1.决策中的不确定性考虑初始利润为\(\pi{0}=15\)，成本函数为\(\c（q）=10+q^{2}\)的企业。该企业销售产品的价格根据以下概率分布随机分布： \[ \tilde{p}=\left\{\begin{array}{ll} p_{H}=\$ 8 & \text { with probability } 1 / 2 \\ p_{L}=\$ 2 & \text { with probability } 1 / 2 \end{array}\right. \] 其中波浪号（\(^{\sim}\)）反映价格水平是一个随机变量。
1）如果公司经理的效用函数是 \[ u(\tilde{\pi})=E[\tilde{\pi}]-\frac{1}{9} \operatorname{Var}(\tilde{\pi}) \] 确定企业的最优生产水平，以及由此产生的均衡利润。
2)现在考虑一下公司经理的效用函数是由\(u（\pi）=E[\pi]\)描述的。现在的最优生产水平和相应的均衡利润是多少？
3） 若 \(f=2\) 时情况又如何?
solution：
期望利润为： \(\begin{aligned} E(\pi) &=E\left(\pi_{0}+\tilde{p} q-q^{2}-10\right) \\ &=E(\tilde{p}) q-q^{2}+5 \\ &=5 q-q^{2}+5 \end{aligned}\)
利润的方差为： \(\begin{aligned} \operatorname{Var}\left(\tilde{\pi}\right) &=\operatorname{Var}\left(\pi_{0}+\tilde{p} q-q^{2}-10\right) \\ &=\operatorname{Var}(\tilde{p}) q^{2} \\ &=\left[E\left(\tilde{p}^{2}\right)-E^{2}(\tilde{p})\right] \cdot q^{2} \\ &=9 q^{2} \end{aligned}\)
1）若 \(u(\tilde{\pi})=E(\tilde{\pi})-\frac{1}{9} \operatorname{var}(\tilde{\pi})\)
效用最大化： \(\max : u\left(\tilde{\pi}\right)=5 q-2 q^{2}+5\)
\(Foc: \frac{d u(\tilde{\pi})}{d q}=5-4 q=0\)
解得： \(q^{*}=\frac{5}{4}\) \(\mu(\tilde{\pi})=8.125\)
2)若 \(u(\tilde{u})=E(\tilde{u})\)
效用最大化：
\(\max :u\left(\tilde{\pi}\right)=5 q-q^{2}+5\)
\(Foc: \frac{du\left(\tilde{\pi}\right)}{d q}=5-2 q=0\)
解得： \(q^{* *}=\frac{5}{2}\) ，此时 \(u(\tilde\pi)=11.25\)
不确定状态下的特殊效用函数
1.CARA效用函数：\(R_A\)不变
\(\begin{aligned} u(w) &=-e^{-A w} \\ \Rightarrow R_A &=-\frac{\mu^{\prime \prime}(w)}{\mu^{\prime}(w)}=A \end{aligned}\)
2.若 \(w \sim N\left(u, \sigma^{2}\right)\)
期望效用为： \(\begin{aligned} E[u(w)] &=E\left(-e^{-A \omega}\right) \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}-e^{-A w} f(w) d w \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}-e^{-A w} \frac{1}{\sqrt{2 \lambda} \sigma} e^{-\frac{(w-\mu)^{2}}{-2 \sigma^{2}}} d w \\ &=-e^{-A\left(u-\frac{1}{2} A \sigma^{2}\right)} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-2 \sigma^{2}} d W \\ &=-e^{-A\left(\mu-\frac{1}{2} A \sigma^{2}\right)} \end{aligned}\)
单调变换：
\(E[u(w)]=u-\frac{1}{2} A \sigma^{2}\)
这就是二次效用函数的来源。
3分析
若 \(A>0 \Rightarrow\)风险厌恶
\(\Rightarrow E[u(w)]=u-\frac{1}{2} A \sigma^{2}<E(w)=u\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2} A \sigma^{2}\)可以看成是CE
\(\Rightarrow\) 保险公司最多收取 \(\frac{1}{2} A \sigma^{2}\)的保费。
1）超额需求函数，并验证瓦尔拉斯定律。
2）均衡价格。
3）若总初始京赋为 (21,9) , 求契约曲线。
solution：
1）效用最大化：不妨假设\(p_1=p,p_2=1\) \(\begin{aligned} \max : & u=\ln x_{1}+2 \ln x_{2} \\ \quad \text { st: } & p x_{1}+x_{2}=p_{w_{1}}+w_{2} \end{aligned}\)
拉格朗日函数：
FOCs: \(\mathcal{L}=\ln x_{1}+2 \ln x_{2}+\lambda\left[p w_{1}+w_{2}-p x_{1}-x_{2}\right]\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{x_{1}}-\lambda p=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=\frac{2}{x_{2}}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{p w_{1}+w_{2}}{3 p} \\ x_{2}=\frac{2\left(p w_{1}+w_{2}\right)}{3}\end{array}\right.\)
1）将 \(a(9,3),b(12,6)\)代入得：
\(E D_{1}=x_{1}^{a}+x_{1}^{b}-w_{1}=\frac{3}{p}-14\) \(E D_{2}=x_{2}^{a}+x_{2}^{b}-w_{2}=14 p-3\)
验证瓦尔拉斯定律：
\(\forall\left(p_{1}, p_{2}\right)\)
\(p_{1} E D_{1}+p_{2} E D_{2}=p\left(\frac{3}{p}-14\right)+(14 p-3)=0\)
2)瓦尔拉斯均衡：
\(E D_{1}=E D_{2}=0\)
令\(E D_{1}=0\)得： \(p=\frac{3}{14}\)
故瓦尔拉斯均衡的价格比为：
\(\frac{p_{1}^{*}}{p_{2}^{*}}=p=\frac{3}{14}\)
n-1个市场出清，则第n个市场一定出清。
3）求契约曲线
\(\begin{aligned} \max : u_{a} =\ln x_{1}^{a}+2 \ln x_{2}^{a} \\ st:\bar{u}_b=\ln x_{1}^{b}+2 \ln x_{2}^{b} \end{aligned}\)
\[ \begin{array}{l} x_{1}^{a}+x_{1}^{b}=21 \\ x_{2}^{a}+x_{2}^{b}=9 \end{array} \] 拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=\ln x_{1}^{a}+2 \ln x_{2}^{a}+\lambda\left[\bar{u}_{b}-\ln \left(21-x_{1}^{a}\right)-2 \ln \left(9-x_{2}^{a}\right)\right]\)
\(\begin{aligned} \text { Foc: } \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}^{a}} &=\frac{1}{x_{1}^{a}}+\lambda \cdot \frac{1}{21-x_{1}^{a}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}^{a}} &=\frac{2}{x_{2}^{a}}+2 \lambda \cdot\frac{1}{9-x_{2}^{a}}=0 \end{aligned}\)
解得： \(x_{2}^{a}=\frac{3}{7} x_{1}^{a}\)
故契约曲线为： \(x_{2}^{a}=\frac{3}{7} x_{1}^{a} \quad\left(0 \leq x_{1}^{a} \leq 21\right)\)
3.有一个产业，厂商 1 已经进入该产业，厂商 2 观察厂商 1 的产量来决定自己是否进入产 业以及相应的生产规模。市场的反需求函数为 \(p=56-2 q,\) 厂商的成本函数分别为厂商 1 为： \(C_{1}\left(q_{1}\right)=20 q_{1}+f,\) 厂商 \(2: C_{2}\left(q_{2}\right)=20 q_{2}+f,\) 其中 \(f\) 为固定成本。
1）给定厂商 1 的产量 \(q_{1}\) ，求厂商 2 的产量 \(q_{2}\) 及利润 \(\pi_{2}\) 。
2） 如果厂商 2 要求利润 \(\pi_{2}\) 严格大于零才会进入该市场，那么厂商 1 预计到厂商 2 对 \(q_{1}\) 的反应 时，是允许厂商 2 进入该市场还是采取迫制措施阻止 2 进入? 设 \(f=18\) 。
solution
1）厂商2最优决策：
\(\max : \pi_{2}=\left(56-2 q_{1}-2 q_{2}\right) q_{2}-20 q_{2}-f\)
\(Foc: \frac{\partial \pi_{2}}{\partial q_{2}}=36-2 q_{1}-4 q_{2}=0\)
解得：
\(q_{2}=\frac{18-q_1}{2}\)
\(\pi_{2}=\frac{(18-q_1)^{2}}{2}-f\)
2)若厂商2不进入，则厂商1为垄断厂商。
\(\begin{aligned} \max : \pi_{1}^{m} &=\left(56-2 q_{1}\right) q_{1}-20 q_{1}-f \\ &=2\left(18-q_{1}\right) q_{1}-f \end{aligned}\)
\({Foc}: \frac{d \pi_{1}^{m}}{d q_{1}}=36-4 q_{1}=0\)
解得：\(q_{1}^{m}=9 , \quad \pi_{1}^{m}=162-f\)
若厂商进入，厂商1为产量领导者：
\(\begin{aligned} \max : \quad \pi^{S} &=\left[56-2q_{1}-2 q_{2}\left(q_{1}\right)\right] q_{1}-20q_{1}-f \\ &=(18-q1) q_{1}-f \end{aligned}\)
\(Fo c: \frac{d \pi^{s}}{d q_{1}}=18-2 q_{1}=0\)
解得：\(q_{1}^{s}=q . \quad \pi_{1}^{s}=81-f\)
企业2利润为0的分界点为： \(\pi_{2}=\frac{(18-q_1)^{2}}{2}-f=0\)
得：\(q_{1}^{*}=18-\sqrt{2 f}(18+\sqrt{2 f}舍去 )\)
当f=2或18时，\(\pi_{1}^{m}(18-\sqrt{2 f})>\pi_{1}^{m}(18+\sqrt{2 f})\)，故不会再 \(18+\sqrt{2 f}\)处遏制
若 \(f=18 , q_{1}^{*}=12\)
由于 \(q_{1}^{*}>q_{1}^{m}\)
且 \(\pi_{1}^{m}\left(q_{1}^{*}\right)=126>\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right)=63\)
故采取进入搁置战略。生产\(q_{1}^{*}=12\)，企业2不进入。
若\(f=2 , q_{1}^{*}=16\)
由于\(q_{1}^{*}>q_{1}^{m}\)
且\(\pi_{1}^{m}\left(q_{1}^{*}\right)=62<\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right)=79\)
此时进行斯塔伯格竞争。
note：
进入阻止、遏制、容纳分析
1.基本概念与假设
1）基本假设：
线性需求
\(p=a-b q\)
\(mc_{1}=c_{1} \geqslant mc_{2}=c_{2}\) 存在固定成本F
企业1为在位者，企业2考虑是否进入
2)基本概念
进入阻止： 企业1生产\(q_{1}^{m}\)使得企业2不进入
进入遏制：企业1生产\(q_{1}^{*}\)刚好使得 \(\pi_{2}=0\)
进入容纳：允许企业2进入，进入进行斯塔克伯格竞争
为何使得 \(c_{1} \geqslant c_{2}\) ？
当 \(c_{1} \geqslant c_{2}\)时，在位者没有成本优势，这样分析才更有意义，此时： \(q_{1}^{s} \leq q_{1}^{m}\)，即斯塔克伯格的产量小于等于产量垄断的产量。
2企业1策略分析
1)企业2的利润函数
\(\pi_{2}=\frac{\left(a-c_{2}-b q_{1}\right)^{2}}{4 b}-F\)
若 \(q_{1} \geqslant q_{1}^{*}\)，则企业2不进入
若\(0<q_{1}<q_{1}^{*}\)，则企业2进入
企业2的利润函数
\(\left\{\begin{array}{l}\pi^{m}=\left(a-c_{1}-b q_{1}^{m}\right) q_{1}^{m}-F \\ \pi_{1}^{s}=\frac{1}{2}\left(a-2 c_{1}+c_{2}-b q_{1}^{s}\right) q_{1}^{s}-F\end{array}\right.\)
3策略分析
1）若 \(q_{1}^{*}<q_{1}^{m}\)：进入阻止，此时企业1选择垄断产量 \(q_{1}^{m}\) 就能阻止进入。
2）若 \(q_{1}^{m}<q_{1}^{*}\) ，进行遏制式容纳
若 \(\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right) \leq \pi_{1}^{m}\left(q_{1}\right)\)，则进行遏制
若上产\(q_{1}^{*}\)的利润 \(\pi_{1}^{m}\left(q_{1}\right) \geqslant\) 斯塔格伯格的 \(\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right)\) ，则企业1生产 \(q_{1}^{*}\) 以遏制企业2，此时达不到 \(\pi_{1}^{m}\left(q_{1}^{m}\right)\)，但也优于 \(\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right)\)
若 \(\pi_{1}^{s}\left(q_{1}^{s}\right)>\pi_{1}^{m}\left(q_{1}^{*}\right)\)：进入容纳
此时进入容纳为最优策略，进行斯塔格伯格竞争。
比较静态分析：
\(c_{1} ， c_{2}\)的影响
\(c_{1} \geq c_{2}\)保证了分类的多样性
随着\(\Delta c=c_{1}-c_{2} \uparrow\)，在位厂商的优势 $ $ ，此时进入容纳策略的可能性 $ $
F的影响
随着F上升，潜在厂商的优势下降，此时进入阻止策略可能上升。 $ $ $ $