1.购买燃油车的预期收益为W1=1-X,电动车的预期收益为W2 = X, 其中X是服从 [0, 1] 均匀分布的随机变量,可以理解为政策对电动车的倾斜程度。此外还可以 购买混合动力车 。 混合动力车可以看做实物期权， 期权价格为F,是指购买了混 合动力车后，预期收益超过单一动力车最高预期收益的部分。 1.风险中性的人, 购买混合动力车的最优预期收益为多少? 2.风险厌恶的人, 效用函数假设为U(w)= \(\sqrt{\text { W,购买单-动力车的预期收益是多少? }}\) 3.比较1和2问中的期权价格，解释为什么存在价格的差异。

solution

假设效用函数为 \(u(w)\)

其中 \(w_{1}(x)=1-x \quad ; \quad w_{2}(x)=x\)

定义 \(w(x)=\max \left\{w_{1}(x), w_{2}(x)\right\}\)

\(x\sim u(0,1),f(x)=1,x\in(0,1);=0,其他\)

购买燃油车的期望效用为

\(\begin{aligned} E u_{1} &=\int_{0}^{1} u\left[w_{1}(x)\right] f(x) d x \\ &=\int_{0}^{1} u(1-x) d x \end{aligned}\)

购买电动车的期望效用：

\(E u_{2}=\int_{0}^{1} u \left.[ w_{2}(x)\right] f(x) d x\)

购买混合动力车的期望效用，需要支付期权费F

\(EU=\int_{0}^{\frac{1}{2}} u(1-x-F) d x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} u(x-F) d x\)

1)若为风险中性，不妨假设 \(u(w)=x\)

\(E u_{1}=E u_{2}=\frac{1}{2}\) \(E u=\frac{3}{4}-F\)

购买混合动力车的条件为：

\(E u \geqslant \max \left\{E u_{1}, E u_{2}\right\}\)

即 \(F \leq \frac{1}{4}\)

2)若为风险厌恶： \(u(w)=\sqrt{W}\)

\(E u_{1}=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} d x=\frac{2}{3}\) \(E{u_{2}}=\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x=\frac{2}{3}\) \(E u=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x-F} d x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{x-F} d x\)

购买混合动力车的条件为：

\(E u \geqslant \max \left\{E u_{1}, E u_{2}\right\}\)

即 \(F \leqslant 0.294\)

3）若政府/卖方有绝对势力，期权费会是F的上限

不妨假设 \(F=F_{\max }\)

在风险中性时 \(F=0.25\)

在风险厌恶时为\(F=0.294\)

可以看出，人民对风险的厌恶，使得实物期权费用上升，这也可解释现实中人们常利用期权来套保而不是投机。

  1. (16 分) 假设一个封闭的小国中只月 A 和 B 两个部落，仕一个部落内人与人之间毫无差异，部落内的 生产与消费都由其首领统一决定。两个部落消费的商品都只有食品（F）和衣物（C）两种。两个部落的效用函 数分别为: \(\mathrm{U}_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{F}_{\mathrm{a}}, \mathrm{C}_{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{F}_{\mathrm{a}} \mathrm{C}_{\mathrm{a}}, \mathrm{U}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{F}_{\mathrm{b}}, \mathrm{C}_{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{F}_{\mathrm{b}} \mathrm{C}_{\mathrm{b}}\) 假设今年 \(\mathrm{A}\) 部落的收成为 20 单位食品和 10 单位衣物， 而 B 部落为 10 单位食品和 20 单位衣物。两个首领聚在一起讨论是否需要交换。

( 1 ) 用 \(\mathrm{P}=\mathrm{P}_{4} \mathrm{P}_{\mathrm{c}}\) 表示两个部落对于两种商品的各自需求。(4 分)

  1. 两个部落之间会发生交换吗? 运用食品的市场出清条件，找出均衡价格 P^"。(2 分)

（3）在价格水平 P*下，不用通过计算，你能直接回答衣物市场存在过度供给或者过度需求吗? 为什么?（2 分)

  1. 在价格水平 \(\mathrm{P}^{*}\) 下，得到的是一个帕累托最优的分配吗? 为什么? \(（ 2\) 分）

  2. 如果世界价格水平为 \(\mathrm{P}<1\) ，哪个部落相对更加愿意对外开放？请提供相应的数字验证。(6分)

solution :

居民效用最大化：

\(\begin{array}{ll}\max : & u=F \cdot C \\ \text { st: } & p_{f} \cdot F+p_{c} \cdot C=p_{f} \cdot W_{F}+p_{c} \cdot W_{c}\end{array}\)

朗格朗日函数：

\(\mathcal{L}=F C+\lambda\left[p_{f} \cdot W_{F}+p_{c} \cdot W_{c}-p_{f} \cdot F-p_{c} \cdot C\right]\)

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F}=c-\lambda \cdot p_{f}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=F-\lambda \cdot p_{c}=0\end{array}\right.\)

解得： \(\left\{\begin{array}{l}F=\frac{p_{f} \cdot W_{F}+p_{c} \cdot W_{c}}{2 p_{f}}=\frac{W_{F}}{2}+\frac{W_{c}}{2 p} \\ C=\frac{p_{f} \cdot W F+p_{c} \cdot W_{c}}{2 p_{c}}=\frac{p W_{F}}{2}+\frac{W_{c}}{2}\end{array}\right.\)

1)将 \(\left(w_{F}^{a}, w_{c}^{a}\right)=(20,10) ,\left(w_{F}^{b} \cdot w_{c}^{b}\right)=(p, 20)\)带入

\(\left\{\begin{array}{l}F_{a}=10+\frac{5}{p} \\ c_{a}=10 p+5\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}F_{b}=5+\frac{10}{p} \\ c_{b}=5 p+10\end{array}\right.\right.\)

2)两个部落会发生交换：

\(M R S_{F, C}^{a}=\frac{C_a}{F_{a}}=\frac{1}{2} \neq M R S_{F, c}^{b}=\frac{C_{b}}{F_{b}}=2\)

均衡时，由下市场出清得：

\(F_{a}+F_{b}=15+\frac{15}{p}=30\)

解得： \(p^{*}=1\)

3）在\(p^{*}=1\)在，市场不存在超额需求式供给

\(p^{*}=1\)为瓦尔拉斯均衡，该状态下各市场均出清。

4）在

\(p^{*}=1\)下，得到的是一个帕累托最优的排至，有福利经济学第一定理知，每一个瓦尔拉斯均衡的配置都是帕累托有效的。效用函数为凸函数。

5）若\(p<1\),部落b会更加愿意对外开放

\(\begin{aligned} \Delta u=u_{b}-u_{a} &=F_{b} \cdot C_{b}-F_{a} \cdot C_{a} \\ &=\frac{75\left(1-p^{2}\right)}{p}>0 \end{aligned}\)

其实，从 \(M R S_{F, b}\)与p的大小关系也可以看出，b更愿意开放

当\(0<P \leq \frac{1}{2}\)时，只有b愿意开放

当\(\frac{1}{2}<p<1\)时，a，b都愿意开放，但b的意愿更强。

  1. 市场需求函数为 \(p=\alpha-\beta q,\) 企业 1 和企业 2 的博亦过程如下:

第一阶段：企业 1 决定边际成本 \(c\) 和固定成本 \(F,\) 但若企业 2 也进入市场的话，将与企业 1 一 样，边际成本为 \(c,\) 固定成本为 \(F\) 。

第二阶段：企业 2 决定是否进入市场。

第三阶段：若企业 2 不进入市场，企业 1 将是唯一的垄断厂商。但企业 2 若进入，两企业将达 到古诺均衡。

1） 对于任意给定的 \(c, F\) 至少为多少时才能使企业 2 不进入市场?

2） 企业 1 会选择什么样的 \(F\) 使企业 2 不进入?

3） 选择让企业 2 不进入是企业 1 的最优选择吗?

solution：

1）若企业2进入，利润最大化： \(max:\pi_2=(\alpha-\beta (q_1+q_2)q_2-cq_2-F\)

Foc: \(\quad \frac{\partial \pi_{2}}{\partial q_{2}}=\alpha-c-\beta q_{1}-2 \beta q_{2}=0\)

反应函数 \(q_{2}=\frac{2-c}{2 \beta}-\frac{1}{2} q_{1}\)

同理可得：

\(q_{1}=\frac{\alpha-c}{2 \beta}-\frac{1}{2} q_{2}\)

解得：

\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=\frac{\alpha-c}{3 \beta} \\ \pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=\frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \beta}-F\end{array}\right.\)

企业1利润最大化：

\(\max : \pi^{m}=\left(\alpha-\beta q_{1}\right) q_{1}-c q_{1}-F\)

\(Foc: \quad \frac{d \pi_{1}^{m}}{d q_{1}}=\alpha-c-2 \beta q_{1}=0\)

解得：

\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{m}=\frac{\alpha-c}{2 \beta} \\ \pi_{1}^{m}=\frac{(\alpha-c)^{2}}{4 \beta}-F\end{array}\right.\)

1）对于任意c，令企业2不进入的条件为：

\(\pi_{2}^{c}=\frac{(2-c)^{2}}{9 \beta}-F \leq 0\)

则F至少为： \(\frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \beta}\)

2）令企业2不进入，企业1第一阶段的目标是：

\(\max _{\text {c. } F} :\quad \pi_{1}^{m}=\frac{(\alpha-c)^{2}}{4 \beta}-F\)

st: \(\quad F \geqslant \frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \beta}\)

拉格朗日函数：

\(\mathcal{L}=\frac{(\alpha-c)^{2}}{4 \beta}-F+\lambda\left[F-\frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \rho}\right]\)

FOCs：\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=\frac{-(\partial-c)}{2 \beta}+\lambda \cdot \frac{2(\alpha-c)}{9 \beta}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F}=-1+\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=F-\frac{(\partial-c)^{2}}{9 \beta}=0\end{array}\right.\)

由于 \(\lambda=1>0\) ，故\(F=\frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \beta}\)

此时 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}=-\frac{5}{18 \beta}(\alpha-c)<0\)

因此：\(c^{*}=0 , \quad F^{*}=\frac{\alpha^{2}}{9 \beta}\)

3）有2）知，企业1不让企业2进入时：

\(\pi_{1}^{m}=\frac{5 \alpha^{2}}{36 \beta}\)

若让企业2进入，则第一阶段

\(\begin{aligned} \max : & \pi_{1}^{c}=\frac{(\alpha-c)^{2}}{9 \beta}-F \\ F o c :&=\frac{\partial \pi_{2} c}{\partial c}=\frac{-2(\partial-c)}{q \beta}<0 \\ \frac{\partial \pi^{c}}{\partial F} &=-1<0 \end{aligned}\)

故 \(c^{* *}=F^{**}=0\)

此时 \(\pi_{1}^{c}=\frac{\alpha^{2}}{9 \beta}\)

由于\(\Delta \pi=\pi_{1}^{m}-\pi_{1}^{c}=\frac{\alpha^{2}}{36 \beta}>0\)

故企业1会选择不让企业2进入。