1.在两商品的空间里，求证：

1)若一种商品的需求自价格弹性为单位弹性，则该商品的价格 \(\left(p_{1}\right)\) 变动不会 对另一种商品需求 \(\left(x_{2}\right)\) 产生任何影响

2)若一种商品的需求是富于弹性的，则另一种商品 \(\left({ }^{x} 2\right)\) 是这种商品 \(\left(x_{1}\right)\) 的替 代品。

3)若一种商品的需求是缺之弹性的，则另一种商品 \(\left({ }^{x}{ }_{2}\right)\) 是这种商品 \(\left(x_{1}\right)\) 的补 充品。

proof:

预算约束： \(p_{1} \cdot x_{1}+p_{2} \cdot x_{2}=I\)

上式对价格\(p_1\)求导：

\(x_{1}+p_{1} \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}+p_{2} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}=0\)

化简得：

\(x_{1}\left[1+\frac{p_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}\right]+p_{2} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}=0\)

即 \(x_{1}\left[1-\left|\varepsilon_{1}\right|\right]+p_{2} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}=0\)

1)若 \(|\varepsilon|=1\) ，则 \(\frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}=0\)

2)若 \(|\varepsilon|>1\) ， 则\(\frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}>0\)，替代品

3)若 \(|\varepsilon|<1\) ， 则\(\frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}<0\) 互补品

note:弹性专题

1.两种加总

恩格尔加总

推导： \(p_{x} \cdot x+p_{y} \cdot y=I\)

对收入I求导

\(p_{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial I}+p_{y} \cdot \frac{\partial y}{\partial I}=1\)

\(\Rightarrow \quad \frac{p_{x} \cdot x}{I} \cdot \frac{I}{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial I}+\frac{p_{y} \cdot y}{I} \cdot \frac{I}{y} \cdot \frac{\partial y}{\partial I}=1\)

\(\Rightarrow \quad S_ x \cdot e_{x,I}+S_y \cdot e_{y \cdot I}=1\)

意义：x,y不可能全为奢侈品 \(e_{x, I}>1 . \quad \operatorname e_{g,I}>1 \quad\) 与 \(\quad s_{x}+\operatorname{s_y}=1\)相矛盾

古诺加总：

推导： \(p_{x} \cdot x+p_{y} \cdot y=I\) \(\Longrightarrow \quad x+P_{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p_{x}}+p_{y} \cdot \frac{\partial y}{\partial p_{x}}=0\)

\(\Rightarrow \quad x+x \cdot e_x \cdot p x+\frac{p_y \cdot y}{p_x} \cdot e_y \cdot p_x=0\) \(\Rightarrow \quad s_{x}+s_{x} \cdot e_{x \cdot} \cdot p_{x}+\operatorname{s_y} \cdot e_y \cdot p_{x}=0\) \(\Rightarrow \quad s_ x \cdot e_{x} \cdot p_x+s_{y} \cdot e_y \cdot p_{x}=-s_{x}\)

意义：

\(s_{x} , e_{x }, p_{x}\) 表示 \(p_{x}\)变动导致的x份额变动的比例

\(s_{y} , e_{y }, p_{x}\) 表示 \(p_{x}\)导致的y份额变动的比例

由于

\(s_{x} \cdot e_x \cdot p_{x}+s_y \cdot e_y \cdot p_{x}=-s_{x} \leq 0\)

故\(p_x\)的直接效应大于交叉效应

2.斯拉斯基方程——弹性形式

推导：

\[ \frac{\partial x}{\partial p_{x}}=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}-\frac{\partial x}{\partial I} \cdot x \]

\(\Rightarrow \quad \frac{p_{x}}{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p_{x}}=\frac{p_{x}}{x} \cdot \frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}-\frac{\partial x}{\partial I} \frac{I}{x} \cdot \frac{P_{x} \cdot x}{I}\)

\(\Rightarrow \quad e_x \cdot p_{x}=e_{x^{h}, p_{x}}-s_{x} \cdot e_{x \cdot I}\)

意义：

\[\begin{cases} x的支出份额很小时(s_x)\\ x的收入弹性很小时(e_{x,I})\end{cases}\to收入效应可忽略\to e_x,p_x等价于e_{x^h},p_x\]

  1. \(\left(20^{\prime}\right)\) 一个垄断厂商，成本为 \(0 .\) 面临两个市场，学生市场和非学生市场。每位学生的需求函数 为 \(q=100-2 p,\) 每位非学生的需求函数为 \(q=100-p_{\circ}\) 学生数量为 \(x,\) 非学生数量为 \(y\).

1)如果统一定价，求均衡价格。每个学生的消费量是多少？每个非学生的消费者是多少? \(\left(6^{\prime}\right)\) \(2 .\) 如果实行三级价格歧视，求两个市场的价格。每个学生消费量是多少? 每个非学生消费是多 少? \(\left(7^{\prime}\right)\)

2)从社会最优角度来说，统一定价和价格歧视哪个好?给出论证过程。 \(\left(7^{\prime}\right)\)

solution:

1)统一定价——同时供应两个市场

厂商利润最大化：

\(\max : \quad \pi_{1}=p \cdot x(100-2 p)+p \cdot y(100-p)\)

FOC: \(\frac{d \pi_{1}}{d p}=x(100-4 p)+y(100-2 p)=0\)

解得： \(p=\frac{50(x+y)}{2 x+y}<50\)

每个学生的消费量 \(q^{s}=\frac{100 x}{2 x+y}\)

每个非学生消费量 \(q^{n}=\frac{50(3 x+y)}{2 x+y}\)

企业的利润为： \(\pi_{1}=\frac{2500(x+y)^{2}}{2 x+y}\)

统一定价——只供应大市场

利润最大化：

\(\max : \pi_{n}=y \cdot p^{n}\left(100-p^{n}\right)\)

FOC:\(\frac{d \pi_{n}}{d p^{n}}=y\left(100-2 p^{n}\right)=0\)

解得： \(p^{n}=50 \quad q^{n}=50\)

此时能做到只供应大市场

利润： \(\pi_{n}=2500 \mathrm{y}\)

由于\(\Delta \pi=\pi_{1}-\pi_{n}=\frac{2500 x^{2}}{2 x+y}>0\)

综上：统一定价时，厂商同时供应两个市场 \(p=\frac{50(x+y)}{2 x+y}\)

\(q^{s}=\frac{100 x}{2 x+y} ; \quad q^{n}=\frac{50(3 x+y)}{2 x+y}\)

2)三级价格歧视

利润最大化： \(\left.\max : \pi_{2}=x p^{s}(100-2{p^s}\right)+y p^{n}\left(100-p^{n}\right)\)

FOCs: \(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \pi_{2}}{\partial p^{s}} &=x\left(100-4 p^{s}\right)=0 \\ \frac{\partial \pi_{2}}{\partial \rho^{n}} &=x\left(100-2 p^{n}\right)=0 \end{aligned}\right.\)

解得： \(\left\{\begin{array}{l}{p^s}=25 \\ q^{s}=50\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}p^{n}=50 \\ q^{n}=5^{\circ}\end{array}\right.\right.\)

利润为： \(\pi_{2}=1250 x+2500 y\)

3)福利比较分析：

方法1：

统一定价时的社会福利：

\(s w_{1}=c s_{1}+p s_{1}\)

\(=\frac{2500 x y^{2}}{(2 x+y)^{2}}\) +\(\frac{1250 x(3 x+4)^{2}}{(2 x+y)^{2}}+\frac{2500(x+9)^{2}}{2 x+y}\)

三级价格歧视时的社会福利： \(\begin{aligned} sw_{2} &=c s_{2}+p s_{2} \\ &=625 x+1250 y+1250 x+2500 y \\ &=1815 x+3750 y \end{aligned}\)

由于 \(\Delta sw=s w_{1}-s w_{2}=\frac{625 x y}{2 x+y}>0\)

故统一定价时社会福利更高。

方法2：

结论：线性需求时，且 \(M C=c\)时，统一定价与三级价格歧视的总供给量相等(三级价格歧视时同时供应所有市场)

社会福利最大化：

max:\(s w=x \int_{0}^{q^{s}} p^{s}(q) d q+y \int_{0}^{q^{n}} p^{n}(q) d q-c\left(x q^{s}+y q^{n}\right)\) st: \(\quad x q^{s}+y q^{n}=\overline{Q}\)

拉格朗日函数：

\(\begin{aligned} \mathcal{L}=x \int_{0}^{q^{s}} p^{s}(q) d q+y \int_{0}^{q^{n}} p^{n}(q) d q-c\left(x q^{s}+y q^{n}\right) \\ &+\lambda\left[\bar{Q}-x q^{s}-y q^{n}\right) \end{aligned}\)

FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^s}=x p^{s}\left(q^{s}\right)-(c+\lambda) x=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^{n}}=y \cdot p^{n}\left(q^{n}\right)-(c+\lambda) y=0\end{array}\right.\)

解得：当 \(p^{n}\left(q^{n}\right)=p^{s}\left(q^{s}\right)\)时，即统一价格时，社会福利最大

  1. 一个城市有两家报纸, 每一家报纸的需求由自己和对手的定价决定。两家报纸的需求 函数分别为 \(q_{1}=21-2 p_{1}+p_{2}\) 和 \(q_{2}=21-2 p_{2}+p_{1}\) 。印刷和分发额外一份报纸的边际成本 等于增加一个读者对于广告收入的贡献, 因此边际成本可以看成为零。每家报纸都认为 对方的价格独立于自己的价格选择。如果两家报纸达成协议, 以联合利润为目标而定价, 请问各自的价格将要上升多少?

solution：

1)单独价格决策：

企业1,2利润最大化：

\(\left\{\begin{array}{l}\max :\pi_1=P_{1}\left(2 1-2 p_{1}+p_{2}\right) \\ \max : \pi_{2}=P_{2}\left(2 1-2 p_{2}+p_{1}\right)\end{array}\right.\)

反应函数：

\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} p_{1}\end{array}\right.\)

均衡时：

\[\begin{cases} p_1=p_2=7\\ q_1=q_2=14\\ \pi_1=\pi_2=98\end{cases}\]

2)联合决策

利润最大化： \(\max : \pi=p_{1}\left(21-2 p_{1}+p_{2}\right)+p_{2}\left(21-2 p_{2}+p_{1}\right)\)

FOCs:\(\begin{aligned} \frac{\partial \pi}{\partial p_{1}} &=21-4 p_{1}+2 p_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}} &=21-4 p_{2}+2 p_{1}=0 \end{aligned}\)

均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=p_{2}=10.5 \\ q_{1}=q_{2}=10.5 \\ \pi_{1}=\pi_{2}=110.25\end{array}\right.\)

3)联合决策时：价格上升，产量下降，利润上升。

4)分析原因：注意与8.25第3题比较

两种产品为替代品

\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=21-2 p_{1}+p_{2} \\ q_{2}=21-2 p_{2}+p_{1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{2}}>0 \\ \frac{\partial q_{2}}{\partial p_{1}}>0\end{array}\right.\right.\)

古诺价格博弈时，战略互补。

\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2}=\frac{21}{4}+\frac{1}{4} p_{1}\end{array}\right.\)

联合决策：

竞争缓和，价格相应提高 \(q \downarrow . \pi \downarrow\) ## Including Plots

You can also embed plots, for example:

{r pressure, echo=FALSE} plot(pressure)

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.