1.消费者在3种价格下的最优选择分别为：
\(p_{1}(2,1,2) \rightarrow x_{1}(1,2,2)\)
\(p_{2}(2,2,1) \rightarrow x_{2}(2,1,2)\)
\(p_{3}(1,2,2) \rightarrow x_{3}(2,2,1)\)
1)消费者行为是否满足显示偏好弱公理。
2)消费者行为是否满足显示偏好强公理。
3)消费者行为是否理性。
solution:
| \(pmx\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) |
|---|---|---|---|
| \(p_1\) | 8 | 9 | 8 |
| \(p_2\) | 8 | 8 | 9 |
| \(p_3\) | 9 | 8 | 8 |
1)\[WARP\begin{cases} \forall 两个消费束的直接比较\\ 直接显示偏好\end{cases}\]
原理：在一个价格体系下， \(x_{1} x_{2}\)均能够支付而选择 \(x_{1}\) ，即有 \(P_{1} x_{1} \geqslant P_{1} x_{2}\)则任意其他价格提下下若出现选择 $ x_{2}$ ，则必定是支付不起$ x_{1}$。 即 \(p_{i} x_{1}>p_{i} x_{2} \quad(i \neq 1)\)
也就是在 \(p_ i\) 下，也可能 \(x_{1} x_{2}\)都不选，此时不能说不成立。
\[x_1,x_2\begin{cases} 在p_2下选x_2,且p_2x_2\geq p_2x_1\\ p_1下选择x_{1}，但p_{1} x_{2}> p_{1} x_{1}\end{cases}\]
\(\Rightarrow \quad x_{2}>x_{1}\)
\[x_1,x_3\begin{cases} 在p_1下选x_1,且p_1x_2\geq p_1x_3\\ p_3下选择x_{3}，但p_{3} x_{1}> p_{3} x_{3}\end{cases}\]
\(\Rightarrow \quad x_{1}>x_{3}\)
\[x_2,x_3\begin{cases} 在p_3下选x_3,且p_3x_3\geq p_3x_2\\ p_2下选择x_{2}，但p_{2} x_{3}> p_{2} x_{3}\end{cases}\]
\(\Rightarrow \quad x_{3}>x_{2}\)
2)\[\begin{cases} 多个消费约束之间的比较\\ 直接/间接显示偏好\\ WARP+传递性=SARP\end{cases}\]
\[\begin{cases} x_2>x_1\\ x_1>x_3\\ x_3>x_2\end{cases}\]
由前两项推出\(x_2>x_1>x_3\)不满足传递性，故该偏好不满足SARP.
3)由不满足SARP,所以非理性。
1)画出第一个生产函数 q=40000 平方英尺的等产量线。如果不产生浪费，应该投入多少 k 和 1?
2)对第二个生产函数回答问题 1)。
3)如果 40000 平方英尺草地中的一半由第一种生产函数来完成，另一半由第二种生产函数来完成，为了不 浪费，应该使用多少 \(\mathrm{k}\) 和 \(1 ?\) 如果第一种方法割 \(1 / 4,\) 第二种方法割 \(3 / 4,\) 应该使用多少 \(\mathrm{k}\) 和 \(1 ? \mathrm{k}\) 和 1 是分数意 味着什么?
4)在你对问题 3) 的回答的基础上，画出结合两种生产函数的 q=40000 的等产量线。
solution：
\[\begin{cases} 技术A:Q_{1}=5000 \min \left\{K_{A}, L_{A}\right\}\\ 技术B:Q_B=8000 \min \left\{K_{B} / 2, L_{B}\right\}\end{cases}\]
1)若 \(Q=40000\)，只利用技术A,生产有效率：
\(\left\{\begin{aligned} 40000 &=5000 \min \left\{K_{A .} L_{A}\right\} \\ K_{A} &=L_{A} \end{aligned}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}K_{A}=8 \\ L A=8\end{array}\right.\)
2)若 \(Q=40000\)，只利用技术B.生产有效率：
\(\left\{\begin{array}{l}40000=8000 \mathrm{~min}\left\{K_{B} / 2, L_{B}\right\} \\ \frac{K_B} 2=L_{B}\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}K_{B}=10 \\ L_{B}=5\end{array}\right.\)
3)若\(Q=40000\)，同时利用技术A,B
假设生产比例为 \(\lambda , 1-\lambda \quad(0 \leq l \leq 1)\)
生产有效率条件：
\(\left\{\begin{aligned} 40000 \lambda &=5000 \min \left\{K_{A} \cdot L_{A}\right\} \\ 40000(1-\lambda) &=8000 \min \{K_B / 2, L_ B\} \\ K_{A} &=L_ A \\ K_{B} / 2 &=L_ B \end{aligned}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{lll}K_{A}=8 \lambda & ; \quad K_{B}=10(1-\lambda) \\ L_{A}=8 \lambda & ; \quad L_{B}=5(1-\lambda)\end{array}\right.\)
由于等产量由K-L组成：联立消去\(\lambda\)
则\(3 k+2L=40\) ，等产量曲线， \(Q=40000\)
当 \(\lambda=\frac{1}{4}\) 时， \(\left\{\begin{array}{l}K=9.5 \\ L=5.75\end{array}\right.\)
note：1本题利用两个互补技术的联合生产创造了一个完全替代技术。 2随着产量的变化，完全替代的程度也会发上变化。
3.假设某国际市场上有两个企业 (记为1和2)，分别位于两个“ 小”国家。国际市场对两个企业的产 品的需求函数分别为 \(q_{1}=15-2 p_{1}-p_{2}, q_{2}=15-2 p_{2}-p_{1}\) 。企业的边际成本均为零, 它们进 行非合作价格博亦。
1)请找出市场均衡价格和企业利润
2)如果国家1的政府对本国产品的出口征收 \(t\) 每单位产品的出口税（当 \(t<0\) 时为出口补贴）, 而国家2的出口税为零，请找出最佳税收水平，各企业的利润，以及国家1的税收收入。
3)国家1的社会福利有何变化? 请给出一个直观的解释。
solution：
1)两个企业利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left(15-2 p_{1}-p_{2}\right) p_{1}\) \(\max : \pi_{2}=\left(15-2 p_{2}-p_{1}\right) p_{2}\)
FOCs:
\(\begin{aligned} \frac{\partial \pi_1}{\partial p_{1}} &=15-4 p_{1}-p_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi_{2}}{\partial p_{2}} &=15-4 p_{2}-p_{1}=0 \end{aligned}\)
反应函数为：
\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2}=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{1}\end{array}\right.\)
解得：
\(p_{1}=p_{2}=3\)， \(\pi_{1}=\pi_{2}=18\)
2)若国家1对企业1征收出口数量税t。
设企业1的供给价为 \(p_{1}^{s}=p_{1}\) ，市场所反应的税收价格为 \(p_{1}^{d}=p_{1} + t\)(企业与消费者共同承担t)
企业1，2利润最大化：
\(\max:\pi_{1}=p_{1}\left[15-2\left(p_{1}+t\right)-p_{2}\right]\) \(\max : \pi_{2}=p_{2}\left[15-2 p_{2}-\left(p_{1}+t\right)\right]\)
反应函数为：
\(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{15-2 t}{4}-\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2}=\frac{15-t}{4}-\frac{1}{4} p_{1}\end{array}\right.\)
解得：
\(p_{1}=\frac{45-7 t}{15} \quad p_{2}=\frac{45-2 t}{15}\) \(q_{1}=\frac{2(45-7 t)}{15}\)
国家1最大化 \(S W_{1}\)
max: \(\quad s w_{1}=\pi_{1}+T_{1}=\left(p_{1}+t\right) q_{1}\) Foc: \(\quad \frac{d s w_{1}}{d t}=\frac{2}{225}(45-112 t)=0\)
则：\(t^{*}=\frac{45}{112}\)
此时： \(\pi_{1}^{*}=\frac{2025}{128} \quad \pi_{2}^{*}=\frac{27225}{1568}\)
\(S W_{1}^{*}=\frac{2025}{112} T^{*}=\frac{2025}{896}\)
3)与不征税相比： \(\pi_{1} \downarrow . \quad \mathrm{SW}_{1} \uparrow \quad \pi_{2} \downarrow\)
原因分析 \(\left\{\begin{array}{l}\downarrow \pi_{1}=p_{1} \cdot q_{1} \\ \left.d_{1}\right|_{2}=p_{2} \cdot q_{2}\end{array}\right.\)
\(\uparrow s w_{1}=\pi_{1}+T_{1}\left\{\begin{array}{ll}\pi_{1} & \downarrow \\ T_{1} & \uparrow\end{array} \Rightarrow\left(\Delta \pi_{1}|<| \Delta T_{1}\right)\right.\)
\(P_{1}\) \(P_{2}\) \(R_{1} R_{2}\) \(p_{1} p_{2} \downarrow\) \((p \downarrow)\) \(\pi_1\) \(\pi_{2} \downarrow\) \(R_{1} R_{2}\) \((Q \downarrow)\) \((t<0)\) \(R_{1}\)
note： 战略相互作用
单纯懂反应函数看，企业1,2为战略替代关系， \(P_{1}\)与\(P_{1}\)此消彼长，正因为两个企业的价格博弈才使得均衡p低于垄断P.
征税使得反应函数内移，从而使得，价格\(P_{1}\)，\(P_{2}\)下降，这里在一定程度上加剧了竞争，这也就解释了为何\(\pi\)与\(\pi\)下降，但从国家1的角度来说社会福利却是以邻为壑。
对比古诺模型，产量博弈战略替代，若反应函数内移，则化为了缓和竞争，产量下降。但古诺模型中国家的最优决策为补贴，使得其反应函数外衣，从而整个市场加剧竞争，但从国家角度而言，社会福利却是以邻为壑，等价于斯塔克伯格模型，抢占份额。
税收的分担
在完全竞争的市场结构中，对谁征税并不影响，产量，利润，社会福利等。本题中也会是这样吗？接下来以仅对企业1征税为例加以说明。
企业1被征收从量税 \(P_{d}=P_{1}, \quad P_{s}=P_{1}-t\)
则 \(\max : \pi_{1}=\left(p_{1}-t\right)\left(15-2 p_{1}-p_{2}\right)\)
企业1的反应函数变为：
\(p_{1}=\frac{15+2 t}{4}-\frac{1}{4} p_{2}\)
企业2的反应函数不变：
\(p_{2}=\frac{15}{4}-\frac{1}{4} p_{1}\)
联立得：
\[ \begin{array}{l} P_{1}=\frac{45+8 t}{15} \quad P_{2}=\frac{45-2 t}{15} \\ T_{1}=\frac{2(45-7 t)^{2}}{225} \quad \pi_{2}=\frac{2(45-2 t)^{2}}{225} \\ T=\frac{2 t(45-7 t)}{15}, \quad \mathrm{SW}_{1}=\frac{2(45+8 t)(45-7 t)}{225} \end{array} \]