1.在一自由市场，一商贩的效用函数为 \(u(\omega)=\ln \omega, \omega\) 代表收入。他每天的收入为 200 元， 但按规定应交纳 50 元固定税费。市场监管人员按 \(10 \%\) 的概率抽查。被抽中肯定能被查清是否己缴 税。偷税者将被罚款。
1)为了打击偷税，市场监管人员需要决定罚款额至少应为多少?
2)假定该商贩还有其他与该市场无关的随机收入，即各以 \(50 \%\) 的概率获得 100 元和 300 元，那 么你对第一问中的回答是否有变化? 如果有，请给出。
solution:
1)缴税的效用 \(u_{1}=\ln 150\)
不交税的期望效用：
\(E u_{2}=90 \% \ln 200+10\% \mathrm{l} \ln (200-F)\)
罚款额应该使得：
\(u_{1} \geqslant E u_{2}\)
即最低罚款额应该满足：
\(\ln 150=90 \% \ln 200+10 \% \ln (200-F)\)
解得 \(F=188.7\)
2)缴税的期望效用：
\(E u_{1}=50 \% \ln 450+50 \% \ln 250\)
不缴税的期望效用
\(\begin{aligned} E u_{2} &=50 \%[90 \% \ln 500+10 \% \ln (500-F)] \\ &+50 \%\left[90 \% \ln 300+10^{2} \mathrm{l} \ln (300-F)\right] \end{aligned}\)
罚款额应使得：
\(E u_{1} \geqslant E u_{2}\)
即最低罚款额应该满足：
\(Eu_{1}=E u_{2} \quad(F<300)\)
解得：F=264.2
2.一果农来集市上贩卖苹果，由于他的苹果品种特殊，口味独特，因此很难在市场上找 到可替代的苹果。现在有两类消费者（大娛和小鲜肉）都喜欢上了这种口味的苹果，每 位大娛对该苹果的需求函数为 \(q_{1}=8-p,\) 每位小鲜肉对该苹果的需求函数为 \(q_{2}=20-p\) ， 记大娛的人数比例为 \(k,\) 该果农的成本函数为 \(C(Q)=2 Q\) 。请回答下列问题:
1)该果农为了最大化利润，对两类群体分别定价，求利润最大化时的定价。
2)若该果农区分不了大娛和小鲜肉，求利润最大化时的定价。
solution:
1)三级价格歧视：
利润最大化：
\(max: \pi=k\left(p_{1}-2\right)\left(8-p_{1}\right)+(1-k)\left(p_{2}-2\right)\left(20-p_{2}\right)\)
FOCs： \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}=k\left(10-2 p_{1}\right)=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}}=(1-k)\left(22-2 p_{2}\right)=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}^{m}=5 \\ p_{2}^{m}=11\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{m}=9 k \\ \pi_{2}^{m}=81(1-k)\end{array}\right.\right.\)
2)无法区分市场，统一定价
若同时供应两个市场
利润最大化：
\(\max : \pi=(p-2)[k(8-p)+(1-k)(20-p)]\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=22-12 k-2 p=0\)
解得：\(p=11-6 k\)
i)当\(0 \leq k<\frac{1}{2}\) 时， \(p>8\)，此时若同时供应 \(p=8-\varepsilon .\left(\varepsilon \rightarrow 0^{+}\right)\)
利润 \(\pi=72(1-k)<\pi_{2}^{m}\)
此时只会选择供应市场2， \(p=11\)
2)当\(\frac{1}{2} \leq k \leq 1\) 时， \(p \leq 8\) ，此时若同时供应 ，\(p=11-6 k\) ，利润 \(\pi=81\left(1-\frac{2}{3} k\right)^{2}\)
当 \(\frac{1}{2} \leqslant k<\frac{3}{4}\) 时， \(\pi<\pi_{2}^{m}\)只供应市场2
当\(\frac{3}{4} \leq k<1\) 时， \(\pi \geqslant \pi_{2}^{m}\)同时供应两个市场
\(\left\{\begin{array}{l}0 \leq k<\frac{3}{4} ：企业仅供应市场1，p=11\\ \frac{3}{4} \leq k<1：企业同时供应两个市场，p=11-6k\end{array}\right.\)
3)二级价格歧视——组合定价(A,q)
企业利润最大化：
\(\max : \pi=k\left(A_{1}-2 q_{1}\right)+(1-k)\left(A_{2}-2 q_{2}\right)\)
st：
IR(参与约束)：\(A_{1}=\frac{1}{2} q_{1}\left(16-q_{1}\right)\) IC(激励约束)：\(\frac{1}{2} q_{2}\left(40-q_{2}\right)-A_{2}=\frac{1}{2} q_{1}\left(40-q_{1}\right)-A_{1}\)
化简得： \(A_{1}=\frac{1}{2} q_{1}\left(16-q_{1}\right)\)
\(A_{2}=\frac{1}{2} q_{2}\left(40-q_{2}\right)-12 q_{1}\)
\(\pi=(18 k-12) q_{1}-\frac{1}{2} k q_{1}^{2}+(1-k) q_{2}\left(18-\frac{1}{2} q_{2}\right)\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial q_{1}}=18 k-12-k q_{1}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial q_{2}}=(1-k)\left(18-q_{2}\right)=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{18 k-12}{k} \quad\left(q_{1} \geqslant 0\right) \\ q_{2}=18\end{array}\right.\)
i)当 \(0 \leq k \leq \frac{2}{3}\)时，不供应小市场
此时
\(\left(A_{1}, q_{1}\right)=(0,0)\) \(\left(A_{2}, q_{2}\right)=(198,18)\)
ii)当 \(\frac{2}{3}<k \leq 1\)时，同时供应两个市场
此时
\(\left(A_{1}, q_{1}\right)=\left(\frac{6(6-k)(3 k-2)}{k^{2}}, \frac{18 k-12}{k}\right)\) \(\left(A_{2}, q_{2}\right)=\left(\frac{144+18 k}{k} , 18\right)\)
注：IR与IC约束
这类约束可以分为2类4个
IR参与约束：两类消费者购买优于不购买
\[ \left\{\begin{array}{l} c s_{1}=\int_{0}^{q_{1}} p_{1}\left(q_{1}\right) d q-A_{1} \geqslant 0 \\ c s_{2}=\int_{0}^{q_{2}} p_{2}\left(q_{2}\right) d q-A_{2} \geqslant 0 \end{array}\right. \]
IR激励约束：两类消费者都不会选择对方的\((A,q)\)
\[ \left\{\begin{array}{l} \int_{0}^{q_{1}} p_{1}\left(q_{1}\right) d q-A_{1} \geqslant \int_{0}^{q_{2}} p_{1}\left(q_{2}\right) d q-A_{2} \\ \int_{0}^{q_{2}} p_{2}\left(q_{2}\right) d q-A_{2} \geqslant \int_{0}^{q_{1}} p_{2}\left(q_{1}\right) d q-A_{1} \end{array}\right. \]
化简后只有两个不等式可取等号：
\[ \left\{\begin{array}{l} c s_{1}=\int_{0}^{q_{1}} p_{1}\left(q_{1}\right) d q-A_{1}=0 (IR)\\ \int_{0}^{q_{2}} p_{2}\left(q_{2}\right) d q-A_{2}=\int_{0}^{q_{1}} p_{2}\left(q_{1}\right) d q-A_{1} (IC)\end{array}\right. \]
均衡结果分析
无论\(k\)取何值，大市场的供应量\(q_2\)不变，成为顶端不扭曲
随着\(k\)增大，小市场的供应量\(q_1\)上升，因为小市场的利润逐渐不容忽视。
3.一个城市有两家报纸, 每一家报纸的需求由自己和对手的定价决定。两家报纸的需求 函数分别为\(q_{1}=21-2 p_{1}+p_{2}\) 和 \(q_{2}=21-2 p_{2}+p_{1}\) 。印刷和分发额外一份报纸的边际成本等 于增加一个读者对于广告收入的贡献，因此边际成本可以看成为零。每家报纸都认为对 方的价格独立于自己的价格选择。如果第一家报纸率先定价，那么求均衡价格、产量及
各自利润。
solution：
逆向归纳法：
跟随者利润最大化
\(\max : \pi_{2}=p_{2}\left(21-2 p_{2}+p_{1}\right)\)
FOC:\(\frac{\partial \pi_{2}}{\partial p_{2}}=21-4 p_{2}+p_{1}=0\)
反应函数
\(P_{2}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} P_{1}\)
领导者利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=p_{1}\left[21-2 p_{1}+p_{2}\left(p_{1}\right)\right]\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p_{1}}=0\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}P_{1}=\frac{15}{2} \\ P_{2}=\frac{57}{8}\end{array}\right.\)， \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{105}{8} \\ q_{2}=\frac{57}{4}\end{array}\right.\)， \(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=\frac{1575}{16} \\ \pi_{2}=\frac{3249}{32}\end{array}\right.\)
以及： \(\left\{\begin{array}{ll}R_{2}: & P_{2}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} P_{1} \\ \bar{\pi_i}: & P_{2}=\frac{\bar{\pi}_{1}}{P_{1}}+2 p_{1}-21\end{array}\right.\)