(一):两个人独立承担风险。
(二):二人签一份风险共担协议,发生火灾后,会收到来自另一人的 \(0.5 L\) 的 补偿。
(1)给出每种情况下每个人房屋财产的价值及对应的概率,并求出在 \(\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}\) 两 种情况 下的房屋期望值。
(2)如果二人是风险中性的话,证明上述两个方案对于这两个人来说没有差异。
(3)如果二人是风险厌恶的话,证明风险共担方案会更受偏好。
3.股票互换的古诺考虑的是一个古诺双寡头垄断，其线性反向需求曲线\(p（q）=a-q，\)，其中\(q\)表示总产出。两个公司都有一个共同的固定边际成本\(c>0，\)，其中\(c\)满足\(a>c。\)假设公司做了\(gamma\)的股权交换，这样每个公司\(i\)在公司\(j\)的利润中得到一份\(0<\gamma\leq 1/2\)，其中\(j\neq i\)
1)求古诺平衡输出，\(\左（q{1}^{C}，q{2}^{C}\右）\)。
2)在\(\gamma=0\)和\(\gamma=1/2.\)的条件下，评估平衡输出\(q{i}^{C}\)。
4)找到均衡利润，\(\pi^{c}，\)，并确定它们是在\(\gamma中增加还是减少\)?
solution:
1)方案一下房屋的价值分布：
\(W \sim\left(\begin{array}{cc}p & 1-p \\ w-L & w\end{array}\right)\)
\(E w_{1}=w-pl\)
方案二下房屋的价值分布：
\(\operatorname{W} \sim\left(\begin{array}{ccc}p^{2} & 2 p(1-p) & (1-p)^{2} \\ w-2 & w-\frac{1}{2} L & w\end{array}\right)\)
\(E w_{2}=w-pl\)
2)两种方案下的期望效用
\(E u_{1}=p u(w-l)+(1-p) u(W)\)
\(E u_{2}=p^{2} u(w-L)+2 p(1-p) u\left(w-\frac{1}{2} l\right)+(1-p)^{2} u(w)\)
若为风险中性; \(E u_{1}=u\left(E w_{1}\right)=u(w-pl)\)
\(E u_{2}=u\left(E w_{2}\right)=u(w-pl)\)
\(\Rightarrow \quad E u_{1}=E u_{2}\)两种方案无差异。
若为风险厌恶：
\(\begin{aligned} E u_{2}-E u_{1}=& p(p-1) u(w-L)+2 p(1-p) u\left(w-\frac{1}{2} l\right) \\ &+p(p-1) u(w) \end{aligned}\) \(=p(1-p)\left[2 u\left(w-\frac{1}{2} l\right)-u(w)-u(w-l)\right]\)
由于 \(\begin{aligned} \frac{1}{2} u(w)+\frac{1}{2} u(w-l) & < u\left[\frac{1}{2} w+\frac{1}{2}(w-l)\right] \\ &=u\left(w-\frac{1}{2} l\right) \end{aligned}\)
则\(E u_{2}>E u_{1}\)，偏好风险共担。
2。为简单起见，假设厂商的产出出\(q\)满足\(q<\alpha/\max{j}\left{124;\ beta{j}\right}.\)（您将在第2)部分中使用此条件）
1）如果每个工厂j的\(\beta{j}>0\)，那么两个工厂的产量应该如何分配？
2）如果每个工厂j的\(\beta{j}<0\)，那么两个工厂之间的产量应该如何分配？
3）如果某些植物的\(\beta{j}>0\)，而另一些植物的\(\beta{i}<0\)？
solution:
\(\left\{\begin{aligned} AC_{i} &=\alpha+\beta_{i} q_{i} \quad\left(q_{i} \geqslant 0\right) \\ C_{i} &=\alpha q_{i}+\beta_{i} q_{i}^{2} \\ MC_{i} &=\alpha+2 \beta_{i} q_{i} \end{aligned}\right.\)
成本最小化： \(\begin{array}{ll}\min : & \sum_{i=1}^{N} C_{i}\left(q_{i}\right) \\ st: & \sum_{i=1}^{N} q_{i}=q\end{array}\)
\(q_{i} \geqslant 0 \quad(i=1,2, \cdots N)\)
拉格朗日函数：
\(\exists u_{i} \geqslant 0 . \quad \lambda \geqslant 0\)使得
\(\mathcal{L}=\sum_{i=1}^{N}\left(C_i\left(q_{i}\right)+\lambda\left[q-\sum_{i=1}^{N} q_{i}\right]-\sum_{i=1}^{n} u_iq_{i}\right.\)
\[ \text { Foc: }\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=u a\left(q_{i}\right)-\lambda-u_{i}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=q-\sum_{i=1}^{N} q_{i}=0 \quad(i=1,2 \cdots N) \\ k-T 条件: \quad u_{i} q_{i}=0 \end{array}\right. \]
\(\forall q_{i}=0\) 不符合 \(q>0\)
\(\exists q_{i}=0\) 不妨设\(q_{i}=0 , q_{j}>0\)
\(\begin{array}{ll}q_{i}=0 & \Rightarrow \mu_{i} \geqslant 0 , \quad \alpha=\lambda+u_{i} \\ \alpha_{j}>0 & \Rightarrow \mu_{j}=0 , \quad \alpha+2 \beta_j q_{j}=\lambda+\mu_{j}\end{array}\)
\(\Rightarrow \quad 2 \beta_{j} q_{j}=u_{j}-u_{i}=-u_{i}>0\)，
\(\Rightarrow \quad u_ i<0\)矛盾
\(\forall q_{i}>0 , \quad \frac{\frac{1}{\beta_{i}}}{\sum_{j=1}^{N} \frac{1}{\beta_{i}}} \cdot q \quad(i=1,2 \cdots \cdot N)\)
\(\forall \beta_{i}<0 \quad(i=1,2, \ldots, N)\)
经济学解释：任意的\(A C_i\)单增，规模报酬递减，通过分散生产降低总成本。
2)\(\forall \beta_{i}<0 \quad(i=1,2 \cdots \cdot N)\)
此时\(A C \downarrow\) ，应该倾向于集中生产，发挥规模报酬递增的优势，由于 \(q<\frac{\alpha}{\max \left|\beta_{i}\right|}\) ，故仅使用 \(\left|\beta_{i}\right|\) 最大的车间进行生产，若 \(q>\frac{\alpha}{\max \left|\beta_{i}\right|}\) 取由 \(\left|\beta_{i}\right|\) 最大的工厂有生产上限，这时应综合考虑产量的分配。
可以理解为自然垄断行业，只会时最有效率的一家垄断企业垄断整个市场。 注：此时使用拉格朗日分析不方便，因为不像\(\forall \beta_{i}>0\)为内点解，此时为角点解均衡，而且还可能出现 \(M C_{i}=\lambda < 0\)的情况。
3)\(\beta_{i}\) 符合不确定 \((i=1,2 \cdots N)\)
首先排除\(\beta_{i}>0\)的工厂
其次选择\(\beta_i<0\) 的工厂中 \(\max \left|\beta_{i}\right|\) 的生产全部的产品，与 \(\forall \beta_{i}<0\)一样。
3.股票互换的古诺考虑的是一个古诺双寡头垄断，其线性反向需求曲线\(p（q）=a-q，\)，其中\(q\)表示总产出。两个公司都有一个共同的固定边际成本\(c>0，\)，其中\(c\)满足\(a>c。\)假设公司做了\(gamma\)的股权交换，这样每个公司\(i\)在公司\(j\)的利润中得到一份\(0<\gamma\leq 1/2\)，其中\(j\neq i\)
1)求古诺平衡输出，\(\左（q{1}^{C}，q{2}^{C}\右）\)。
2)在\(\gamma=0\)和\(\gamma=1/2.\)的条件下，评估平衡输出\(q{i}^{C}\)。
4)找到均衡利润，\(\pi^{c}，\)，并确定它们是在\(\gamma中增加还是减少\)?
solution：
1)企业1利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=(1-\gamma)\left(a-c-q_{1}-q_{2}\right) q_{1}+\gamma\left(a-c-q_{1}-q_{2}\right) q_{2}\)
\(Foc: \frac{\partial \pi}{\partial q_{1}}=(1-\gamma)\left(a-c-2 q_{1}-q_{2}\right)-\gamma q_{2}=0\)
反应函数为： \(q_{1}=\frac{a-c}{2}-\frac{1}{2(1-\gamma)} q_{2}\)
同理可得： \(q_{2}=\frac{a-c}{2}-\frac{1}{2(1-\gamma)} q_{1}\)
解得： \(q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=\frac{(1-\gamma)(a-c)}{3-2 \gamma}\)
企业i的初始利润为 \(\pi_{i}^{0}=(a-c-i) q_{i}\) ，通过互换利润得到新的利润（股票市场大家相互持有对方的股权）， \(\pi_{i}^{1}=(1-\gamma)(a-c-q) q_{i}+\gamma(a-c-q) q_i\)
\(\gamma=\frac{1}{2}\) 时：\(q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=\frac{a-c}{4}\)
此时为合谋是的结果，原因在于\(\gamma=\frac{1}{2}\)时两者互换的收益为总收益的一半，即达到合谋的市场结构。
3)由于 \(\frac{d q_{i}^{c}}{d \gamma}=\frac{-(a-c)}{(3-2 r)^{2}}<0\)
随着 \(\gamma\)的增加， \(q_{i}^{c}\)会不断下降
由于\(\frac{d \pi_{i}^{c}}{d \gamma}=\frac{(1-2 \gamma)(a-c)^{2}}{(3-2 \gamma)^{3}}\)
则当 \(\gamma \in\left(0, \frac{1}{2}\right)\) 时， \(\pi_{i}^{c}\) 随着\(\gamma\)增加而增加
当\(\gamma \in\left( \frac{1}{2},1\right)\) 时 \(\pi_{i}^{c}\) 随着 \(\gamma\)增加而减少
此时 \(\pi_{i}^{c}(\gamma)_{\max }=\pi_{i}^{c}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(a-c)^{2}}{8}\)，即合谋。