1.购买健康保险。考虑一个个体的效用函数如下 : \[ u(C, H)=\ln C-\frac{\alpha}{H} \]
其中\(C\)消费品支出， \(H\)是健康保险的支出. 为了简化参数\(\alpha\) 定义为他生病时的货币货币损失。 \[ \alpha=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { 如果生病} \\ 0 & \text { 如果健康} \end{array}\right. \]
请注意，该效用函数意味着在生病时，该人的无用度会根据他购买的健康保险的数量而减少（例如，他可以使用更好的医生和护理机构，并且减少了疾病的负面影响） 。生病的概率由下式给出：\(\gamma \in[0,\) \(11,\) 这个人的财富是由\(m>0,\) 其中 \(m=C+H\)。
1)这个人的效用最大化问题是什么？[提示：重新安排个人的期望效用最大化问题，因此他唯一的选择变量是\(C .\)
2)找到与先前的最大化问题相关的一阶条件。
确定最佳消费商品数量，\(C^{*}\), 和健康保险,\(H^{*}\)
确定最佳的医疗保险金额, \(H^{*}\), 在增加，减少或保持不变 \(m\). 并解释。
solution:
期望效用最大化：
\(\max Eu=\gamma \ln [\ln c-\frac{1}{H}]+(1-\gamma)\ln c\)
\(st:c+H=m\)
化简得：\(Eu=\ln c—\frac{\gamma}\)
FOC: \(\frac{d E u}{d c}=\frac{1}{c}-\frac{\gamma}{(m-c)^{2}}=0\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}c^{*}=\frac{2 m+\gamma-\sqrt{\gamma^{2}+4 m \gamma}}{2} \\ H^{*}=\frac{\sqrt{\gamma^{2}+4 m \gamma}-\gamma}{2}\end{array}\right.\)
比较静态分析：
\(\frac{\partial H^{*}}{\partial m}=\frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^{2}+4 m \gamma}}>0\)
故\(H^{*}\)随着m的增加而增加。
2.垄断市场中的“边干边学”请考虑以下两种时期的垄断模型：企业是市场中具有反需求函数（每个时期）为 \(p(q)=a-b q .\) 期间1的单位成本为\(c_{1} .\) 在期间\(2,\) 但是，垄断者“边做边学”，因此其垄断 基本成本降至 \(c_{2}=c_{1}-m q_{1},\) 其中\(q_{1}\) 是垄断者的1期产出水平， \(m\) 衡量学习效果。假设参数满足 \(a>c>0\)和 \(b>m>0 .\) 还要假设垄断者不会折现未来收益（即折现系数为\(\delta=1\) ).
1)不受管制的垄断者在每个时期，垄断者的产出水平是多少， \(q_{1}\) and \(q_{2}\) ? Denote them by \(q_{1}^{m}\) 和\(q_{2}^{m}\)
3)比较产出水平 \(q_{t}^{S P}\) 和\(q_{2}^{m},\) 并讨论它们之间的差异如何随着学习效果的提高而变化。
1)企业最优化分析：
企业利润最大化
\(\begin{aligned} \max : & \pi=\pi+\delta \pi_{2} \\ &\left.=\left(a-c_{1}-b q_{1}\right) q_{1}+( a-c_{2}-b q_{2}\right) q_{2} \end{aligned}\)
FOCs:
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \pi}{\partial q_{1}}=a-c-2 b q_{1}+m q_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial q_{2}}=a-c+m q_{1}-2 b q_{2}=0 \end{array}\right. \]
解得： \(q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{a-c}{2 b-m}\)
2)社会最优化分析：
社会福利最优化：
\(\begin{aligned} \max : \quad s w &=sw_{1}+\delta s w_{2} \\ &=\pi+\frac{1}{2} b\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) \end{aligned}\)
FOCs：\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial s w}{\partial q_{1}}=a-c-b q_{1}+m q_{2}=0 \\ \frac{\partial s w}{\partial q_{2}}=a-c+m q_{1}-b q_{2}=0\end{array}\right.\)
解得： \(q_{1}^{s p}=q_{2}^{s p}=\frac{a-c}{b-m}\)
3)比较分析：
\(q_{t}^{s p}=\frac{a-c}{b-m}>q_{2}^{m}=\frac{a-c}{2 b-m}\)
由于 \(\frac{\partial\left[q_{t}^{s p}-q_{2}^{m}\right]}{\partial m}=\frac{(a-c) b(3 b-m)}{(b-m)^{2}(2 b-m)^{2}}>0\)
故两者的差距随着学习效应m的上升而逐渐增大，因为企业只考虑m对\(\pi\)的效应，并不考虑其对cs的效应。
3 考虑Bertrand均衡模型，设市场需求为 \(D(p)=\alpha-p,\) 两个生产同质品的相同企业的边际 成本都为 \(M C_{1}=M C_{2}=c,\) 这里 \(\alpha>c+1, \quad p, c\) 的货币单位为分, 但 \(c\) 是整数。请问, \((c, c)\) 仍是Bertrand均衡吗? 为什么?
solution：
1)若P没有整数约束，\((c,c)\)是伯川德均衡。
2)若p有整数约束：\((p_1,p_2)\)i
若存在\(\exists p_{i} \leq c-1\) ，则 \(\pi_{i}<0\) ，加价能使得 \(\pi_{i} \geqslant 0\)
ii） \(P_{i} \geqslant c+2\) 为非均衡
若\(p_i\geq c+2\)，此时 \(c+1 \leqslant p_{j} \leqslant\left[p_{i}-1\right]\)获取整个市场，企业i有降价的倾向。
\(p_{i}=c\) 或者 \(c+1\) 时最优决策：
| \(p_2\) | |||
|---|---|---|---|
| c | c+1 | ||
| \(p_1\) | c | (0,0) | (0,0) |
| c+1 | (0,0) | \((\pi,\pi)\) |
\(\pi=\frac{1}{2}(\alpha-c-1)>0\)
综上： \((c, c), \quad(c+1, c+1)\) 均为NE,q其中\((c, c)\)为弱占优策略NE。在有限次博弈中确实可能达到，无限次博弈中\((c+1, c+1)\)更优可能达到
note：存在两个纯策略NE,则还存在 一个混合策略NE.
设企业1,2选择p=c的概率分别为\(\gamma_{1}，\gamma_{2}\)
\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=c ：E \pi_{2}^{\prime }=\gamma_{2} \cdot 0+\left(1-\gamma_{2}\right) \cdot 0\\ p_{1}=c+1：E \pi_{2}^{\prime \prime}=\gamma_{2} \cdot 0+\left(1-\gamma_{2}\right) \cdot \pi\end{array}\right.\) \(E \pi_{2}^{\prime}=\gamma_{2} \cdot 0+\left(1-\gamma_{2}\right) \cdot 0\)
\(\Rightarrow \quad E \pi_{2}^{\prime}=E \pi_{2}^{\prime \prime} \quad \Rightarrow \quad \gamma_{2}=1\)
\(\Rightarrow\) 由对称性知： \(\gamma_{1}=\gamma_{2}=1\)
\(\Rightarrow\)本列无混合策略NE，不符合Willison定理。