1.经济体中有两个消费者，效用为： \(U_{i}=\ln C_{1}^{i}+\beta \ln C_{2}^{i}(i=1,2)(0<\beta<1)\)
居民1： \(Y_{1}^{1}=0, \quad Y_{2}^{1}=2\)
居民2： \(Y_{1}^{1}=Y_{2}^{2}=1\)
c的价格为1，商品c不能跨期保存，但1与2可在信用市场中交易。
1)求居民1，2的最优决策
2)求均衡利率
3)求居民1,2的最优消费路径
4)信用市场的作用
solution:
1)居民的效用最大化：
\(\begin{aligned} \max &=V=\ln C_{1}+\beta \ln C_{2} \\ s t & \quad c_{1}+\frac{c_{2}}{1+r}=Y_{1}+\frac{Y_{2}}{1+ r} \end{aligned}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=\ln C_{1}+\beta \ln {C_2}+\lambda\left[Y_{1}+\frac{Y_{2}}{1+r}-C_{1}-\frac{C_{2}}{1+r}\right]\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}}=\frac{1}{c_{1}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2}}=\frac{\beta}{c_{2}}-\lambda \cdot \frac{1}{1+r}=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}c_{1}=\frac{1}{1+\beta}\left[Y_{1}+\frac{Y_{2}}{1+ r}\right] \\ c_{2}=\frac{\beta}{1+\beta}\left[(1+r) Y_{1}+Y_{2}\right]\end{array}\right.\)
带入得，居民1，2的最优选择为：
\(\left\{\begin{aligned} c_{1}^{\prime} &=\frac{2}{(1+\beta)(1+r)} \\ c_{2}^{\prime} &=\frac{2 \beta}{1+\beta} \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}c_{1}^{2}=\frac{2+r}{(1+\beta)(1+r)} \\ c_{2}^{2}=\frac{\beta(2+r)}{1+\beta}\end{array}\right.\)
2)求一般均衡：
居民1,2在信用市场进行交易，均衡时
\(\left\{\begin{array}{l}c_{1}^{1}+c_{1}^{2}=Y_{1}^{1}+Y_{1}^{2} \\ c_{2}^{1}+c_{2}^{2}=Y_{2}^{1}+Y_{2}^{1}\end{array}\right.\)
解得： \(r=\frac{3-\beta}{\beta}\)
3)最优消费路径：
居民1：\(\left.( c_{1}^{1}, c_{2}^{1}, s_{1}^{1}\right)=\left(\frac{2 \beta}{3(1+\beta)}, \frac{2 \beta}{1+\beta} ,\frac{-2 \beta}{3(1+\beta)}\right)\)
居民2：\(\left(c_{1}^{2}, c_{2}^{2}, s_{1}^{2}\right)=\left(\frac{3+\beta}{3(1+\beta)}, \frac{3+\beta}{1+\beta} ,\frac{2 \beta}{3(1+\beta)}\right)\)
4)信用市场的作用
实现资源的跨期最优配置，最大化居民的效用，通过市场价格r平滑消费者的消费。
\(U=u\left(c_{1}\right)+\beta u\left(c_{2}\right)\)
\(u^{\prime}\left(c_{1}\right)=\beta u^{\prime}\left(c_{2}\right)(1+r)\)
一阶条件为： \((1+r)\) \(u^{\prime}\left(c_{1}\right)\) 。该条件成为欧拉方程，表示在\(t_1\)时刻资源，下一时刻变为1+r,\(t_1\)时刻效用变化为\(u'\)
\(t_2\)时刻变化为\(\beta u^{\prime}\left(c_{2}\right)(1+r)\)，两者相等时，实现最优的配置
2.国内对便携式收音机的需求是 \[ Q=5,000-100 P \] 其中价格\((P)\) 以美元和数量计量\((Q)\)单位是千个/每年。收音机的国内供应曲线为 \[ Q=150 P \] 1)便携式无线电市场的国内平衡？
2)假设可以每台收音机10美元的世界价格进口便携式收音机。如果贸易不受限制，那么新的市场均衡将是什么？将进口几台便携式收音机？
3)如果国内便携式无线电生产商成功实施了5美元的关税，这将如何改变市场均衡？将收取多少关税收入？多少消费者剩余将转移给国内生产者？关税造成的无谓损失是多少？
4)如果政府与外国供应商达成一项协议，“自愿”将他们每年出口的便携式无线电设备限制为1,250,000，您将如何更改3)部分的结果？解释这与关税情况有何不同。
solution：
1)国内均衡：
\(Q^{d}=Q^{s} d\)
解得：
\(p=20 \quad Q=3000\)
2)若进口：国际价格为 \(p_{w}=10\)
此时需求为：\(Q^{d}=6000-100 p_{w}=4000\)
国内厂商供给为：\(Q^{s} d=150 p_{w}=1500\)
进口量为：\(Q_{f}^{s}=Q^{d}-Q^{s} d=2500\)
社会福利：\(s w_{1}=c s+p s=87 500\)
3)若征收5元关税，进口价格 \(p_{w}^{\prime}=15\)
此时需求为： \(Q^{d}=5000-100 p_{w}^{\prime}=3500\)
国内厂商的供给：\(Q^{S} d=150 p_{w}^{\prime}=2250\)
进口量为\(Q_{f}^{s}=Q^{d}-Q^{s} d=1250\)
关税收入：\(T=Q_{f}^{s} \cdot t=62 50\)
cs转移为ps的量：\(\Delta p s=9375\)
sw的损失： \(\begin{aligned} \Delta S W &=S W_{2}-S W_{1} \\ &=\left(c s+p{s}+T\right)-S W_{1} \\ &=-3125 \end{aligned}\)
4)若进口配额： \(\bar{Q}_{f}=12 50\) 此时消费者能以\(P{W}=10\) 购买 \(Q_{f}=1250\)
国内剩余市场的均衡为： \(\left\{\begin{array}{l}Q^{d^{\prime}}=Q^{d}-\bar{Q} f=37{50}-100 P \\ Q^{s}=150 p \\ Q^{s}=a^{d^{\prime}}\end{array}\right.\)
得： \(p=15 \quad Q=2250\)
此时与c相比，ps不变，cs增加T，即c中的关税收入转移给消费者，sw不变。
3.企业1和2生产互补的产品，记企业的价格分别为 \(p_{1}, p_{2},\) 产量分别为 \(q_{1}, q_{2} \circ\) 企业面临的需水 函数为 \(: q_{1}=11-2 p_{1}-p_{2}\) 和 \(q_{2}=11-2 p_{2}-p_{1}\) 。企业的固定成本为零，边际成本为2，企业 通过选择价格进行博弈。
1)假设两个企业同时选择价格，请找出博亦的均衡价格，产量和企业利润;
2)假设企业 1 是价格领导者，请找出博亦的均衡价格，产量和企业利润
3)如果两个企业合并为一个垄断企业，那么市场均衡的价格，产量和利润分别是多少？合并 对消费者是否有利?
solution：
1)同时进行价格博弈
利润最大化： \(\left\{\begin{array}{ll}\max : & \pi_{1}=\left(p_{1}-2\right)\left(11-2 p_{1}-p_{2}\right) \\ \max : & \pi_{2}=\left(p_{2}-2\right)\left(11-2 p_{2}-p_{1}\right)\end{array}\right.\)
反应函数为： \[ \left\{\begin{aligned} p_{1} &=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2} &=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{1} \end{aligned}\right. \]
均衡： \[ \left\{\begin{array}{l} p_{1}^{c}=p_{2}^{c}=3 \\ q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=2 \\ \pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=2 \end{array}\right. \]
2)先后价格博弈：1为领导者
企业2： \(p_{2}=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{1}\)
企业1： \(\max : \pi_{1}=\left(p_{1}-2\right)\left[11-2 p_{1}-p_{2}\left(p_{1}\right)\right]\)
解得： \(\left\{\begin{array}{ll}p_{1}^{s}=\frac{43}{14} & p_{2}^{s}=\frac{167}{56} \\ q_{1}^{s}=\frac{15}{8} & q_{2}^{s}=\frac{55}{28} \\ \pi_{1}^{s}=\frac{225}{112} & \pi_{2}^{s}=\frac{3025}{1568}\end{array}\right.\)
3)若企业合并，则垄断利润为：
\(\left.\max : \pi^{m}=\left(p_{1}-2\right)\left(11-2 p_{1}-p_{2}\right)+\left(p_{2}-2\right)(11-2 p_{2}-p_{1}\right)\)
FOCs:
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \pi^{m}}{\partial p_{1}}={15-4 p_{1}-p_{2}}{+\left(2-p_{2}\right)}=17-4 p_{1}-p_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi^{m}}{\partial p_{2}}=17-4 p_{2}-2 p_{1}=0 \end{array}\right. \]
解得： \(\left\{\begin{aligned} p_{1}^{m} &=p_{2}^{m}=\frac{17}{6} \\ q_{1}^{m} &=q_{2}^{m}=\frac{5}{2} \\ {\pi}_{1}^{m} &={\pi}_{2}^{m}=\frac{25}{12} \end{aligned}\right.\)
合并后，无论相对于同时博弈还是顺序先后博弈， \(p_{1}， p_{2}\) 均下降， \(\downarrow\) q_{1} q_{2} \(\uparrow\) 上升，故有利于消费者。
note：为何垄断时还存在两个价格
本题的企业需求为 \(q_{i}\left(p_{1}, p_{2}\right)\)。隐含了两个企业生产费非同质的商品，且为互补品。若为同质商品，则价格博弈为伯川德博弈。
故应将
\(q_{1}\) 与 \(q_{2}\) 视为两个不同的市场，而非同一个二市场，企业合并后类似于三级价格歧视。
为何垄断会增加消费者的福利
单独决策时，单个企业 \(P_{1} \uparrow\) ，会使得 \(q_{2} \downarrow\) ，有反应函数 \(p_{2}\left(p_{1}\right)\) 知， \(p_{2} \downarrow\) ，即损害 \(\pi_{2}\) ，但吱声 \(\pi_{1}\) 不一定 \(\downarrow\) 。
企业合并会减弱这种竞争所带来的损害，故相对于单独决策，价格会适当下降。此时 cs \(\uparrow\) ，即合并生产具有协同效应。
打破对垄断的主观印象，并非垄断就是\(p \uparrow, q \downarrow\)