1.小明在A市工作，其效用函数为\(u(x, y)=x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}\)， \(\left(p_{x}, p_{y}, m\right)=(1,2,24)\)
1)若调往B市工作， \(\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}\right)=(2,2)\)。求此时小明的最优消费。相对于A市，x变化中替代、收入效应分别为多少。
2)前往B市工作，小明的工资相当于减少为多少？boss至少给小明涨多少工资才能让小明前往B市？
solution:
效用最大化： \(\max \quad U(x, y)=x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}\) \(st: \quad p_{x} \cdot x+p_{y} \cdot y=m\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=x^{\frac{1}{2}} y^\frac{1}{2}+\lambda\left[m-p_{x} \cdot x-p_{y} \cdot y\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} f^{\frac{1}{2}}-\lambda p_{x}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}-\lambda p_y=0\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{2 p_x} \\ y=\frac{m}{2 p_ y}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}V\left(p_{x}, p_{y}, m\right)=\frac{m}{2 \sqrt{p_x p_{y}}} \\ E\left(p_{x} ,p_{y } ,U\right)=2 \sqrt{p_x p_{y}} \cdot U\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x^{h}=\frac{\partial E}{\partial P_x}=\sqrt{\frac{P_y}{P_x}} \cdot U \\ y^{h}=\frac{\partial E}{\partial P_{y}}=\sqrt{\frac{P_x}{P _y}} \cdot U\end{array}\right.\)
1)替代效应：
\(\begin{aligned} \Delta x^{S} &=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m^{\prime}\right)-x\left(p_{x}, p_{y}, m\right) \\ &=-3 \end{aligned}\)
其中 \(m^{\prime}=m+\Delta p_{x} \cdot x\left(p_{x}, p_{y} ,m\right)=36\)
收入效应：
\(\begin{aligned} \Delta x^{n} &=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m\right)-x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m^{\prime}\right) \\ &=-3 \end{aligned}\)
2)前往B市工作，由于价格上升，导致效用下降。工资相对于减少，即以\(u_1\)为标准，在原\((p_x,p_y)\)下，仅需较少的收入就可达\(u_1\),相当于工资损失，即利用EV评估。
\(\begin{aligned} E V &=\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{p y}{p x}} \cdot U_1 d p_x \\ &=12(2-\sqrt{2}) \end{aligned}\)
即相当于工资减少了 \(12(2-\sqrt{2})\)
也就是说\(P_{x}=1\)时，仅需 \(12 \sqrt{2}\) 即达到\(u_1\),此时需要24，损失了\(24-12 \sqrt{2}\)
2)老板需给小明涨工资，以\(u_0\)为基准，在新 \(\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}\right)\)下至少需要增加多少才能达到初始效用\(u_0\),即利用CV评估。
\(\begin{aligned} C V &=\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{p_{y}}{p_{x}}} U_{0} d p_{x} \\ &=24(\sqrt{2}-1) \end{aligned}\)
即老板至少涨 \(24(\sqrt{2}-1)\) ，才能是小明前往B市。
即\(p_{x}=2\)时，需 \(24 \sqrt{2}\)到\(u_0\),需涨 \(24 \sqrt{2}-24\)
注： \(\begin{aligned} CV &=\int_{p_{0}}^{p_{1}} x^{h}\left(p_{x}, p_{y}, U_{0}\right) d p_{x} \\ &=\left.E\left(p_{x}, p_{y}, u_{0}\right)\right|_{p_{0}} ^{p_{1}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} EV &=\int_{p_{0}}^{p_{1}} x^{h}\left(p_{x} , p_{y}, v_{1}\right) d p_{x} \\ &=E\left(p_{x}, p_{y}, v_{1}\right) \int_{p_{0}}^{p_{x}} \end{aligned}\)
note：禀赋效应
求禀赋效应是一般用slutsky分解，希克斯分级较为复杂。
1.三种效应的比较
初始：\(p_{x}, p_ y , \quad m=p_{x} w_{x}+p_{y} \cdot w_{y}\)
现在：\(p_{x}^{\prime}, \quad p_{y} \quad m^{\prime \prime}=p_{x}^{\prime} w_{x}+p_y \cdot w_{y}\)
替代效应：\(\Delta x^{s}=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m^{\prime}\right)-x\left(p_{x} , p_{y}, m\right)\)
(普通)收入效应：\(\Delta x^{n}=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m\right)-x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m^{\prime }\right)\)
禀赋(收入)效用：\(\Delta x^{w}=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, m^{\prime \prime}\right)-x\left(p_{x}^{\prime}, p_y, m\right)\)
总效应：\(\begin{aligned} \Delta x &=\Delta x^{s}+\Delta x^{n}+\Delta x^{m} \\ &=x\left(p_{x}^{\prime}, p_y, m^{\prime \prime}\right)-x\left(p_{x}, p_{y}, m\right) \end{aligned}\)
其中 \(\left\{\begin{array}{l}m^{\prime}=m+\Delta p_{x} \cdot x\left(p_{x} \cdot p_y \cdot m\right) \\ m^{\prime \prime}=m+\Delta p_{x} \cdot w_{x}\end{array}\right.\)
2图示：
3.slutsky方程(修订后)
1)增量形式——slutsky分解
\(\Delta x=\Delta x^{s}+\Delta x^{n}+\Delta x^{w}\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta p_{x}}=\frac{\Delta x^{5}}{\Delta p_{x}}-\frac{\Delta x^{m}}{\Delta p_{x}}+\frac{\Delta x^{w}}{\Delta p_{x}} \quad\left(\Delta x^{m}=-\Delta x^{n}\right)\)
令 \(\begin{aligned} \Delta m &=m^{\prime}-m=4 p_x \cdot x \\ \Delta m_{1} &=m^{\prime \prime}-m=\Delta p_x \cdot w_x \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta p x}=\frac{\Delta x^{s}}{\Delta p_x}-\frac{\Delta x^{m}}{\Delta m} \cdot x+\frac{\Delta x^{w}}{\Delta m_{1}} \cdot w_{x}\)
若\(p_x\)变动很小， \(\frac{\Delta x^{w}}{\Delta m_{1}} \doteq \frac{\Delta x^{m}}{\Delta m}\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta p_{x}}=\frac{\Delta x^{s}}{\Delta p_x}+\left(w_{x}-x\right) \cdot \frac{\Delta x^{m}}{\Delta m}\)
2)微分形式——希克斯分解
\(x=x\left[p_{x} , p_{y} , m\left(p_{x}\right)\right]\)
\(\Rightarrow \frac{d x}{d p_{x}}=\frac{\partial x}{\partial p_{x}}+\frac{\partial x}{\partial m} \cdot \frac{d m}{d p_{x}}\)
\(=\frac{\partial x}{\partial p_{x}}+\frac{\partial x}{\partial m} \cdot W_{x}\)
\(=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_x}-\frac{\partial x}{\partial m} x+\frac{\partial x}{\partial m} \cdot W_x\)
\(=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}+\left(w_{x}-x\right) \cdot \frac{\partial x}{\partial m}\)
\(\Rightarrow \frac{d x}{d p_{x}}=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_x}+\left(w_{x}-x\right) \frac{\partial x}{\partial m}\)
1)讨论利润最大化的该工厂是否会出口，并计算其产量\(q_1^*\)，\(q_2^*\)
2)现在政府限定至少 Z 单位的产品必须在国内市场出售。如果 \(\mathrm{Z}=16,\) 请计算该厂商的产量 \(\mathrm{q}_{1}^*\) 和 \(\mathrm{q}_{2}{ }^{*}\) 。
3)如果 \(\mathrm{Z}\) 进一步从 16 提高，给该垄断厂商带来的“影子成本”为多少?
4)假如成本函数为 \(\mathrm{C}\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{2}\right)=2\left(1+\mathrm{q}_{1}\right)\left(1+\mathrm{q}_{2}\right),\) 则 (1) 的答案会变为什么?
solution：
1)利润最大化：
\(\max : \pi=\left(41-q_{1}\right) q_{1}+\left(51-q_{2}\right) q_{2}-\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)\)
st \(: \quad q_{1} \geqslant 0, \quad q_{2} \geqslant 0\)
构建拉格朗日函数：
\(\exists u_{1} \geq 0 , \mu_{2} \geqslant 0\)
\(\mathcal{L}=\left(41-q_{1}\right) q_{1}+\left(51-q_{2}\right) q_{2}-\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)+\mu_{1} q_{1}+\mu_{2} q_{2}\)
Focs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{1}}=40-2 q_{1}-q_{2}+u_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{2}}=50-q_{1}-2 q_{2}+u_{2}=0\end{array}\right.\)
若 \(q_{1}>0,q_{2}>0\) ，则 \(\mu_{1}=u_{2}=0 ; \quad q_{1}=10 , \quad q_{2}=20\) \(\pi=699\)
若 \(q_{1}=0 , \quad q_{2}>0\) ，则 \(u_{2} \geqslant 0 , \mu_{1}=0 ; \quad q_{1}=20 . \quad \mu_{2}=-30<0\)不符合
若\(q_{2}=0 , \quad q_{1}>0\)，则 \(\mu_{2} \geqslant 0 , \mu_{1}=0 ; \quad q_{1}=20 , \quad \mu_{2}=-30 < 0\)不符合
若\(q_{1}=q_{2}=0, \quad \pi=-1\) 不符，
则 \(q_{1}^{*}=10,q_2^{*}=20\)
2)利润最大化：
\(\max : \pi=\left(41-q_{1}\right) q_{1}+\left(51-q_{2}\right) q_{2}-\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)\) \(\quad s t: q_{1} \geq 16\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=\left(41-q_{1}\right) q_{1}+\left(51-q_{2}\right) q_{2}-\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)+\lambda\left(q_{1}-16\right)\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{1}}=40-2 q_{1}-q_{2}+\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{2}}=50-q_{1}-2 q_{2}=0\end{array}\right.\)
由1)知， \(\lambda=0\)不符合。
故\(\lambda>0\),即 \(q_{1}^*=16\) ，此时\(q_{2}^{*}=17\)
3)由2)\(\lambda=9\) 故z从16进一步提高的影子成本为9
4)若 \(c\left(q_{1}, q_{2}\right)=2 \left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)\)
利润最大化：
\(\max : \pi=\left(41-q_{1}\right) q_{1}+\left(51-q_{2}\right) q_{2}-2\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)\)
拉格朗日函数：
\(\exists \quad \mu_{1} \geqslant 0, \quad \mu_{2} \geqslant 0\)
\(f=(41-q_1) q_{1}+(51-q2) q_{2}-2\left(1+q_{1}\right)\left(1+q_{2}\right)+\mu_{1} q_{1}+u_{2} q_{2}\)
FOCs: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{1}}=39-2 q_{1}-2 q_{2}+u_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{2}}=49-2q_{1}-2 q_{2}+u_{2}=0\end{array}\right.\)
K-T条件:
\(\mu_{i} q_{i}=0 \quad(i=1,2)\)
当 \(q_{1}>0\) 且 \(q_{2}>0\)时，此时 \(u_{1}=\mu_{2}=0\)不符合
当 \(q_{1}>0\) 且 \(q_{2}=0\)时，即 \(\mu_{1}=0\) 且 \(u_{2} \geqslant 0\)
此时 \(u_{2}=-10<0\)，不符合
当 \(q_{1}=0\) 且 \(q_{2}>0\) 时， 即\(u_{1} \geq 0\) 且\(u_{2}=0\)，此时 \(q_{2}=24.5 , \quad \mu_{1}=10\)符合
综上：此时反供应国外市场，不供应国内市场。
note：从本题可以看出，同时存在两个市场的联合生产时，即成本函数 \(c\left(q_{1}, q_{2}\right) \neq c\left(q_{1}+q_{2}\right)\)，当成本较小是，可能会同时供应。若成本增加，可能只会供应大市场，而放弃小市场。
2)现假设每个厂商首先需要决定是否进入市场。如果进入市场，则需 要支付一个进入成本 q>0。如果不进入市场，不需要支付该进入成本，但也不 能在市场中生产销售。假设所有厂商同时决定是否进入，进入的厂商可以观察 到其它厂商是否进入，所有进入的厂商在市场中进行古诺竞争。均衡时会有多 少个厂商进入?
3)现假设上题中的进入成本实际上是由一个腐败的政府官员收取，该 官员的目标是最大化他从厂商中收取的进入费用，那么他应该把 q 定为多少? 此时有多少个厂商进入?
solution：
1)任意厂商i的利润最大化：
\(\max : \pi_{i}=(a-b y) y_{i}-c y_{i}\)
Foc: \(\quad \frac{\partial \pi_{i}}{\partial {y}_i}=a-b y-c-b y_{i}=0\)
由对称性知：
\(y_{i}^{c}=\frac{a-c}{(N+1) b}\)
\(\pi_{i}^{c}=\frac{(a-c)^{2}}{(N+1)^{2} b}\)
\(y^{c}=\frac{N}{N+1} \frac{a-c}{b}\) \(p^c=\frac{a+N c}{N+1}\)
\(\pi(n)=\frac{(a-1)^{2}}{(n+1)^{2} b}-q=0\)
\(n^{*}=\frac{a-c}{\sqrt{b q}}-1\)
2)若存在进入成本\(q\)
设古诺均衡时，企业数量为n
此时：
\(\max:\quad T=n \cdot q=\frac{a-c}{\sqrt{b}} \cdot \sqrt{q}-q\)
Foc: \(\frac{d_{T}}{d q}=\frac{a-c}{\sqrt{b}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{q}}-1=0\)
\(\pi^{*}=\frac{(a-c)^{2}}{4 b}\)
\(n^{* }=\frac{a-c}{\sqrt{b q^{*}}}-1\)
3)腐败官员的最大化收入：
\(max:T=nq=\frac{a-c}{\sqrt{b}\sqrt{q}}-q\)
FOC:
\(\frac{dT}{dq}=\frac{a-c}{2\sqrt{b}\sqrt{q}}-1=0\)
解得：
\(q^*=\frac{(a-c)^2}{4b}\),此时 \(n^{* *}=1\)
note：若N有整数约束，则2)应为[\(n^*\)],由2)无整数约束时\(n^{* *}=1\)，出题人虽然没有强调整数约束，但是厂商数量是自然数约束。