u^{\prime}\left(y_{1}\right)\right] d p\)
\(+\left[-p u^{\prime}\left(y_{1}\right)+\theta p z^{*} u^{\prime \prime}\left(y_{1}\right)\right] d \theta\)
\(+\left[u^{\prime}\left(y_{2}\right)(1-p)+t(1-p) u^{\prime \prime}\left(y_{2}\right)\left(z^{*}-y\right)+\theta p y{u}^{\prime \prime}\left(y_{1}\right)\right) d t\)
即审查的概率p越小，惩罚力度\(\theta\) 越小，z越大，即 \(x=y-z\) 6越小，欺诈程度越大。
\(\frac{\partial z^{*}}{\partial t}\) 不确定
一方面：\(t\uparrow\) 会诱使居民逃避税力度 \(z{\uparrow}\)
另外一方面：\(t\uparrow\) 会使被审查时损失 \(\uparrow\)，从而使 \(z\downarrow\) \(\Rightarrow \frac{\partial z^{*}}{\partial t}\)
市场竞争均衡的（相对）价格和各人的消费量。
表示帕累托最优分配的契约线的表达式。
其它条件相同，如果 \(\mathrm{A}\) 的效用函数为 \(U\left(X_{A}, Y_{A}\right)=X_{A}+Y_{A},\) 求一般均衡价格 和契约线。
其它条件相同，如果 \(\mathrm{A}\) 的效用函数为 \(U\left(X_{A}, Y_{A}\right)=\min \left(X_{A}, Y_{A}\right),\) 求一般均衡价 格和契约线。
solution：
\(u_{A}=x_{A} y_{A}\) \(u_{B}=x_{B} y_{B}\)
求竞争性均衡，不妨假设 \(p_{y}=1 , p=p_{x} / p_{y}\)
i)效用最大化：
\(\max : u_{A}=x_{A} y_{A}\) st: \(p x_{A}+y_{A}=p e_{x}^{A}+e_{Y}^{A}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=x_{A} y_{A}+\lambda\left[p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}-p x_{A}-y_{A}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{A}}=y_{A}-\lambda p=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{A}}=x_{A}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}}{2 p} \\ y_{A}=\frac{p e^A_{x}+e_{y}^{A}}{2}\end{array}\right.\)
同理：\(\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{p e_{x}^{B}+e_{y}^{B}}{2 p} \\ y_{B}=\frac{p e^B_{x}+e_{y}^{B}}{2}\end{array}\right.\)
ii)x市场出清：
\(x_{A}+x_{B}=\frac{p e_{x}+e_{y}}{2 p}=e_{x}\)
解得：
\(p^{*}=\frac{e_{y}}{e_{x}}\)
此时瓦尔拉斯均衡价格只与总禀赋有关，而与禀赋的初始分配无关。
iii） \(\left(e_{x}, e_{y}\right)=(4,8)\)时， \(p ^*=2\)
2)契约曲线：
\(\max : u_{A}=x_{A} \cdot y_{A}\)
\(\left\{\begin{array}{l}{u_{B}}=x_{B} \cdot y_{B} \\ x_{A}+x_{B}=e_{x} \\ y_{A}+y_{B}=e_{y}\end{array}\right.\)
拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=x_{A} y_{A}+\lambda\left[{u}_{B}-\left(e_{x}-x_{A}\right)\left(e_{y}-y_{A}\right)\right]\)
FOC:\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_A}=y_{A}+\lambda\left(e_y-y_{A}\right)=0\) \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{B}}=x_A+\lambda\left(e_{x}-x_{A}\right)=0\)
解得： \(x_{A}=\frac{e_{x}}{e_{y}} \cdot y_{A} \quad\left( 0 \leq x_{A} \leq e_{x}\right)\)
带入参数得：
\(x_{A}=\frac{1}{2} y_{A}\left(0 \leq x_{A} \leq 4\right)\)
3)小结：
若A、B均为c-d效用函数，且A对x,y的支出份额\(\alpha,\beta\) 与B相同，则:
瓦尔拉斯均衡只与总禀赋有关
契约曲线为链接对角线的直线
若不相同，则\(p^{*}\)变化，契约曲线为连接对角的曲线。
note：9.14 2 ——国发2016-4
2）
\(u_{A}=x_{A}+y_{A}; u_{B}=x_{B} y_{B}\)
特殊效用函数可能会产生内点解，具体要看总禀赋的比例
契约曲线：
首先利用微积分求内点解
\(\max : u_{A}=x_{A}+y_{A}\)
st: \(u_{B}=\left(e_x-x_{A}\right)\left(e_Y-y_{A}\right)\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=x_{A}+y_{A}+\lambda\left[{u_{B}}-\left(e_{x}-x_{A}\right)\left(e_{Y}-y_{A}\right)\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_A}=1+\lambda\left(e_y-y_{A}\right)=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{A}}=1+\lambda\left(e_x-x_{A}\right)=0\end{array}\right.\)
解得： \(x_{A}=y_{A}+e_{x}-e_{y}\)
若 \(e_x=e_y\) ，契约曲线为 \(x_{A}=y_{A}\)，链接对角，此时无角点解
若 \(e_{x} \neq e_y\)，则 \(x_{A}=y_{A}+e_{x}-e_{y}\)为内点解。
其次利用图示法求角点解
也可以利用K-T条件，不过不直观且讨论复杂，若U不可微则不能使用。
\(e_{x}>e_{y}\) 图形 \(e_x<e_y\) 图形
瓦尔拉斯均衡
求瓦尔拉斯均衡时，需要考虑两个问题：
什么样的初始禀赋能够达到内点解、角点解
不同的初始禀赋对应着什么样的均衡价格
内点解所对应的禀赋以本题为例
若均衡价格不为1，则A只选择单种商品，不为内点解
若均衡价格为1，则\(x_{A},y_{A}\)任意搭配，不容易确定，以B为研究中心
此时：
\(x_{B}=y_{B}=\frac{e_x^{B}+e_{y}^{B}}{2}\)
由禀赋约束：\(0<x_{B}<{e_x}， 0<y_{B}<e_y\)
得： \(0<e_x^{B}+e_{y}^{B}<8\)
或 \(e_{x}^{A}+e_y^{A}>4\)
则角点解对应的初始禀赋为：
\(0<e_{x}^{A}+e_{y}^{A}<4\)
\(p^{*}\)如何随初始禀赋的变化而变化
i)\(e_x^{A}+e_y^{A}>4\): \(p^{*}=1\)，内点解
ii）
\(0<e_x^{A}+e_y^{A}<4\)角点解
若 \(0< p<1\)，则 \(y_{A}=0\) 此时为非均衡，不在契约曲线上
\((* *)\)
若 \(p>1\) ，则\(x_{A}=0 , \quad y_{A}=p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}\)
A的禀赋约束：
\(y_{A}=p e_{x}^{A}+e _{y}^{A} \leqslant 4\)
\(\Rightarrow \quad 1<p \leqslant \frac{4-e_{y}^{A}}{e_x^{A}}\)
若B到达角点解均衡，则不应使B的最优选择落在内部区域，而应该在外部，退而求次选择角点解。
由于 \(y_{B}=\frac{p e_{x}^{B}+e_{y}^{\beta}}{2}>\frac{e_{x}^{B}+e_{y}^{\beta}}{2}>4\)
故仅使 \(x_{B}=\frac{p e_{x}^{B}+e_{y}^{B}}{2 p} \geq 4\)即可
若小于4则为非均衡
则
\(1<p \leqslant \frac{e_{y}^{B}}{8-e_{x}^{B}}=\frac{8-e_{y}^{A}}{4-e_{x}^{A}}\)
综上： \(1 \leq p \leq \min \left\{\frac{4-e_{x}^{A}}{e_{y}^{A}}, \frac{8-e ^A_{y}}{4-e_x^{A}}\right\}\)
契约曲线：
\(\max : \min \left\{x_{A} , y_{A}\right\}\)
\(st: \quad u_{B}=\left(e_{x}-x_{A}\right)\left(e_{y}-y_{A}\right)\)
优化条件为： \(x_{A}=y_{A}\)
若\(e_x=e_{y}\)，只有内点解
若\(e_{x} \neq e_{y} , x_{A}=y_{A}\)为内点解，且存在角点解
\(E_{1}, E_{2}, E_{1}^{\prime}, E_{2}^{\prime}\)均为达不到的均衡，
\(E_{1} , E_{2}\)均没有帕累托改进的区域，为帕累托最优。
瓦尔拉斯均衡
内点解所对应的禀赋以 \(e_x<e_y\)为例
当且仅当 \(e^{A}_x=e_x\) 且 \(e_{x} \leq e_{y}^{A} \leq e_{y}\)时，不能实现内点均衡：
\(E_{1}, E_{2} , E_{3}\) 均攥在帕累托改进的区间，都可以取角点解， \(E_{4}\) 不存在改进可能， \(E_{4}^{\prime}\)，为角点解
瓦尔拉斯均的价格：
内点解：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}}{1+p} \\ y_{A}=\frac{p e_{x}^{A}+e_{y}^{A}}{1+p}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{p e_x^{B}+e^{B}_y}{2 p} \\ y_{B}=\frac{p e_{x}^{B}+e_{y}^{B}}{2}\end{array}\right.\)
利用市场出清求出 \(p^{*}\)
角点解：此时即为均衡状态，无需交易。
3.回想一下15.5的例子中线性海滩上的Hotelling竞争模型。$为简单起见，假设冰淇淋摊只能位于直线段的两端（分区禁止在海滩中间进行商业开发）。这个问题要求你分析一个涉及产品扩散的进入阻止策略。
1)考虑子游戏，公司\(a\)有两个冰激凌摊，一个在海滩的两端，B\(和\)a$一起位于右端点。这个子博弈的纳什均衡是什么？提示：伯特兰竞争在正确的终点接踵而至。
2)如果\(b\)必须降低\(K{b}\)的进入成本，考虑到\(A\)公司处于市场的两端，并且在进入后仍然存在，它会选择进入吗？
3)\(A\)的产品扩散策略可信吗？或者，在B美元进入市场后，A美元会退出市场的右端吗？为了回答这些问题，将\(A\)的利润与\(A\)在左边有一个摊位，并且\(B\)和\(A\)都在右边有摊位的情况进行比较，将\(A\)在左边有一个摊位，而\(B\)在右边有一个摊位的情况进行比较（因此\(B\)的进入将\(A\)从市场的右边挤出）。
solution:
1)企业B无进入成本
若企业A不从右端退出
企业A与B在右端形成伯川德模型
右端与左端形成Hotelling模型
右端 \(p_{B}=p_{A}^{2}=c \quad ; \quad \pi_{B}=\pi_{A}^{2}=0\)
左端需求x需满足
\(p_{A}^{\prime}+t x^{2}=c+t(1-x)^{2}\)
则： \(x=\frac{c+t-p_{A}^{\prime}}{2 t}\) ，假设 \(\left|p_{1}-p_{2}\right|<t\)，保证需求为正。
企业A利润最大化：
\(\max : \pi_{A}=\pi_{A}^{1}+\pi_{A}^{2}=\left(p_{A}^{1}-c\right) \cdot x\)
Foc:\(\frac{d \pi_A}{d p_{A}^{\prime}}=\frac{1}{2 t}[2 c+t-2 p]=0\)
解得：
\(p_{A}^{\prime}=c+\frac{t}{2}\)
\(\pi_{A}=\frac{t}{8}\)
若企业A从右端退出：Hotelling 模型
企业A的需求应满足
\(p_{A}+t x^{2}=p_{B}+t(1-X)^{2}\)
\(x=\frac{t+P_{B}-P_A}{2 t}\)
企业A,B利润最大化： \(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{A}=\left(p_{A}-c\right) \cdot x \\ \max : \pi_{B}=\left(p_{B}-c\right)(1-x)\end{array}\right.\)
FOC \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_A}{\partial p_A}=\frac{1}{2 t}\left(t+p_{B}+c-2 p_A\right)=0 \\ \frac{\partial \pi_B}{\partial p_{B}}=\frac{1}{2t}(t+p_A+c-2 p_B)=0\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}p_{A}=p_{B}=c+t \\ \pi_{A}=\pi_{B}=\frac{t}{2}>\frac{t}{8}\end{array}\right.\)
综上：企业A从右端退出，企业B进入
A,B在城市两端进行Hotelling竞争
2）若存在进入成本\(k_{B}\)
若企业A不退出，则企业B进入后进行伯川德竞争。 \(\pi_{B}=-k_{B}<0\)，企业B选择不进入，企业A获得垄断利润。由于 \(\pi_{A}^{m}\) 大于Hotelling模型的利润，故A的扩散战略可信。
市场需求未知，无法求出\(\pi_{A}^{m}\)，但肯定大于\(\pi_{A}=\frac{t}{2}\)
综上：若存在进入成本，则企业A的扩散战略可信，企业Az战略两个端点，企业B不进入。