画出跨时期预算曲线，指出截距位置。
村民今年消费幅是多少?
老鼠会吃掉多少?
4)村民明年消费多少?
solution:
1)若 \(u=c_{1} c_{2}\)，则效用最大化：
\(\begin{array}{rl}\max & u=c_{1} c_{2} \\ \text { st } : & c_{1}+s_{1}=1000 \\ c_{2} & =150+(1-25 \%) s_{1}\end{array}\)
合并约束约束\(c_{1}+\frac{c_{2}}{0.75}=1000+\frac{150}{0.75}\)
构建拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=c_{1} c_{2}+\lambda\left[1000+\frac{150}{0.75}-c_{1}-\frac{10}{0. 75}\right]\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}}=c_{2}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2}}=c_{1}-\frac{\lambda}{0.75}=0\end{array}\right.\)
解得： { \[\begin{array}{l} C_{1}=600 \\ C_{2}=450 \end{array}\].
\(\left( 0 \leq C_{1} \leq 1000 , 150 \leq C_{2} \leq 900\right)\)
其中第一年储蓄 \(S_{1}=400\) ，耗子吃掉 \(0.25 S_{1}=100\)
2)若 \(u=c_{1} c_{2} c_{3}\)，则效用最大化：
\(\begin{aligned} \max: & \mu=c_{1} c_{2} c_{3} \\ st: & c_{1}+s_{1}=1000 \\ c_{2}+s_{2} &=150+(1-25 \%) \mathrm{s}_{1} \\ c_{3} &=1000+(1-25 \%) \mathrm{s}_{2} \end{aligned}\)
合并预算约束：
\(c_{1}+\frac{c_{2}}{1-25-k}+\frac{c_{3}}{(1-25 / b)^{2}}=1000+\frac{150}{(1-25 !)}+\frac{1000}{(1-252)^{2}}\)
\(\left\{\begin{array}{l}0 \leq c_{1} \leq 1000 \\ 0 \leq c_{2} \leq 900 \\ 1000 \leq c_{3}\leq1675\end{array}\right.\)
拉格朗日函数： \(f=c_{1} C_{2} C_{3}+\lambda\left[1000+\frac{150}{(1-25 \%)}+\frac{1000}{(1-25\%)^{2}}-\left(c_{1}+\frac{c_{2}}{1-25 \%}+\frac{c_{3}}{(1-25 \%)^{2}}\right)\right]\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}}=c_{2} c_{3}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2}}=c_{1} c_{3}-\frac{\lambda}{1-25 \%}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{3}}=c_{1} c_{2}-\frac{1}{(1-25 \%)^{2}}=0\end{array}\right.\)
解得： \(c_{1}\doteq992.59 \quad; \quad c_{2} \doteq 744.44\)
\(c_{3} =558.33\)不符合
故均衡应该为角点解： \(c_{3}=1000\)
此时： \(c_{1}=60 . \quad c_{2}=450\)
储蓄： \(S_{1}=400 \quad ; \quad S_{2}=0\)
老鼠吃掉： \(\left(1-25\% \right)\left(S_1+S_{2}\right)=100\)
1)求每趙活的均衡价格、出车次数和出租车个数。
需求函数改变为: \(\mathrm{D}(\mathrm{p})=1220-20 \mathrm{p},\) 如果政府给原有的司机每人发一个经营牌照, 出租 车个数不变，则均衡价格和利润为多少?
设一年出车 365 天，人们对未来收益的年折现率 r=10%，牌照值多少钱？出租车所有 者们愿出多少钱阻止多发一个牌照?
solution：
1)均衡时，单个出租车的利润为0
此时： \(p=MC=5\)
需求：\(D=1100\)
出租车数量：\(n=\frac{D}{20}=55\)
2)若\(D(p)=1220-20 P\)
由于供给：\(S=1100\)
均衡条件：\(D=S\)
解得：\(p=6\)
则每辆车每天的利润为\(\pi=(p-MC) \cdot 20=20\)
3)牌照的价值：
\(V=\sum_{t=0}^{\infty} \frac{365 \cdot \pi}{(1+r)^{t}}=80300\)
若发放56个牌照
供给： \(s=1120\)
需求\(D=1 220-20 P\)
均衡时\(P=5 . \quad \pi=0\)
则每个出租车所有者最多愿出\(V=80300\)阻止政府多发一个牌照。
3.某一市场需求函数如下 \[ p=100-0.5\left(q_{1}+q_{2}\right) \] 在该市场上只有两家企业，它们各自的成本函数为 \[ c_{1}=5 q_{1}, c_{2}=0.5 q_{2}^{2} \]
1)在斯塔克博格模型中，谁会成为领导者? 谁会成为追隨者?
2)该市场最后的结局是什么? 为什么?
solution：
在斯塔克伯格模型中，产量领导者通过先生产一定数量的产量抢占市场份额，这种威胁是可信的，因为一旦生产就带来沉没成本。这就是所谓的先发优势。
不过上述先发优势存在的前提是领导者具有一定的成本优势，若Q较大时并不成本优势，则可能出现 \(\pi^{\text {Leader }}<\pi^{\text {follower }}\) \(\pi^{\text {Leader }}<0\)。另外一方面，具有相对成本优势的更随着可以发挥优势，生产较大的又来攻击领导者，从而使得领导者利润小于0.
古诺竞争的结果
企业1,2利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left[100-\frac{1}{2}\left(q_{1}+q_{2}\right)\right] q_{1}-5 q_{1}\) \(\max : \pi_{2}=\left[100-\frac{1}{2}\left(q_{1}+q_{2}\right)\right] q_{2}-\frac{1}{2} q_{2}^{2}\)
反应函数：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=95-\frac{1}{2} q_{2} \\ q_{2}=50-\frac{1}{4} q_{1}\end{array}\right.\)
均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=80 \\ q_{2}^{c}=30\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{c}=3200 \quad p^{c}=45 \\ \pi_{2}^{c}=900\end{array}\right.\right.\)
企业1为领导者：
企业2：\(q_{2}=50-\frac{1}{4} q_{1}\)
企业1：\(\max : \pi_{1}=\left[100-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2}\left(q_{1}\right)\right] q_{1}-5q_{1}\)
均衡：\(\left\{\begin{aligned} q_{1}^{s} &=\frac{2 8{0}}{3} \\ q_{2}^{s} &=\frac{80}{3} \end{aligned} \quad\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{s}=3266.67 \\ \pi_{2}^{5}=711.11\end{array} \quad p^{s}=40\right.\right.\) \(q_{1}=95-\frac{1}{2} q_{2}\) \(\max : \quad \pi_{2}=\left(100-\frac{1}{2} q_{1}\left(q_{2}\right)-\frac{1}{2} q_{2}\right) q_{2}-\frac{1}{2} q_{2}^{2}\)
企业2为领导者：
企业1：\(q_1=75-0.5q_2\)
企业2：\(max:\pi_2=(100-0.2q_1(q_2)-0.5q_2)q_2-0.5q_2^2\)
均衡： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{s}=77.5 \\ q_{2}^{s}=35\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{s}=3003 .1{25} \\ \pi_{2}^{s}=918.75\end{array} p^{s}=43.75\right.\right.\)
1)由上述分析知，企业1,2均想成为领导者，以获取更高的利润。两者通过产量策略阻止堆场成为领导者
若企业2为领导者
此时企业1可以通过调整产量使得， \(\pi_{2}<0, \pi, \geqslant 0\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=\left(95-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2}\right) q_{1} \geqslant 0 \\ \pi_{2}=\left(100-\frac{1}{2} q_{1}-q_{2}\right) \cdot q_{2}<0\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad 200-2q_{2}<q_{1} \leq 190-q_{2}\) \(\Rightarrow \quad q_{2}>10\)
此时企业2利润最大化：
\(\begin{aligned} \max :& \pi_{2}=\left[100-\frac{1}{2} q_{1}\left(q_{2}\right)-\frac{1}{2} q_{2}\right] q_{2}-\frac{1}{2} q_{2}^{2} \\ & \quad 0 \leq q_{2} \leq10 \end{aligned}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{ll}q_{2}=10 & {\pi}_{1}=4050 \\ q_{1}=90 & \pi_{2}=450 < \pi_{2}^{F}\end{array}\right.\)
即企业1可以通过产量策略使得企业2不想成为领导者。
若企业1成为领导者：
此时企业2可通过调整产量使得， \(\pi_{2} \geqslant 0, \quad \pi_{1}<0\) \(q_{2}=50-\frac{1}{4} q_{1}\)
此时： \(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=\left(95-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2}\right) q_{1}<0 \\ \pi_{2}=\left(100-\frac{1}{2} q_{1}-9_{2}\right) \cdot q_{2} \geqslant 0\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad 1 90-q_{1}<q_{2} \leq 100-\frac{1}{2} q_{1}\)
\(\Rightarrow \quad q_{1}>180\)
此时企业1利润最大化：
\(\begin{aligned} \max : & \pi_{1}=\left[100-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2}\left(q_{1}\right)\right]-5 q_{1} \\ & \text { st } :\quad 0 \leq 9_{1} \leq 180 \end{aligned}\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{280}{3} \\ q_{2}=\frac{80}{3}\end{array}\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=3266.67 \\ \pi_{12}=711.11\end{array}\right.\right.\)
即企业2不能通过产量策略使得企业1不想成为领导者。
综上：企业1为领导者，企业2为跟随者。
2)博弈矩阵
| 2 | |||
|---|---|---|---|
| L | F | ||
| 1 | L | (3200,900) | (3566.67,711.11) |
| F | (3003.125,918.75) | (3200,900) |
有限次博弈：\((L, L)\) 古诺均衡
无限次博弈：有可能是\((L, F)\)，斯塔克伯格均衡，关键看贴现\(\delta\),冷酷策略。