solution
假设效用函数为 \(u(t)\)
用时越长，效用越低：\(u^{\prime}(t)<0\) 、
风险厌恶：\(u^{\prime \prime}(t)<0\)
坐地铁
\(U_{1}=U(60)\)
驾车 \(E U_{2}=\frac{1}{2} U(40)+\frac{1}{2} U(78)\)
由于 \(\frac{1}{2} U(40)+\frac{1}{2} U(78)<U\left(\frac{40+78}{2}\right)=U(59)\)
故 \(U_{1}\) 与\(E U_{2}\)大小关系不确定
因此不能确定该人将如何选择交通工具
note:
1.风险类型的判别：
风险厌恶——更倾向于确定性的东西
琴生不等式： \(U\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}\right)>\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} v\left(x_{i}\right)\)
\(\to U(x)\)凹凸性
\(\to U^{\prime \prime}(x)<0\)
2.风险类型的进一步刻画
\(U(x)\)可进行正单调变换
\(\frac{v(x)=\beta u(x)}{\beta>0} \rightarrow\) \(u^{\prime \prime}(x)\) 仅能刻画风险类型，而无法刻画风险厌恶程度。 \(u^{\prime \prime}(x)\)知可取符合，不可取大小
利用比值消除\(\beta\)的影响\(\to R_{A}(x)=-\frac{u^{\prime \prime}(x)}{u^{\prime}(x)}\) ,也可用 \(R_{R}(x)\)
\(\to R_{A}(x)\)能够刻画风险程度，而不受正单调变换的影响。
2.小工具市场有男女两类消费群体, 男性消费者的总需求为 \(x_{m}(p)=a-Q_{m} p,\) 女性消费 者的总需求为 \(x_{w}(p)=a-Q_{w} p,\) 这里 \(Q_{m}>Q_{w},\) 每个小工具成本为 \(c\) 。
2）假定厂商 \(A\) 是该小工具的垄断厂商，若该厂商被禁止采取“歧视”政策，那么最优 定价是多少? 在怎样的条件下，男性、女性有严格正的消费量?
厂商 \(A\) 既定产出为 \(X\),它应该如何在男性、女性市场中分配产量以最大化社会福利?
对允许厂商 \(A\) 进行价格歧视的情况进行分析。
solution：
1)完全竞争市场： \(p=c\)
此时 \(\left\{\begin{array}{l}x_{m}=a-\operatorname{Q}_c \\ x_{w}=a-Q_ c\end{array}\right.\)
2)统一定价：只供应大市场
利润最大化
\(\max : \pi=\left(p^{w}-c\right)(a-Q w \cdot p^w)\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p^{w}}=a+Q_ w \cdot c-2 Q_ w \cdot p^{w}=0\)
解得：
\(p^{w}=\frac{a+Q_{w} \cdot c}{2 Q_{w}}\)
利润：\(\pi^{w}=\frac{(a-Q_ w \cdot c)^{2}}{4 Q w}\)
统一定价——全部供应
利润最大化：
\(\max : \pi=(p-c)(a-Q_w p+a-\operatorname{Q_m} p)\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=2 a+(Q_ m+Q_ w) \cdot c-2(Q_ w+Q_ m) p=0\)
解得： \(p=\frac{2 a+(Q_ m+Q_ w) c}{2(Q_ w+Q_ m)}\)
\(\pi=\frac{\left[2 a-\left(Q_{w}+Q_{m}\right) c\right]^{2}}{4(Q_w+Q_m)}\)
当 \(a \leq Q^{w} \cdot c\)时，两个市场都供应。
当\(Q^{w} \cdot c<a \leq Q^{m} \cdot c\)时，只供应大市场。
当\(Q^{w} \cdot c<a \leq Q^{m} \cdot c\)时， \(Q^{m} \cdot c<a \leq \frac{Q_{m}\left(Q_{m}+Q_{w}\right) c}{2 Q_{w}}\)，此时供应大市场
当 \(\frac{a}{Q^{m}}<p<p^{w}\)时：
若\(a>\frac{Q_{m}\left(Q_{m}+Q_{w}\right) C}{2Q_ w}\)，此时 \(2 Q_{w} \leq Q_{m}\)
有 \(p<\frac{Q}{Q^{m}}<p^{w}\)
若 \(\pi^{w}-\pi=\frac{(a-Q_ w \cdot c)^{2}}{4 Q_w}-\frac{\left[2 a-\left(Q_w+Q_{m}\right) c\right]^{2}}{4(Q_w+Q_ m)}>0\)，则只供应大市场
若 \(\pi^{w}-\pi<0\)，则同时供应。
若\(2 Q_{w}>Q_{m}\)， \(a<\frac{Q_m Q_w c}{2 Q^{w}-Q_m}\) \(p<\frac{a}{Q^{m}}<p^{w}\)，此时同时供应。
3)社会福利最大化：
\(\begin{aligned} \max : & s w=\int_{0}^{x_{m}} p\left(x_{m}\right) d x+\int_{0}^{x_{w}} p\left(x_{w}\right) d x-c x \\ \text { st: } & x_{m}+x_{w}=x \end{aligned}\)
拉格朗日函数： \(\begin{aligned} \mathcal{L}=\frac{1}{2Q_m} & x_{m}\left(2 a-x_{m}\right)+\frac{1}{2 Q_{w}} x_{w}\left(2 a-x_{w}\right)-c\left(x_{m}+x_{w}\right) \\ &+\lambda\left(x-x_{m}-x_{w}\right) \end{aligned}\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{m}}=\frac{1}{2 Q_{m}}\left(2 a-2 x_{m}\right)-c-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{w}}=\frac{1}{2Q_w}\left(2 a-2 x_{w}\right)-c-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{m}=\frac{a(Q_w-Q_m)+Q_{m} x}{Q_{m}+Q_{m}} \\ x_{w}=\frac{a\left(Q_{m}-Q_{w}\right)+Q_ w x}{Q_m+Q_w}\end{array}\right.\)
当 \(0 \leq x \leq \frac{\left(Q_{m}-Q_{w}\right) a}{Q_{m}}\)时，
\(\left\{\begin{array}{l}x_{m}=0 \\ x_{w}=x\end{array}\right.\)
4)三级价格歧视
利润最大化：
\(\max : \pi=\left(p^{w}-c\right)(a-Q_w p)+\left(p^{m}-c\right)\left(a-Q_{m} p\right)\)
FOCs:
\(\frac{\partial \pi}{\partial p^w}=a+Q_{w} \cdot c-2 Q_{w} p=0\)
\(\frac{\partial \pi}{\partial p^{m}}=a+Q_{m} \cdot c-2 Q_{m} \cdot p=0\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}p^{w}=\frac{a+Q_ w \cdot c}{2 Q_w} \\ \pi^{w}=\frac{(a-Q_w \cdot c)^{2}}{4 Q_w}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}p^{m}=\frac{a+Q_{m} \cdot c}{2 Q_{m}} \\ \pi^{m}=\frac{(a-Q_ m \cdot c)^{2}}{4 Q_{m}}\end{array}\right.\)
1)）假定 \(\mathrm{c}_{\mathrm{i}}=\mathrm{c}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{N},\) 请找出纯策略的纳什均衡。
2)假定 \(\mathrm{c}_{1}<\mathrm{c}_{2} \leqslant \mathrm{c}_{\mathrm{j}}, \quad \mathrm{j}=3, \quad \cdots, \mathrm{N},\) 请证明纯策略的纳什均衡不存在。
3)假定 \(\mathrm{c}_{1}<\mathrm{c}_{2} \leqslant \mathrm{c}_{\mathrm{j}}, \quad \mathrm{j}=3, \ldots, \mathrm{N},\) 但是消费者有一定的品牌忠诚度：如果多个企业同时报出相同 最低价，消费者总是从指数 \((\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{N})\) 最低的那个企业那里购买产品。例如，企业 1 和企业 2 同时报出 最低价格，消费者会从企业 1 那里购买所有 \(\mathrm{Q}\) 产量的产品。请找出纯策略的纳什均衡。
solution
1)存在唯一纳什均衡： \(\left(p_{1} \ldots p_{N}\right)=(c \ldots c)\)
首先证NE的存在性
对于任意企业i，给定 \(p_{j}=c \quad(j \neq i)\)
则有 \(\left\{\begin{array}{ll} p_{i}<c . & \pi_{i}<0 \\ p_i>c & \pi_{i}=0 \quad \Rightarrow p_{i}=c \\ p_{i}=c & \pi_{i}=0\end{array}\right.\) 为若占优策略。
\(\Rightarrow\left(p_{1} \cdots p_{n}\right)=(c \cdots c)\) 为NE。
其次证明NE的唯一性：\(\left(p_{1} \cdots p_{N}\right)\)
即证明\(\forall P_{i}\) 均不能出现 \(p_{i}<0\) 与 \(p_{i}>0\)
若\(\exists p_{i}<c\) ，则\(\pi_i<0\)非最优策略
\(\Rightarrow\left(p_{1} \ldots p_{n}\right)\) 中不会出现 \(p_{i}<0\)
若 \(\exists p_{i}>c\) ，假设 \(P_{(1)}\) 为最低出价， \(P_{(2)}\) 为次低出价 \((P_{(2)}>P_{(1)})\)
若\(P_{(1)}>c\) ：则 \(P_{i}=P_{(1)}-\varepsilon\) 时获得整个市场 \(\pi_{i} \uparrow\)
若 \(P_{(1)}=c\) ，则出价 \(P_{(1)}\)的企业均出价\(P_{i}=P_{(2)}-\varepsilon\) 平分市场 \(\pi \uparrow\) 偏离 \(P_{(1)}=c\)
\(\Rightarrow\left(p_{1} \cdots p_{N}\right)\)不会出现 \(P_{i}>0\)
\(\forall p_{i}=c\)即为唯一的NE
2)成本：\(c_{1}<c_{2} \leq c_{3} \quad \cdots \leqslant c_{N}\)
策略：\(\left(P_{1} P_{2} \ldots P_{N}\right)\)
以企业1为研究中心
\(p_{1}<c_{1}: \pi_{1}<0\)
\(P_{1}>C_{2} \quad:\)此时\(P_{i}=P_{(1)}-\varepsilon\)获取整个市场，促使企业1降价，非均衡
\(c_{1} \leq P_{1} \leq c_{2}:\)
\(\begin{cases}P_{2}<C_{2}: 若P_{1}=P_{2}+\varepsilon，\pi_2<0,故p_2<c_2,非均衡\\ P_{2}>C_{2}: 企业1定价P_{1}=P_{2}+\varepsilon，企业2定价P_{2}=P_{2}+\varepsilon，此时p_2>c_2非均衡\\ P_{2}=C_{2}:此时P_{1}=P_{2}+\varepsilon，给定p_{2}=c_{2}，企业1定价p_{1}=c_{2}-\varepsilon_{1} \varepsilon>\varepsilon_{1}>0 ，非均衡\end{cases}\)
综上\(p_1\)没有一个纯策略，即无纯策略NE
\(\left.\left(p_{1} \cdots \cdot p_{N}\right)=( c_{2}, c_{2} , c_{3} \cdots \cdots c_{n}\right)\)为唯一的纯策略NE.
存在性：
给定：\(\left(p_{2} \ldots p_{n}\right)=\left(c_{2} \cdots c_{n}\right)\)
此时\(p_{1}=c_{2}\) ，\(\pi_i\)取最大，故 \(p_{1}=c_{2}\)为最优策略
给定 \(\left(p_{1}, p_{2} \ldots p_{t-1},p_{i+1} ...p_{N}\right)=\left(c_{1}, c_{2} , c_{i-1} , c_{i + 1} \ldots c_{N}\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l}p_{i}<c_{2}，\pi_{i}<0 \\ p_{i} \geq c_{2}，\pi_{i}=0\end{array}\right.\)
此时 \(p_{i}=c_{i}\) 为弱占优策略， \((\forall i \neq 1)\) \(\left.( C_{1}, C_{2} \ldots . . C_{N}\right)\)为NE
唯一性：
\(p_{1} < c_{1}: \quad \pi_{1}<0\)，此时为非均衡策略
\(p_{1}>c_{2}:\) \(p_{2}=p_{1}-\varepsilon\)获取正利润，促使企业1降价，循环往复，故为非均衡状态。
\(c_{1} \leq p_{1}<c_{2}\) ，此时为非均衡状态
\(p_{1}=c_{2}:\)
\(\left\{\begin{array}{ll} 若 p_{2}<c_{2} ，\pi_2<0\\ p_{2}>c_{2}，企业1定价p_{2}=p_{1}，企业2定价p_{2}=p_{1}-\varepsilon，直至降到c_2\end{array}\right.\) \(\pi_{2}<0\) \(p_{1}=p_{2}\) \(p_{2}=p_{1}-\varepsilon .\) \(c_{2}\)
综上： \(\left(p_{1} \ldots p_{N}\right)=\left(c_{1}, c_{2} \ldots c_{N}\right)\)为唯一NE