1.一个人有 250000 元的资产，他从中拿出 200000 元用来买车，车出事故的概率为 5%， 出事故后，车子的价值降为 40000 元。已知这个人的冯.诺依曼一摩根斯坦效用函数为 \(u(w)=w^{0.5}\)

  1. 你认为这个人是风险爱好、风险中性还是风险厌恶，并说明原因。

2)求补偿所有损失的完全保险愿意支付的最高价格，并结合数学等式与图形加以说明。

3)求补偿所有损失的公平保险价格，并结合数学等式与图形加以说明。

solution

1)风险类别的判别——风险厌恶系数

由于 \(u(w)=\sqrt{w}\)

则绝对风险厌恶系数：\(R_{A}(w)=-\frac{U^{\prime \prime}(w)}{U^{\prime}(w)}=\frac{1}{2 W}>0\)

故风险厌恶

或使用相对风险厌恶系数

\(R_{R}(w)=-\frac{w U^{\prime \prime}(w)}{V^{\prime}(w)}=\frac{1}{2}>0\)

2)不够卖保险的期望效用

\(\begin{aligned} E u_{1} &=5 \% \sqrt{90000}+95 \% \sqrt{250000} \\ &=490 \end{aligned}\)

购买补偿所有损失的完全保险后的期望效用

\(E u_{2}=\sqrt{250000-F}\)

愿意支付的最高价格使得：

\(E u_{1}=E u_{2}\)

解得：\(F_{1}=9900\)

3)补偿所有损失的公平保险：保险公司期望利润为0

\(\begin{aligned} E \pi &=5 \%\left(F_{2}-160000\right)+95 \% \cdot F_{2}=0 \\ & \Rightarrow F_{2}=8000 \end{aligned}\)

4)由于 \(F_{1}>F_{2}\)，故交易可以进行

note：思考以下几个问题

1.为何判断风险类型时，要用风险厌恶系数，而不是直接利用效用函数的二阶导。

2.对于完全保险，即补偿所有损失。投保人在什么情况下才会对所有损失投保？

3.为何公平保险的条件是保险公司的期望收益为0

4.为何公平保险时投保人的最优选择点位于45°线上，即规避了所有风险

5本题中的\(w_2-w_1\)图与书中的\(u(w)-w\)图有什么区别

  1. 某(垄断的) 电信公司的市场调查表明，每个 \(A\) 类顾客对电信服务的需求函数为 \(q_{1}(p)=40-p,\) 而每个B类顾客的需求函数为 \(q_{2}(p)=48-p\) 。 在该电信公司所服务区域，每类 顾客的人数均为 \(n\) 。假设提供电信服务的成本为 \(0_{\circ}\)

  1. 如果该电信公司必须实行单一线性定价，请找出其最优价格和公司利润。

  2. 如果该电信公司可以区分两类顾客，并且对每一类顾客收取不同的单一线性价格，请分别找出其 针对每一类顾客的最优价格以及公司利润。

  3. 如果该电信公司能区分两类顾客，并且对每一类顾客收取不同的“ \(\lambda\) 网费”和单位价格，请分别 找出对每一类顾客的最佳价格方案以及公司利润。

  4. ( \(\mathrm{d}\) ) 假如该电信公司无法区分这两类顾客，请找出其最佳的单一两部定价方案 \((T, \mathrm{p}),\) 其中 \(T\) 为入 网费， \(p\) 为单位价格，并给出公司利润。

solution：

1)统一定价——同时供应

利润最大化

\(\max : \quad \pi=P[n(40-p)+n(48-p)]\)

FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=2 n(44-2 p)=0\)

解得： \(p=22 \quad \pi=968 n\)

统一定价——仅供应单一市场B

利润最大化： \(\begin{aligned} \max : & \pi=n p(48-p) \\ Foc: \quad \frac{d \pi}{d p} &=n(48-2 p)=0 \end{aligned}\)

解得： \(p=24<40\)，故不可只供应大市场

综上：统一性定价时： \(p=22 , \quad T=968 n\)

2)三级价格歧视：

利润最大化

\(\max : \pi=n P_{1}\left(40-P_{1}\right)+n P_{2}\left(48-P_{2}\right)\)

FOCs:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}=n\left(40-2 p_{1}\right)=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}}=n\left(48-2 p_{2}\right)=0\end{array}\right.\)

解得： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=20 \\ p_{2}=24\end{array} \quad \pi=996 n\right.\)

3)两部定价：都能区分

利润最大化：

\(\begin{aligned} \max : \pi=& n P_{1}\left(40-P_{1}\right)+n P_{2}\left(48-P_{2}\right)+n\left(T_{1}+T_{2}\right) \\ \text { st: } & T_{1}=\int_{0}^{q_{1}} p_{1}\left(q_{1}\right) d q \\ T_{2} &=\int_{0}^{q_{2}} p_{2}\left(q_{2}\right) d q \end{aligned}\)

解得：

\(p_{1}=p_{2}=mc=0\)

\(T_{1}=800 , \quad T_{2}=1152\)

\(\pi=1952 n\)

4)两部定价：能够区分

利润最大化：

\(\begin{aligned} \max : \pi=& P[n(40-p)+n(48-p)]+2 n T \\ s t: & T=\min \left\{c s_{1}(p) , c s_{2}(p)\right\} \end{aligned}\)

化简得：

\(\pi=n\left(-p^{2}+8 p+1600\right)\)

FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=n(8-2 p)=0\)

解得：\(p=4 , T=\frac{1}{2}(40-P)^{2}=648\)

\(\pi=1616 n\)

  1. 一个具有三家厂商的寡头垄断市场中，其中一位厂商是市场价格制定者，假设市场需 求函数为 \(q=100-2 p\) ，领导者的边际成本为 \(5,\) 若每家跟随者的生产成本函数为 \(c(y)=0.5 y^{2}\) 。 请回答下列问题:

  1. 市场均衡价格。

  2. 每家厂商的产量及利润。

solution

1)不妨假设企业1为价格领导者：

企业\(i(i=2,3)\)利润最大化

\(\max : \pi_{i}=p \cdot q_{i}-\frac{1}{2} q_{i}^{2}\)

\(Foc: \frac{d \pi_i}{d q_{i}}=p-q_{i}=0\)

则企业2,3的市场供给为：\(q^{s}=q_{1}^{s}+q_{i}^{s}=2 p\)

则市场的剩余需求为 \(Q_{1}=100-4 p\)

带入企业1利润最大化

\(\max : \pi_{1}=(p-5)(100-4 p)\)

\(FOC: \quad \frac{d \pi}{d p}=4(30-2 p)=0\)

解得：\(p=15\)

2)3个企业的产量与利润分别为。

\(\begin{array}{ll}q_{1}=40 & ; \quad \pi_{1}=400 \\ q_{2}=q_{3}=15 ; & \pi_{2}=\pi_{3}=112.5\end{array}\)

note：价格领导者和产量领导者有区别。