1. 年末农民的小麦收成有两种情况：好的情况发生概率为 0.8，收成y \(_{1}=10 s^{0.5},\) s 为年初 他购买的种子数量; 坏的情况发生概率为 0.2 ，此时农民自身收成为 0，所有收入都来自保 险公司的赔付。保险公司只在坏的情况下对农民进行赔付, 对应年初农民购买的每一份保险, 保险公司赔付 1 公斤小麦。小麦种子的儡格为 1 元，保险的价格为 2 元，农民年初总共拥有 10000 元。
  1. 若农民的期望效用函数为U \(=\pi_{1} \log \left(\mathrm{y}_{1}\right)+\pi_{2} \log \left(\mathrm{y}_{2}\right), \quad \pi_{1}, \pi_{2}\) 为好坏收成的概率，则此 时农民会购卖多少种子多少保险?

（2）若农民的效井函数为 U \(=\min \left\{\log \left(\mathrm{y}_{1}\right), \log \left(\mathrm{y}_{2}\right)\right\},\) 则农民又会购买多少种子多少保险?

solution：

1）农民效用最大化：

\(\max : E u=0.8 \ln y_{1}+0.2 \ln y_{2}\)

ST: \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=10 s^{\frac{1}{2}} \\ y_{2}=F \\ s+2 F=10000\end{array}\right.\)

化简得： \(E u=0.8 \ln \left[10 s^{\frac{1}{2}}\right]+0.2 \ln \left[5000-\frac{1}{2} s\right]\)

FOC: \(\frac{d Eu}{d s}=\frac{0.4}{5}-\frac{0.1}{5000-\frac{1}{2}s}=0\)

解得：

\(s^{*}=\frac{20000}{3}\)

\(F^{*}=\frac{5000}{3}\)

2）农民效用最大化：

max: \(\quad u=\min \left[\ln y_{1}, \ln y_{2}\right]\)

st： \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=10 S^{\frac{1}{2}} \\ y_{2}=F \\ s+2 F=10000\end{array}\right.\)

化简得： \(u=\min \left[\ln \left(10 s^{\frac{1}{2}}\right) ,\ln \left(5000-\frac{1}{2} s\right)\right]\)

最优条件为：

\(\ln \left(10 s^{\frac{1}{2}}\right)=\ln \left(5000-\frac{1}{2} s\right)\)

解得：

\(\left\{\begin{array}{l}s^{* *}=10200-200 \sqrt{101} \doteq 8190 \\ F^{* *}=100 \sqrt{101}-100\dot=905\end{array}\right.\)

  1. 想象一下，吉列在西班牙的剃须刀片市场上拥有垄断地位。西班牙叶片的市场需求曲线为\(p（Q）=968\)\(-20 Q，\)，其中\(p\)是叶片的价格，\(Q\)是叶片的年需求量（单位：百万）。吉列有两个工厂，可以为西班牙市场生产刀片：一个在巴塞罗那，一个在马德里。巴塞罗那工厂的边际成本为\(mc{1}\左（Q{1}\右）=8\)，马德里工厂的边际成本为\(mc{2}\左（Q{2}\右）=1+0.5q{2}\)

1)找出吉列的利润最大化总产量（并表示为\(Q{T}\)）和价格为西班牙市场的整体。

2)吉列将如何在巴塞罗那和马德里工厂之间分配产量？也就是说，\(Q{T}\)的哪个部分应该来自\(Q{1}\)，哪个部分应该来自\(Q{2}\)？

3)假设吉列在巴塞罗那的工厂边际成本是10美分而不是8美分。也就是说，假设现在\(mc{1}\left（Q{1}\right）=10\)，而\(mc{2}\left（Q{2}\right）\)保持不变。你在a部分和b部分的答案会有什么变化？

solution：

1）产商的边际成本函数为：

\(MC( Q)=\left\{\begin{array}{ll}1+\frac{1}{2} Q & 0 < Q \leq14 \\ 8 & Q>14\end{array}\right.\)

垄断厂商利润最大化：

\(\max : \pi=Q^{T}\left(968-20Q^{T}\right)-c\left(Q^{T}\right)\)

Foc: \(\quad \frac{d \pi}{d Q^{T}}=968-40Q^{T}-M C\left(Q^{T}\right)=0\)

联立： \(M R\left(Q^{T}\right)=MC\left(Q^{T}\right)\)

解得： \(Q^{T}=24 , \quad p^{T}=488\)

此时： \(Q_{1}=10 \quad Q_{2}=14\)

2）若 \(M C_{1}=10 . \quad M C_{2}=1+\frac{1}{2} Q_{2}\)

同理可得： \(Q^{T}=23.95 \quad p=489\)

\(\left\{\begin{array}{l}Q_{1}=5.95 \\ Q_{2}=18\end{array}\right.\)

补充：\(MC_1\)为何值时，仅要利用工厂2生产

厂商的边际成本函数为：

\(M C=\left\{\begin{array}{cc}1+\frac{1}{2} Q & 0<Q \leq 2 c-2 \\ c & Q>2 c-2\end{array}\right.\)

垄断厂商利润最大化：

\(M R\left(Q^{T}\right)=M C\left(Q^T\right)\)

临界点时： \(968-40 Q^{T}=1+\frac{1}{2} Q^{T}=c\)

解得：

\({c}^{*} \doteq 12.94\)

故当 \(M C_{1} \geq 12.94\)时，仅利用企业2生产

  1. \((15\) 分 \()\) 考虑以下完全信息动态博奕。博奕的参与者为一个垄断性的上游企 业 U 与一个垄断性的下游企业 D。在博亦的第一阶段，企业 U 以单位价格 \(\mathbf{p}_{\mathbf{u}}\) 向企 业 \(\mathrm{D}\) 销售中间产品。在第二阶段，企业 \(\mathrm{D}\) 把中间产品（一比一地）加工为最终 产品，并以单位价格 \(\mathbf{p}_{\mathbf{d}}\) 向消费者出售。假设企业 \(\mathrm{U}\) 的生产成本为零，而企业 \(\mathrm{D}\) 除购买中间产品的费用外亦无其它生产成本。最后，假设企业 \(\mathrm{D}\) 面对的需求函 数为 \(\mathrm{q}\left(\mathbf{p}_{\mathrm{d}}\right)=1-\mathbf{p}_{\mathrm{d}} \circ\)

  1. (3 分) 考虑博亦的第二阶段。给定上游企业的中间产品供给价格 \(\mathbf{p}_{\mathbf{u}}\) ，请求 出下游企业关于最终产品的利润最大化定价。

  2. (5 分) 回到博亦的第一阶段。给定下游企业的利润最大化定价策略，请求 出上游企业的利润最大化定价（即子博亦精炼纳什均衡定价）。

  3. (2 分) 在均衡时，产生利润（即两个企业利润的加总）是多少？有多少最 终产品会销售给消费者?

  4. (5 分) 假设现在题中的上下游企业 U 和 D 合并为一个企业。请求出在此新 的情形下，有多少最终产品会销售给消费者。与（3）中的情况对比，产业利润 与消费者福利有何变化?

solution

双重加价模型：

1）下游企业利润最大化：

\(\max : \pi^{d}=\left(p_{d}-p_{\mu}\right)\left(1-p_{d}\right)\)

\(Foc: \frac{d \pi^{d}}{d p^d}=1+p_{u}-2 p_{d}=0\)

解得： \(p_d=\frac{1+p_{u}}{2} \quad q=\frac{1-p_{u}}{2}\)

2）上游企业利润最大化：

\(\max : \pi^{u}=p_{u} \cdot q\)

\(Foc: \frac{d \pi^{u}}{d p_u}=\frac{1}{2}\left(1-2 p_{u}\right)=0\)

解得：

\(p^{u}=\frac{1}{2}\)

3）均衡时： \(p_{u}=\frac{1}{2} , p_{d}=\frac{3}{4} , q=\frac{1}{4}\) \(\pi_{u}=\frac{1}{8} ，\pi_d=\frac{1}{16} ， \pi=\pi_d+\pi_{u}=\frac{3}{16}\)

4）企业合并

利润最大化： \(\max : \quad \pi=p(1-p)\)

FOC: \(\frac{d \pi}{d p}=1-2 p=0\)

解得：

\(p=\frac{1}{2}, \quad q=\frac{1}{2} \quad \pi=\frac{1}{4}\)

与3相比 \(\pi \uparrow\) ，\(\operatorname{cs} \uparrow\) \((p \downarrow, q \uparrow)\)

双重加价带来福利的损失

note：双重加价——产业链模型

第二阶段：

\(\left\{\begin{array}{l}下游企业的需求：q^{d}=1-p^{d} \\ 边际成本：M C^{d}=p^{u} \\边际收益： M R=1-2 q^d\end{array}\right.\)

第一阶段： \(\left\{\begin{array}{l}上游企业的需求：q^{u}=\frac{1-p^{u}}{2}与下游企业MR重合 \\ 边际成本M C^{u}=0\end{array}\right.\)