1.两期生产经济。代表性家庭效用为\(U=\frac{c_{1}^{\sigma}}{1-\sigma}+\beta \cdot \frac{C_{2}^{\delta}}{1-\sigma}\)，第一期家庭拥有 \(k_{1}\) ，做出消费决策\(\left(c_{1}, c_{2}\right)\)，投资鞠策I,购买债券b,利率为r，两期的约束分别为：
\(\left\{\begin{array}{l}f\left(k_{1}\right)+b=c_{1}+I\left[1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right] \\ f\left(k_{2}\right)-b(1+r)=c_{2}\end{array}\right.\)
资本积累方程： \(k_{2}=k_{1}+I \quad(I \geqslant 0)\)
1)以 \(\left(c_{1},c_2, k_{1}, I)\right.\)表示家庭的跨期预算约束。
2)求出家庭最优决策的一阶条件。
3)定义 \(q=1+\frac{3}{2} \phi\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\)，则q用生产函数f来表示的长城为？q的经济学含义是什么？将I表示为 \(I\left(k_{1}, q\right)\)并解释经济学含义。
solution:
1)两期预算约束中消去b:
\(c_{1}+\frac{c_{2}}{1+r}+I\left[1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right]\) \(=f\left(k_{1}\right)+\frac{f\left(k_{2}\right)}{1+r}\)
利用关键方程(资本积累方程)消去 \(k_{2}\)
\(c_{1}+\frac{c_{2}}{1+r}+I\left[1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right]=f\left(k_{1}\right)+\frac{f\left(k_{1}+I\right)}{1+r}\)
即为跨期预算约束。
2)家庭效用最大化：
\(\max : \quad U=\frac{c_{1}^{\sigma}}{1-\sigma}+\beta \cdot \frac{c_{2}^{\sigma}}{1-\sigma}\)
st: \(\left\{\begin{aligned} c_{1}+\frac{c_{2}}{1+r}+I\left[1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right]=f\left(k_{1}\right)+\frac{f\left(k_{1}+1\right)}{1+r} \\ I \geqslant 0 \end{aligned}\right.\)
拉格朗日函数： \(\exists u \geqslant 0\)，st
\(\mathcal{L}=\frac{c_{1}^{\sigma}}{1-\sigma}+\beta \cdot \frac{c_{2}^{\sigma}}{1-\sigma}+\lambda\left[f\left(k_{1}\right)+\frac{f\left(k_{1}+I\right)}{1+r}-c_{1}-\frac{c_{2}}{1+r}-I\left(1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{\bar{I}}{k_{1}}\right)^{2}\right)\right]+u\cdot I\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}}=\frac{\sigma}{1-\sigma} c_{1}^{\delta-1}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2}}=\beta \frac{\sigma}{1-\sigma} c_{2}^{\sigma-1}-\lambda \cdot \frac{1}{1+r}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_{1}}=\lambda\left[f^{\prime}\left(k_{1}\right)+\frac{f^{\prime}\left(k_{1}+1\right)}{1+r}+\phi\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{3}\right]=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial I}=\lambda\left[\frac{f^{\prime}\left(k_{1}+1\right)}{1+r}-1-\frac{3}{2} \phi\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right]+\mu=0\end{array}\right.\)
化简得：
\(c_{1}^{\sigma-1}=\beta c_{2}^{\sigma-1} \cdot(1+r)\)【欧拉方程】
\(\left. c_{1}^{\sigma-1}=\beta c(2)^{\sigma-1} \cdot (1+r)\right]\)【跨期消费的优化】
\(\left[u^{\prime}\left(c_{1}\right)=\beta u^{\prime} c(c_2)(1+r)\right]\)
\(1+\frac{3}{2} \phi\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}=\frac{f^{\prime}\left(k_{1}+I\right)}{1+r}\) 方程左边是单位投资的边际成本，方程右边是单位投资的边际收益【跨期的投资优化】
注： \(I\left[1+\frac{\phi}{2}\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}\right]\)为使得资本存量增加I的必要投资额， \(I \cdot \frac{\phi}{2} \cdot\left(\frac{I}{k_1}\right)^{2}\)为投资的调整成本。
\(q=1+\frac{3}{2} \phi\left(\frac{I}{k_{1}}\right)^{2}=\frac{f^{\prime}\left(k_{1}+I\right)}{1+r}\)
经济学含义：均衡时，q表示增加一单位I能够带来的\(f(k_2)\)的增量(贴现) \(I=\sqrt{\frac{2 k_{1}^{2}(q-1)}{3 \phi}}\)
由于\(I \geqslant 0\) 即 \(q \geq 1\) \(q>1\)上式才有意义
经济学含义：上式表面，q>1时，才会有正的投资，这其实就是托宾q,表明只有单位投资所带来的产量增加的现值大于1时才会投资，否则直接购买企业的股票，不会投资。
1)若厂商实行三级价格歧视，则对于两类消费者分别确定的价格和产量为多少? \(\left(5^{\prime}\right)\)
2)若厂商对于首次进入市场的消费者一次性收取固定费用 \(F,\) 对于消费者按价格 \(p\) 收取费用。 若厂商需要保证两类消费者都能消费，那么最优的 \(F\) 和 \(p\) 是多少? 若厂商只需要保证一类消费者能 够消费，那么最优的 \(F\) 和 \(p\) 是多少?厂商会做出何种选择? \(\left(15^{\prime}\right)\)
solution：
1)三级价格歧视，利润最大化：
\(\max : \quad \pi=10\left(p_{1}-3\right)\left(\frac{15}{2}-\frac{5}{4} p_{1}\right)+20\left(p_{2}-3\right)\left(12-p_{2}\right)\)
FOCs: \(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \pi}{\partial \rho_{1}} &=\frac{45}{4}-\frac{5}{2} P_{1}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}} &=15-2 P_{2}=0 \end{aligned}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{9}{2} \\ p_{2}=\frac{15}{2}\end{array}\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{15}{8} \\ q_{2}=\frac{9}{2}\end{array}\right.\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}Q_{1}=\frac{75}{4} \\ Q_{2}=90\end{array}\right.\)
2)二级价格歧视——两部定价——同时供应
利润最大化：
\(\begin{aligned} \max : \pi=&(p-3)\left[10\left(\frac{15}{2}-\frac{5}{4} p\right)+20(12-p)\right] \\ &+30 \cdot {F} \end{aligned}\)
st:\(\quad\left\{\begin{array}{l}F=\min \left\{cs_{1}, c s_{2}\}\right. \\ p<6\end{array}\right.\)
化简后： \(\max : \pi=\frac{5}{2}(p-3)(126-13 p)+\frac{75}{4}(6-p)^{2}\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d p}=270-\frac{55}{2} p=0\)
解得：\(p=\frac{108}{11}>6\)
故若要同时供应两个市场，则\(P=6-\varepsilon \quad\left(\varepsilon \rightarrow 0^{+}\right)\)
此时固定费用 \(F=c s_{1} \doteq 0\)
利润 \(\pi \doteq 360\)
二级价格歧视——两部定价——只供应单个市场
由于市场2的需求 \(q=12-p\)大于市场1，且市场2的人数20高于1，故只供应市场2.
利润最大化：
\[ \max : \pi=20(p-3)(12-p)+10(12-p)^{2} \]