1.某消费者的效用函数为 \(U(X, Y)=\ln (X-3)+\ln (Y+2),\) 商品 \(X\) 的价格为 \(p,\) 商品 \(Y\) 的价格 为 \(q,\) 消费者的收入为 \(I\) 。
1)求最优消费量，并说明为什么 \(I \geqslant 3 p+2 q\) 是存在有效消费理的必要条件。
2)\(X\) 和 \(Y\) 的收入需求弹性分别是多少?
4)\(X\) 和 \(Y\) 有可能是低档品吗? 或者有可能是吉芬商品吗? 请给出严格的数学证明。
solution:
\(\left\{\begin{aligned} x &=\frac{1}{2 p_{x}}\left(I+3 p_{x}+2 p_{y}\right) \\ y &=\frac{1}{2 p_{y}}\left(I-3 p_{x}-2 p_{y}\right) \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}e_{x, I}=\frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x}=\frac{I}{I+3 P_{x}+2 \beta_{j}} \\ e_{y . I}=\frac{\partial y}{\partial I} \cdot \frac{I}{x}=\frac{I}{I-3 P_{x}-2 P_{y}}\end{array}\right.\)
\(\frac{\partial x}{\partial I}=\frac{1}{2 p_x}>0 ; \frac{\partial y}{\partial I}=\frac{1}{2 p_{y}}>0\)
故都是正常品
\(e_{x,I} <1 ; \quad e_{y, I}>1\)
所以x是必需品，y为奢侈品
4)由于两者对于收入导数为正，故不不会是低档品
由于
\(\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial p_{x}} &=\frac{-\left(p_{y}+1\right)}{2 p_{x}^{2}}<0 \\ \frac{\partial y}{\partial p_{y}} &=\frac{3 p_{x}-I}{2 p_{y}^{2}}+0 \end{aligned}\)
x，y都不可能是吉芬品。
2 . 假定对高晓的需求为 \(Q=1500-50 P\) 并且，当竞争性行业中每一个生产高晓的厂商在长期的运作成本为 \(c(q)=0.5 q^{2}-10 q\) 时。生产高晓的厂商才能是稀缺的。厂商的供给曲线为 \(Q_{s}=0.25 w,\) 这里， \(\mathrm{w}\) 为所付的年工资。 同样假定每一个生产高晓的厂商需要并且只需要一个企业家（因此，所雇用的企业家 数量就等于厂商数目)。这样，每个厂商的长期总成本就为 \(C(q, w)=0.5 q^{2}-10 q+w\)
1)生产高晓的长期均衡数量是多少？每个厂商生产多少高路? 高晓的长期均衡价格是多少? 会有多少厂商? 会雇用多少企业家，其工资是多少?
2)假定高晓的需求向外移动至 \(Q=2428-50 P\) 请回答 a 中提出的问题。
3)由于在本问题中，生产高晓的企业家是长期供给曲线斜率为正的原因，他们将得到在行业产出扩张时所 产生的全部租金。请计算在 a 与 \(\mathrm{b}\) 之间租金的增加情况。并请证明根据高晓供给曲线测度的长期生产者剩余的变 化与前述的租金增加是相等的。
solution:
\[生产成本\begin{cases}客观要素\frac{1}{2} q^{2}-10q\\ 主观才能w\end{cases}\]
长期，随着企业数量的变化，单个企业客观要素的成本曲线并不改变，此部分不会引发行业成本的变化。但是主观才能的价格会变化，从而引起成本曲线的英东，使得该行业成本递增，此时LS并不是水平线\((p=AC_{min})\),而是一条向上清晰的曲线。
首先求长期的供给曲线LS:
.LS表示供给与价格之间的关系
.LS上的每一点代表特定供给\(Q^{s}\) 下达到的长期均衡点
.给定供给，LS上对应一点\(Q^{d}\)，表示单个厂商\(p=M C=A C_{\min }\)点的加总
成本不变行业：单个厂商的成本函数 \(c(Q)\)不变，则 \(A C_{min}\) 表示的 \(q^{*}\)不变。
\(\Rightarrow p^{*}=MC\left(q^{*}\right)=AC\min \left(q^{*}\right)\) 也不变。此时， \(L S: \quad p=p^{*}\) \(Q^{s}=n \cdot q^{*}\)
成本变化行业：
单个厂商的成本函数\(c(Q)\)变化，则 \(A C_{min}\) 表示 \(q^{*}\)发上变化
\(\Rightarrow P=M C\left(q^{*}\right)=A C \min \left(q^{*}\right)\) \(\Rightarrow \quad q^{*}=q^{*}(p)\)
\(\Rightarrow \quad L S: \quad Q^{s}=n(p) \cdot q^{*}(p)=Q^{s}(p)\)
厂商利润最大化 \(p=MC\) (生产有效率)
\(P=A C \quad(\pi=0)\)
\(\Rightarrow \quad p=M C=A C_{\min }\) \(\Rightarrow \quad p=q-10=\frac{1}{2} q-10+\frac{w}{q}\) \(\Rightarrow \quad W=\frac{1}{2} q^{2}=\frac{1}{2}(p+10)^{2}\)
行业总供给：
厂商才能的供给为 \(n=\frac{1}{4} w\)，每个续页都需要一份。
故长期的企业数量为：\(n=\frac{1}{4} w\)
LS: \(\begin{aligned} LS: Q^{S} &=n[w(p)] \cdot q(p) \\ &=\frac{1}{8}(p+10)^{3} \end{aligned}\)
1)当 \(Q^{d}=1500-50 p\)时，
长期均衡： \(Q^{s}=Q^{d}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{ll}p=10 . & Q=1000 \\ q=20 . & n=50 . \quad w=200\end{array}\right.\)
2)当 \(Q^{d}=2428-50 p\)时，
长期均衡： \(Q^{s}=Q^{d}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{ll}p=14 & Q=1728 \\ q=24 & n=72 \quad w=288\end{array}\right.\)
3)企业家才能的租金变化：
\(\Delta \pi=\frac{1}{2}(50+72) \cdot(288-200)=5368\)
行业生产者剩余的变化：
\(\begin{aligned} \Delta p s &=\int_{10}^{14} Q^{s}(p) d p \\ &=\left.\frac{1}{32}(p+10)^{4}\right|_{10} ^{14} \\ &=5368 \end{aligned}\)
综上： \(\Delta \pi=\Delta P S\)
若无w引发行业成本递增，LS向上清晰，就不会有正的生产者剩余，故生产者剩余的变化源于企业家才能的租金变化，故有以上结论。
注：单个企业不生产的利润为0，生产时利润也为0，为何生产者剩余为正？
企业的生产不仅包括生产机还包括企业家才能，生产时，生产技术所带来的收益与客观成本相抵消(完全竞争)。不生产额外的收益，但企业家才能的发挥去会带来正的租金，应考虑机会成本。
3.某市场有两个企业，边际成本均为零。市场需求函数为 \[ p_{1}=3-2 q_{1}+q_{2} \quad \text { 和 } \quad p_{2}=3-2 q_{2}+q_{1} \] 或等价地, \(q_{1}=3-\frac{2}{3} p_{1}-\frac{1}{3} p_{2} \quad\) 和 \(\quad q_{2}=3-\frac{2}{3} p_{2}-\frac{1}{3} p_{1}\)
1)如果两个企业通过选择产量进行博亦，请找出市场均衡产量，价格和企业利润;
2)如果两个企业通过选择价格进行博亦，请找出市场均衡产量，价格和企业利润;
3)从社会福利的角度看哪种博将形式比较有利? 从企业的角度呢? 为什么?
solution:
产量博弈，企业1,2利润最大化：
\(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{1}=\left(3-2 q_{1}+q_{2}\right) q_{1} \\ \max : \pi_{2}=\left(3-2 q_{2}+q_{1}\right) q_{2}\end{array}\right.\)
FOCs:\(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \pi_{1}}{\partial q_{1}} &=3-4q_{1}+q_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi_{2}}{\partial q_{2}} &=3-4q_{2}+q_{1}=0 \end{aligned}\right.\)
反应函数： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{1}{4} q_{2}+\frac{3}{4} \\ q_{2}=\frac{1}{4} q_{1}+\frac{3}{4}\end{array}\right.\)
均衡结果： \(q_{1}=q_{2}=1, \quad p_{1}=p_{2}=2 , \pi_{1}=\pi_{2}=2\)
2)价格博弈
两个企业利润最大化： \(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{1}=p_{1}\left(3-\frac{2}{3} p_{1}-\frac{1}{3} p_{2}\right) \\ \max : \pi_{2}=p_{2}\left(3-\frac{2}{3} p_{2}-\frac{1}{3} p_{1}\right)\end{array}\right.\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}=3-\frac{4}{3} p_{1}-\frac{1}{3} p_{2}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial p_{2}}=3-\frac{4}{3} p_{2}-\frac{1}{3} p_{1}=0\end{array}\right.\)
反应函数： \(\left\{\begin{array}{l}p_{1}=\frac{9}{4}-\frac{1}{4} p_{2} \\ p_{2}=\frac{9}{4}-\frac{1}{4} p_{1}\end{array}\right.\)
均衡结果 \(p_{1}=p_{2}=\frac{9}{5}\) ，\(q_{1}=q_{2}=\frac{6}{5}\) \(\pi_{1}=\pi_{2}=\frac{54}{25}\)
3)计算