1)该小贩应怎样组合冰激凌和汽水的售卖比例 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(1-\boldsymbol{\alpha},\) 使得期望效 用最大?
2)有一个保险给只卖冰激凌的商贩设立。保险的保费为每周 400 元。 如果气温不高（即气温正常），则保费赔付 800 元。这个小商贩是否应该购买此 保险并只售卖冰激凌，还是应该不买保险保持（1）中两种商品的售卖比例？
solution:
1)高温时，商贩的收入为：
\(w_{H}=2500 \alpha+1600(1-\alpha)=1600+900 \alpha\)
气温正常时，商贩的收入为：
\(w_{L}=400 \alpha+900(1-\alpha)=900-500 \alpha\)
期望效用最大化：
\(\max : \quad E U_{0}=\frac{1}{2} \sqrt{1600+900\alpha}+\frac{1}{2} \sqrt{900-500\alpha}\)
FOC:\(\frac{d E U_{0}}{d \alpha}=\frac{5}{2}\left[\frac{9}{\sqrt{16+9\alpha}}-\frac{5}{\sqrt{9-5\alpha}}\right]=0\)
解得：
\(|\alpha^ *=0.52\)
2)若购买保险只售卖冰淇淋：
\[ \begin{aligned} E U_{1} &=\frac{1}{2} \sqrt{2500-400}+\frac{1}{2} \sqrt{400+800-400} \\ &=5(\sqrt{21}+\sqrt{8}) \end{aligned} \]
若保持1)中的选择：
\[ E U_{0} \doteq 5(\sqrt{20.68}+\sqrt{6.4}) \]
由于 \[ \begin{aligned} \Delta E U &=E U_{1}-E U_{0} \\ &=5[\sqrt{21}-\sqrt{20.68}+\sqrt{8}-\sqrt{6.4}]>0 \end{aligned} \]
故商贩会选择购买保险，只售卖冰淇淋。
note：若存在保险市场，商贩的最优\(\alpha\)会发生变化，但本题为了降低难度并未考察。
1)求整个咖啡消费市场的需求曲线和边际收益曲线（MR）。
2)当 c=10，咖啡厅不实施价格歧视，咖啡按单一价格销售，咖啡厅追求 利润最大，应将咖啡定价为多少？此时老师和学生两个群体各自的消 费量是多少?
3)当 c=25，咖啡厅不实施价格歧视，咖啡按单一价格销售，咖啡厅追求 利润最大，应将咖啡定价为多少？此时老师和学生两个群体各自的消 费量是多少?
4)当 \(\mathrm{c}=25\) ，咖啡厅实施三级价格歧视，对老师和学生两个群体收取不同 的咖啡单价，学生可凭借学生卡得到低价的优惠（假定学生不会代老 师购买咖啡，老师也不会请学生喝咖啡 \(）\) 。咖啡厅为了追求最大利润, 应该对老师和学生分别如何定价?
5)当 \(\mathrm{c}\) 在什么范围内，实行价格歧视（允许使用学生证优惠 ）比实行单 一定价所造成的市场总消费（老师的消费+学生的消费）更高?
6)当 \(\mathrm{c}\) 在什么范围内，实行价格歧视（允许使用学生证优惠）比实行单 一定价所带来的市场总剩余（咖啡厅的生产者剩余+老师的消费者剩 余+学生的消费者剩余）更高?
solution：
1)市场的总需求为：
\[ Q=\left\{\begin{array}{ll} Q^{T}=50-\frac{1}{2} p & 40<p \leq 100 \\ Q^{T}+Q^{S}=90-\frac{3}{2} P & 0<P \leq 40 \end{array}\right. \]
边际收益曲线为：
\[ M R=\frac{d(p \cdot Q)}{d Q}=\left\{\begin{array}{ll} 100-4 Q & 40<p \leq 10 \\ 6-\frac{4}{3} Q & 0<p \leq 40 \end{array}\right. \]
2)统一定价：同时供应
利润最大化
\(\max : \pi=(p-c)\left(90-\frac{3}{2} p\right)\)
FOC \(\frac{d \pi}{d p}=90+\frac{3}{2} c-3 p=0\)
解得：
\(p=30+\frac{1}{2} c\)
\(c=10\) \(p=35 , \quad \pi=937.5\)
统一定价：只供应大市场
利润最大化：
\(\max : \pi=(p-c)\left(50-\frac{1}{2} p\right)\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=50+\frac{1}{2} c-p=0\)
解得：\(p=50+\frac{1}{2} c>40\)
当\(c=10\)时， \(p=55 . \quad \pi=1012.5\)
故此时价格为P=55,只供应教师。
\(Q^{T}=22.5 ,Q^{S}=0\)
3)统一定价：同时供应
当 \(c=25\)时， \(p=42.5>40\) 。故同时供应的最优选择条件不满足，取次优解： \(P=40-\varepsilon\left(\varepsilon \rightarrow 0^{+}\right)\)
实际上，\(c\geq20\)时，统一定价的p\(\geq40\),同时供应两个市场并非最优。
统一定价：供给单一市场
\(\pi \dot=450\) \(p \geqslant 4 0\)
\(c=25\)时， \(p=62.5, \quad \pi=703.125\)
综上\(c=25\)时，
\(p=62.5 . \quad Q^{T}=18.75 \quad Q^{S}=0\)
4)三级价格歧视
利润最大化：
\(\max : \pi=\left(p^{T}-c\right)\left(50-\frac{1}{2} p^{T}\right)+\left(p^{s}-c\right)\left(40-p^{s}\right)\)
FOCs: \(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \pi}{\partial p_T} &=50+\frac{1}{2} c-p^{T}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p^{s}} &=40+c-2 p^{s}=0 \end{aligned}\right.\)
当 \(c=25\) 时：
\(p^{T}=62.5 \quad p^{s}=32.5\)
5)三级价格歧视时的总消费：
\(Q_{1}=Q_{1}^{T}+Q_{1}^{S}=45-\frac{3}{4} c\)
统一价格时的总消费：
若只供应单一市场：
\(Q_{2}=Q_{1}^{T}<Q_{1}\)
同时供应两个市场：
\(Q_{2}=Q_{2}^{T}+Q_{2}^{S}=\left(35-\frac{1}{4} \mathrm{C}\right)+\left(10-\frac{1}{2} \mathrm{C}\right)=45-\frac{3}{4} \mathrm{C}=Q_1 .\)
综上：
\(Q_{1}>Q_{2}\) 的条件为:统一定价时厂商只供应大市场
同时供应的利润：\(\pi_{1}=\frac{3}{2}\left(30-\frac{1}{2} c\right)^{2}\)
只供给大市场的利润：\(\pi_{2}=\frac{1}{2}\left(50-\frac{1}{2} c\right)^{2}\)
令 \(\Delta \pi=\pi_{2}-\pi_{1}>0\)
解得：\(40-20 \sqrt{3}<c<40+20 \sqrt{3}\)
若 \(c \geq 40\) 则小市场不供应，此时 \(Q_{1}=Q_{2}\)
综上：当\(40-20 \sqrt{3}<c<40\) 时，有 \(Q_{1}>Q_{2}\)
6)由5)知：
\[\begin{cases} 当0< C \leq 40-20 \sqrt{3}时，统一定价同时供应：s w_{1} < sw_{2}\\ 当40-20 \sqrt{3}<C<40时，统一定价只供应大市场：S W_{1}>S W_{2}\\ 当c>40时,不供应小市场：S W_{1}=S W_{2} \end{cases}\]
综上：当 \(40-20 \sqrt{3}< c<40\)时，三级价格歧视的福利大于统一定价的福利
其实最后两问时同一个问题的不同问法。
note：若大小市场的垄断价格分别： \(P_{H}^{m} \cdot P_{L}^{m}\)
大小市场的最高价格分别为： \(a , b\)
统一定价的最优价格为：\(\bar{P}\) \(\left(p_{L}^{m} < \bar{p}<p_{H}^{m}\right)\)
当 \(P_{H}^{m}<b\)时，此时统一定价必定同时供应
当\(p_{H}^{m} \geqslant b\) 时， 若\(\bar{p}<b\) ，则同时供应；若 \(\bar{p} \geqslant b\)，仅供应大市场。
上述结论只有当大市场份额小于等于小市场时成立，若大市场份额更大，则仅供应大市场的概率更大。