{r setup, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
1.第一个D美元。另一些保险有联合保险性质，任何保了险的损失都只赔偿损失的一个比 率a,0<a<1。设想有一个消费者有一辆汽车，面临的风险是小事故的概率为P1，大事故 的概率为P2，但大小事故不可能同时发生。由此产生的损失分别为A,B，其中A<B。假 设该消费者是一个风险回避者，他必须在扣除性保险和联合保险品种中选定一种保险政 策。此外, 令D和a的选定使这两种保险的损失期望值相等，且等于每种保险的保险费 \(\mathrm{R}_{\circ}\) 证明:在这些条件下, 消费者将永远购买扣除性保险。
solution：
w的分布 \(\mathrm{w} \sim\left(\begin{array}{ccc}1-p_{1}-p_{2} & p_{1} & p_{2} \\ w & w-A & w-13\end{array}\right)\)
两种保险
购买扣除保险的期望效用为
\(E u_{1}=\left(1-p_{1}-p_{2}\right) u(w-R)+P_{1} u(w-R-D)+P_{2} u(w-R-p)\)
购买联合保险的期望效用
\(E u_{2}=\left(1-P_{1}-P_{2}\right) u(w-R)+P_{1} u[w-R-A(1-\alpha)]+P_{2} u[W-R-\beta(1-\gamma)]\)
两种保险的期望效用损失值相同
\(R=p_{1} D+p_{2} D=p_{1} A(1-\alpha)+p_{2} B(1-\alpha)\)
证明：扣除保险好于联合保险
\(\begin{aligned} E u_{1}-E u_{2}=& p_{1} u(w-R-D)+p_{2} u(w-R-P) \\ &-p_{1} u[w-R-A(1-\alpha)]-p_{2} u[w-R-B(1-\gamma)] \end{aligned}\)
\(=p_{1}+p_{2}\left[u(w-R-D)-\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}} u[w-R-A(1-\alpha)]-\frac{p_{2}}{p_{1}+p_{2}} u[w-R-B(1-\alpha)]\right.\)
由琴生不等式：
\(\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}} u[w-R-A(1-\alpha)]+\frac{p_{2}}{p_{1}+p_{2}} U[w-R-B(1-\alpha)]\)
\(=u\left[W-R-\frac{p_{1} A(1-\alpha)+p_{2} B(1-\alpha)}{p_{1}+p_{2}}\right]\)
\(=u(w-R-D)\)
因此： \(E u_{1} \geqslant E u_{2}\)
扣除保险好于联合保险。
经济学解释：
\[ \text { State } \quad S_{1} \quad S_{2} \quad S_{3} \]
\[ p \quad1-p_{1}-p_{2} \quad p_{1} \quad p_2 \]
\(扣除性\quad W-R \quad W-R-D \quad W-R-D\)
\(联合性\quad w-R \quad w-R-A(1-\alpha) \quad w-R-B(1-\alpha)\)
风险厌恶者对两种保险的评价
状态1下：两者相同
状态2和状态3下：口出席保险提供相同的收入
联合保险提供收入有波动
在r等于预期损失的前提下，扣除性保险提供的未来状态相对平稳，故更受风险厌恶者的偏爱。
2。考虑一个两个好的，两个代理的纯交换经济- 自然禀赋 \[ e_{A}=(3,3) \text { and } e_{B}=(2,1) \] 并具有效用函数： \[ \begin{array}{l} u_{A}\left(x^{1}, x^{2}\right)=\frac{1}{3} \log x^{1}+\frac{2}{3} \log x^{2} \\ u_{B}\left(x^{1}, x^{2}\right)=\frac{1}{2} \log x^{1}+\frac{1}{2} \log x^{2} \end{array} \] （1） 画一个Edgeworth方框来说明这种经济。
（2） 将价格标准化为\(\左（1，p^{2}\右）\)。计算代理\(A\)和\(B\)对这两种商品的需求，作为\(p^{2}>0的函数\)
（3） 找到一个竞争均衡\(\左（\hat{p}^{2}、\hat{x}{a}、\hat{x}{B}\右）\)。
（4） 表明以下分配是帕累托有效的： \[ x_{A}=\left(1, \frac{4}{3}\right) \text { and } x_{B}=\left(4, \frac{8}{3}\right) \] （5） 在这个经济体中找到一个新的初始捐赠\(\tilde{e}{a}\)和\(\tilde{e}{B}\)，这样\(\tilde{e}{a}+\)
\(\tilde{e}{B}=e{A}+e{B}\)而所讨论的有效分配\(3\mathrm{~d}\)是一种竞争性的方法
平衡。找出相应的均衡价格。
solution：
A的效用最大化：
max: \(U_{A}=\frac{1}{3} \ln x_{1}^{A}+\frac{2}{3} \ln x_{2}^{A}\)
st: \(\quad x_{1}^{A}+p x_{2}^{A}=e_{1}^{A}+p e_{2}^{A}\)
拉格朗日函数
\(\mathcal{L}=\frac{1}{3} \ln x_{1}^{A}+\frac{2}{3} \ln x_{2}^{A}+\lambda\left[e_{1}^{A}+p e_{2}^{A}-x_{1}^{A}-p_{1}^{A}\right]\)
\(\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}^{A}} &=\frac{1}{3 x_{1}^{A}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}^{A}} &=\frac{2}{3 x_{2}^{A}}-\lambda p=0 \end{aligned}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{e_{1}^{A}+P e_{2}^{A}}{3} \\ x_{2}^{A}=\frac{2\left(e_{P}+P e_{2}^{A}\right)}{3 p}\end{array}\right.\)
B的效用最大化：
\(\begin{aligned} \max : & u_{B}=\frac{1}{2} \ln x_{1}^{B}+\frac{1}{2} \ln x_{2}^{B} \\ & \text { st: } \quad x_{1}+p x_{2}=e_{1}^{B}+p_{2}^{B} \end{aligned}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=\frac{1}{2} \ln x_{1}^{\beta}+\frac{1}{2} \ln x_{2}^{B}+\lambda\left[e_{1}^{B}+p e_{2}^{B}-x_{1}^{B}-p_{2}^{B}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}^{B}}=\frac{1}{2 x_{1}^{B}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}^{B}}=\frac{1}{2 x_{2}^{B}}-\lambda p=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{e_{1}^{B}+P e_{2}^{B}}{2} \\ x_{2}^{B}=\frac{e^{B}+P e_{2}^{B}}{2 P}\end{array}\right.\)
1）若 \(e_{A}=(3,3), \quad e_{B}=(2,1)\)
则竞争性均衡为：
市场出清： \(x_{1}^{A}+x_{1}^{B}=e_{1}^{A}+e_{1}^{\beta}\)
解得： \(p=2\)
\[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{A}=3 \\ x_{2}^{A}=3 \end{array} \quad\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{B}=2 \\ x_{2}^{B}=1 \end{array}\right.\right. \]
2）证 \(x_{A}=\left(1, \frac{4}{3}\right) ,x_{B}=\left(4 , \frac{8}{3}\right)\)是帕累托有效的
由于 \(\begin{aligned} M R S_{1,2}^{A} &=\frac{x_{2}^{A}}{2 x_{1}^{A}} \\ M R S_{1,2}^{B} &=\frac{x_{2}^{B}}{x_{1}^{B}} \end{aligned}\)
得： \(M R S_{1,2}^{A}=M R S_{1,2}^{B}=\frac{2}{3}\)
因此该配置是帕累托有效的
3）令全新的初始禀赋为
\(\left(\tilde{e}_{A}, \tilde{e}_{B}\right)\)：
则有： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{\tilde{e}_{1}^{A}+p\tilde e_{2}^{A}}{3}=1 \\ x_{2}^{A}=\frac{2\left(\tilde{e}_{1}+p{\tilde e}^{A}_2\right)}{3 p}=\frac{4}{3}\end{array}\right.\)
解得： \(p=\frac{3}{2}\)
将其带入 \(\left\{\begin{array}{l}2\tilde e_{1}^{A}+3 \tilde{e}_{2}^{A}=6 \\ 2 \tilde{e}_{1}^{B}+3 \tilde e_{2}^{B}=16\end{array}\right.\)
总禀赋 \(\left\{\begin{array}{l} \tilde e_{1}^{A}+\tilde{e}_{1}^{B}=5 \\ \tilde e_{2}^{A}+\tilde e_{2}^{B}=4\end{array}\right.\)
解得： \(\left(\begin{array}{cccc}\tilde e_{1}^{A} & \widetilde{e}_{2}^{A} & \tilde{e}_{1}^{B} & \tilde{e}_{2}^{B}\end{array}\right)^{T}\)
\(=k(3,-2,-3,2)^{T}+(0,2,5,2)^{T}\)
其中 \((0 \leq k \leq 1)\)
k的范围是 \(0 \leq \tilde e^{i}_1 \leq 5 ,0 \leq \tilde e^{i} _2 \leq 4\)所确定
3、线性城市(0,1),存在两个厂商位于a,b。厂商的边际成本为c, 顾客的交通成本为\(tx^2\)。 两个厂商进行第一阶段进行选位竞争，第 二阶段进行价格竞争。
第二阶段的均衡价格
第一阶段的最优选位
社会最优的选位
solution：
1）第二阶段价格竞争
首先求各自的需求
x出的顾客无差异：
\(p_{1}+t(x-a)^{2}=p_{2}+t(b-x)^{2}\)
则企业1，2的需求分别为：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=x=\frac{b+a}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2(b-a) t} \\ x_{2}=1-x=\frac{2-b-a}{2}+\frac{p_{1}-p_{2}}{2(b-a) t}\end{array}\right.\)
各自利润函数最大化：
\(\left\{\begin{array}{l}\max _{p_{1}}: \pi_{1}=\left(p_{1}-c\right) \cdot x \\ \max _{p_{2}}: \pi_{2}=\left(p_{2}-c\right)(1-x)\end{array}\right.\)
\(Foc:\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_{1}}{\partial p_{1}}=\frac{b+a}{2}+\frac{p_{2}-p_{1}}{2(b-a) t}-\frac{p_{1}-c}{2(b-a) t}=0 \\ \frac{\partial \pi_{2}}{\partial p_{2}}=\frac{2-b-a}{2}+\frac{p_{1}-p_{2}}{2(b-a) t}-\frac{p_{2}-c}{2(b-a) t}=0\end{array}\right.\)
解得：
\[ \left\{\begin{array}{l} p_{1}=c+\frac{(b-a)(a+b+2) t}{3} \\ p_{2}=c+\frac{(b-a)(4-a-b) t}{3} \end{array}\right. \]
\[ \left\{\begin{array}{l} \pi_{1}=\frac{(b-a)(a+b+2)^{2} t}{18} \\ \pi_{2}=\frac{(b-a)^{2}(4-a-b)^{2} t}{18} \end{array}\right. \]
2）第一阶段选位竞争
\[ \left\{\begin{array}{l} \max _{a} \pi_{1}=\frac{(b-a)(a+b+2)^{2} t}{18} \\ \max _{b} \pi_{2}=\frac{(b-a)(4-a-b)^{2} t}{18} \end{array}\right. \]
\(Foc:\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi_{1}}{\partial a}=\frac{t}{18}(a+b+2) {(b-3 a-2)}<0 \\ \frac{\partial \pi_{2}}{\partial b}=\frac{t}{18} {(a+b-4)} {(3 b-a-4)}>0\end{array}\right.\)
因此： \(a=0 , b=1\)（位于两端）
\[ \left\{\begin{array}{ll} p_{1}^{*}=c+t & \pi_{1}^{*}=\frac{t}{2} \\ p_{2}^{x}=c+t & \pi_{2}^{*}=\frac{t}{2} \end{array}\right. \] 3）社会最优选位：
\[ \max : \quad s w=c s+p s-T \]
由于总需求\(D=1\)恒定，故 cs \(+p s\)不变，价格的变化只影响利益的分配，一次社会计划者只用在第一阶段确定a,b,第二阶段自由竞争。
由1）知，第二阶段价格竞争时：
无差异的点：
\(x=\frac{2+a+b}{6}\)
则上述问题转化为：
\(\min _{a, b} T=\int_{0}^{\frac{2+a+b}{6}}(x-a)^{2} d x+\int _{\frac{2 t a+b}{6}}^1(x-b)^{2} d x\)
直接对变上限积分求导：
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial T}{\partial a}=-\frac{5}{6}\left(\frac{2+b-5 a}{6}\right)^{2}+a^{2}-\frac{1}{6}\left(\frac{2+a-5 b}{6}\right)^{2}=0 \\ \frac{\partial T}{\partial b}=\frac{1}{6}\left(\frac{2+b-5 a}{6}\right)^{2}-b^{2}+\frac{5}{6}\left(\frac{2+a-5 b}{6}\right)^{2}=0 \end{array}\right. \]
由对称性知： \(a^{* *}=b^{* *}=\frac{1}{4}\)