1.1956年，希克斯给出下例说明一个满足显示偏好弱公理（WA）的偏好关系可能会不满足 传递性。 考虑三个时期 \((t=0,1,2)\) 的价格和购买组合 \(\left(p^{t}, x^{t}\right):\) 第一期： \[ p^{0}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \quad x^{0}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 19 \\ 9 \end{array}\right) \] 第二期：\(p^{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad x^{1}=\left(\begin{array}{l}12 \\ 12 \\ 12\end{array}\right),\) 第三期： \[ p^{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \quad x^{2}=\left(\begin{array}{c} 27 \\ 11 \\ 1 \end{array}\right) \] 1)通过计算证实该偏好满足显示偏好弱公理

2)说明为什么该偏好不满足传递性?

solution:

\(x^0\) \(x^1\) \(x^2\)
\(p^0\) 42 48 40
\(p^1\) 33 36 39
\(p^2\) 52 48 50
  1. \(\left\{\begin{array}{l}p^{1} x^{1}>p^{1} x^{0} \\ p^{0} x^{1} < p^{0} x^{0}\end{array} \Rightarrow x^{1}>x^{1}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}p^{0} x^{0}>p^{0} x^{2} \\ p^{2} x^{0} < p^{2} x^{2}\end{array} \Rightarrow x^{0}>x^{2}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}p^{2} x^{2}>p^{2} x^{1} \\ p^{1} x^{2} < p^{1} x^{1}\end{array} \Rightarrow x^{2}>x^{1}\right.\)

  1. \(\begin{array}{l}x^{1}>x^{0} \\ x^{0}>x^{2} \\ x^{2}>x^{1}\end{array} \Rightarrow x^{1}>x^{0}>x^{2}\)

不符合传递性，SARP不成立

2.市场上有 \(A 、 B\) 两种消费者，各占 \(50 \%\) 。其中 \(A\) 类人的效用函数为 \(U^{A}=5 x-\frac{1}{2} x^{2}+y, B\) 类 人的效用函数为 \(U^{B}=6 x-\frac{1}{2} x^{2}+y,\) 垄断厂商的成本函数为 \(C(X)=X,\) 其中 \(X\) 为垄断厂商生产 的产品。 \(Y\) 为其它商品组合，价格为 \(1 .\)

1)求有 \(A 、 B\) 两类人各自对 \(X\) 的需求函数

2)若垄断厂商在 \(A 、 B\) 中选一种消费者出售商品，那么你认为应该选择哪类消费者？若垄断厂 商采用两部分定价制，问边际价格和一次性付费是多少?

3)若同时在 \(A 、 B\) 中出售，并且采用两部分定价制，问厂商的边际价格和一次性付费各为多少 时，厂商能够实现利润最大化?

solution：

1)A、B代表性消费者效用最大化

\(\max \quad U^{A}=5 x-\frac{1}{2} x^{2}+y\) st: \(\quad p \cdot x+y=m^{A}\)

\(\begin{aligned} \max: & U^{B}=6 x-\frac{1}{2} x^{2}+y \\ \text { st }: & p \cdot x+y=m^{\text {B }} \end{aligned}\)

解得： \[ \left\{\begin{array}{l} x^{A}=5-p \\ x^{B}=6-p \end{array}\right. \]

假设A、B的需求数量均为N

则总需求为： \[ \left\{\begin{array}{l} X^{A}=N(5-p) \\ X^{B}=N(6-p) \end{array}\right. \]

2)由于A与B的占比相同，且B的需求大于A,故只供应一类消费者时，应选B

若此时采用两部定价：

\[ \begin{aligned} \max : \pi &=N(p-1)(6-p)+N \cdot c s_{2} \\ &=\frac{N}{2}(4+p)(6-p) \end{aligned} \]

\[ \mathrm{Foc}: \frac{d \pi}{d p}=N(1-p)=0 \]

故 \(\left(p^{*}, F^{*}\right)=\left(1, \frac{2 5}{2}\right)\)

\(\pi^{*}=\frac{25}{2} N\)

即只供应一类消费者，且采用两部定价时， \(\left.p^{*}=M C, \quad F^{*}=cs( M C\right)\)

3)若同时供应，且采用两部定价。

利润最大化：

\(\max : \quad \pi=N(p-1)(6-p)+N(p-1)(5-p)+2 N F\)

\[ \text { st: }\left\{\begin{array}{l} F=\min \left\{c s_{1}, c s_{2}\right\} \\ p<5 \end{array}\right. \]

将约束带入为：

\(\pi=N\left(14+3 p-p^{2}\right)\)

\(Foc: \quad \frac{d \pi}{d p}=N(3-2 p)=0\)

解得： \(\left(p^{* *}, F^{* *}\right)=\left(\frac{3}{2}, \frac{49}{8}\right)\)

\(\pi^{* *}=\frac{65}{4} N>\pi^{*}\)

此时边际价格与一次性费用分别为\(\left(\frac{3}{2}, \frac{49}{8}\right)\)

3.两个企业生产完全同质的产品，他们之间进行静态的产量竞争，市场需求函数为 \(P=15-Q \circ\) 记两个企业的成本函数分别为 \(F_{1}+c_{1} q_{1}\) 和 \(F_{2}+c_{2} q_{2},\) 其中 \(F_{i}\) 为固定成本, \(c_{i}\) 为边际成本。

  1. 请找出两个企业的均衡产量和利润（作为 \(F_{1}, F_{2}, c_{1}, c_{2}\) 的函数 \()\) 。

  2. 假设有两个生产技术，A和 \(B,\) 可供企业选择。采用技术 \(A\) 时，固定成本为 \(0,\) 边际 成本为 \(6 。\) 采用技术 \(B\) 时，固定成本为 10 ，边际成本为 \(3, \circ\) 在进行产量竞争之前，企业 选择他们的生产技术。请找出均衡情况下两个企业选择的技术。

solution：

1)企业i利润最大化：

\(\max : \pi_{i}=\left(15-q_{i}-q_{j}\right) q_{i}-c_{i} i-F_{i}\)

FOC: \(\frac{\partial \pi_i}{\partial q_{i}}=15-c_{i}-2 q_{i}-q_j=0\)

反应函数： \(q_{i}=\frac{15-c_{i}-q_{j}}{2}\)

联立企业1.2得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=\frac{15-2 c_{1}+c_{2}}{3} \\ q_{2}^{c}=\frac{15-2c_2+c_{1}.}{3}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{c}=\frac{\left(15-2 c_{1}+c_{2}\right)^{2}}{9}-F_{1} \\ \pi_{2}^{c}=\frac{\left(15-2c_2+c_{1})^{2}\right.}{9}-F_{2}\end{array}\right.\)

假设\(\pi^c\geq0\),即生产均有意义，原题应该给了限制条件。

2)企业对级数的选择不但影响自身利润，也影响对手的利润，可看成两个阶段的博弈。

\[\begin{cases} I:技术选择\\ II:古诺竞争\end{cases}\]

逆向归纳法

企业1
A B
企业2 A (9,9) (4,15)
B (15,4) (6,6)

存在唯一的纯策略纳什均衡(B,B)，故两个企业都会选技术B.