1.在一个红济体中，产品 \(\mathrm{A}\) 与产品 \(\mathrm{B}\) 必须联合生产。所有企业使用完全相同的生产技术，每个 企业的总成本函数为: \(\mathrm{c}\left(\mathrm{q}_{\mathrm{A}}, \mathrm{q}_{\mathrm{B}}\right)=1+\mathrm{q}_{\mathrm{A}}^{2}+\mathrm{q}_{\mathrm{B}}^{2},\) 其中， \(\mathrm{q}_{\mathrm{A}}\) 和 \(\mathrm{q}_{\mathrm{B}}\) 分别代表两种产品的产出量。需求方面，消费 者们对这两种产品的总需求函数分别为 \(\mathrm{Q}_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}\right)=30-\mathrm{P}_{\mathrm{A}}\) 和 \(\mathrm{Q}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\right)=40-\mathrm{P}_{\mathrm{B} \circ}\) 其中， \(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}\) 和 \(\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\) 分别代表两种 产品的市场价格。所有企业均为市场价格的“接受者”，且可以自由进出市场。请找出这两个产品的长期均衡价 格。

solution：

单个企业利润最大化

\(\max : \pi=P_{A} \cdot q_{A}+P_{B} \cdot q_{B}-q_{A}^{2}-q_{B}^{2}-1\)

st: \(\quad \pi \geqslant 0\)

FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial q_{A}}=P_{A}-2q_A=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial q_{B}}=P_{B}-2q_B=0\end{array}\right.\)

即 \(\left\{\begin{aligned} q_{A} &=\frac{1}{2} P_{A} \\ q_{B} &=\frac{1}{2} P_{B} \end{aligned}\right.\)

且 \(\pi=q_{A}^{2}+q_{B}^{2}-1 \geqslant 0\)

长期均衡时 \(\pi^{*}=0\)

设单个企业的产量/数量为为\(q_{A}^{*},q_{B}^{*}，n^{*}\)

\[\begin{cases}\left(q_{A}^{*}\right)^{2}+\left(q_{B}^{*}\right)^{2}=1\\ \left(Q_{A}^{*}\right)^{s}=\frac{n^{*}}{2} p_{A}=\left(Q_{A}^{*}\right)^{d}=30-p_{A}\\ \left(Q_{B}^{*}\right)^{s}=\frac{n^{*}}{2} p_{B}=(2 \beta)^{\alpha}=40-p_{B}\end{cases}\]

此处为均衡点的加总，而不是供给曲线的加总

解得 \(\left\{\begin{array}{ll}n^{*}=48 \\ p_{A}^{*}=1.2 & Q_ A^{*}=28.8 \\ p_{B}^{*}=1.6 & Q_{B}^{*}=38.4\end{array}\right.\)

至此，本题求解完成。这应该是出题人的本意，若考察队市场均衡与市场结构的立即。但本题中的\(q_ A^{* }\) 和\(q_ B^{ *}=1\) 都小于1，非整数。这与现实不符，若加上整数限制，君合的结果又会如何？

若\(q_ A^{* }，q_ B^{* }\) 存在限制

产品A市场规模小于B,从A开始分析：

无约束时，\(0<q_ A^{* }<1\),存在整数约束时， \(q_ A^{* *}=1\) 此时 \(p_{A}=M C=2 q_{A}\) 知

\(P_{A}=2, \quad Q_ A=28 , \quad n^{* *}=28\)

当企业数量 \(n^{* *}=28\)时，产品B的市场总供给为 \(Q_{13}^{S}=n^{* *} q_{B}^{S}=14 P_{B}\)

联立得： \(q_{B}=\frac{4}{3}\)

由于存在整数约束，此时28甲企业最小的产量为 \(q_{B}^{* *}=1\)，此时B的超额供给为10.

故还有10甲企业企业进入市场，生产

\(q^{\prime}_{B}=1, \quad q_{A}^{\prime}=0\)

至此，A，B市场均达到饱和，在进入无利润。

总上：存在整数约束，长期均衡时有38甲企业。

先进入的28家企业， \(q_{A}^{\prime}=q_{B}^{\prime}=1 ,\quad \pi^{\prime}=1\)

后进入的10家企业， \(q_{A}^{2}=0 , \quad q_{B}^{2}=1 , \pi^{2}=0\)

市场价格： \(P_{A}=P_{B}=2\)

note：本题的取整约束形成的市场结构类似于下面的情形。联合生产+取整约束+市场规模不同形成长期均衡时企业利润的分化，与市场形成的顺序有关。

2.假设市场上有\(A_1\)和\(A_2\)两个生产者，\(A_1\)先决定他的产量\(Q_1\),\(A_2\)再决定他的产量 \(Q_{2} \circ\)。假设整个市场的需求曲线为 \(P=a-b Q,\) 其中 \(Q=Q_{1}+Q_{2}\), 并且对于这两个人来说，生产的单位成本均为 \(\mathrm{c}_{\circ}\) 并且两个人的目标均为利 润最大化。试求:

  1. Stakelberg 均衡时的每个生产者的产量、利润以及市场价格。

  2. 假设现在市场中又出现了其他生产者 \(A_{3}, A_{4}, \cdots A_{N},\) 总共 \(\mathrm{N}\) 个竞争者，他们 生产的单位成本均为 \(\mathrm{c}_{\circ}\) 现在 \(A_{1}\) 仍先决定他的产量 \(Q_{1},\) 其他 \(\mathrm{N}-1\) 个生产者 在观察到 \(Q_{1}\) 后，同时选择自己的产量, 并且每个人的目标仍为利润最大化。 试问均衡时市场价格以及每个生产者的产量、利润都为多少？随着 N 趋向 于无穷大, \(A_{1}\) 的“先发优势”是增强还是减弱了?

  3. 假设有越来越多的生产者发现了“先发”的好处。现在有 M（M<N）个生 产者同时决定产量，而其他 N-M 个人在观测到他们的产量后再决定产量。 这时市场上的价格以及每个人的产量、利润均为多少?

solution：

1)\(A_2\)利润最大化：

\(\max : \pi_{2}=\left(a-bQ\right) \cdot Q_{2}-c \cdot Q_{2}\)

FOC:\(\frac{\partial \pi_{2}}{\partial Q_{2}}=a-c-b Q_{1}-2 b Q_{2}=0\)

其反应函数为：

\(Q_{2}=\frac{a-c-b Q_{1}}{2 b}\)

\(A_1\)利润最大化：

\(\max : \pi_{1}=\left[a-b Q_{1}-b Q_{2}\left(Q_{1}\right)\right] \cdot Q_{1}-Q_{1}\)

FOC:\(\frac{\partial \pi_{1}}{\partial Q_{1}}=\frac{1}{2}\left(a-c-2 b Q_{1})=0\right.\)

解得： \(\left\{\begin{array}{l}p^{s}=\frac{a+3 c}{4} \\ a_{1}^{s}=\frac{a-c}{2 b} \\ Q_{2}^s=\frac{a-c}{4 b}\end{array}\right.\)

\(\pi_{1}^s=\frac{(a-c)^{2}}{8 b}\) \(\pi_2^s=\frac{(a-c)^{2}}{16 b}\)

2)\(A_i\)利润最大化 \((i=2 \cdots N)\)：

\(\max : \quad \pi_{i}=(a-b Q) \cdot Q_{i}-c Q_{i}\)

Foc: \(\frac{\partial \pi i}{\partial Q i}=a-b Q-b Q _i-c=0\)

由对城西知\(A_i\)的反应函数为：

\(Q_{i}=\frac{a-c-b Q_1}{N b}\)

\(A_1\)利润最大化：

\(\max : \pi_{1}=\left[a-b Q_{1}-b\left(Q_{2}+\cdots+Q_{N}\right)\right] Q_{1}-c Q_{1}\)

\(Foc: \quad \frac{\partial \pi_{1}}{\partial Q_{1}}=\frac{1}{N}(a-c-2 b Q_i)=0\)

解得：\(Q_{1}^{s}=\frac{a-c}{2 b} \quad Q_{i}^{s}=\frac{a-c}{2 N b}\)

\(\pi_{1}^{S}=\frac{(a-c)^{2}}{4 N b} \quad \pi_{i}^{s}=\frac{(a-c)^{2}}{4 N^{2} b}\) \(p^{s}=\frac{a+(2 n-1) c}{2 N} \quad Q^{s}=\frac{2 N-1}{N} \frac{a-c}{2 b}\)

当 \(N \rightarrow+\infty\)时，\(A_1\)的先发优势减弱，原因在于N增肌，跟随者的竞争更加激励，不断压低 \(p^{s}\)到c，以至于即使 \(Q_{1}^{s}\)不变， \(\pi_{1}^{s}\) 也会随着其价格的下降而下降，且 \(N \rightarrow+\infty\) 时\(A_{1}\)与其他平方市场。

在古诺模型中

\(N \rightarrow+\infty\) 时， \(p^{c} \rightarrow c\) N个企业评分市场份额，即 \(q_{i}^{c} \rightarrow \frac{Q^{c}}{N}\)

综上： \(N \rightarrow+\infty\)时，斯塔克伯格模型趋向于完全竞争，但市场份额的划分是不同的。

3)N-M个跟随者利润最大化： \(\max : \pi_{i}=\left(a-bQ\right) Q_{i}-c Q_{i} \quad(i=m+1 \cdots N)\) \(\quad{F}o c: \frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=a-b Q-b Q_ i-c=0\)

由对称性可知，追随者的反应函数为： \(Q_{i}=\frac{a-c-b \overline Q}{(N-M+1) b}\)

其中 \(\overline{Q}\)为M个领导者的总产量

M个领导者进行完全竞争，利润最大化：

\(\begin{aligned} \max \pi_{j}=\left[a-b \bar{Q}-(N-M) b Q_{i}(\overline{Q})\right] Q_{j}-c Q_{j} \\(j=1,2 \cdots \cdots M) & \end{aligned}\)

FOC: \(\frac{\partial \pi j}{\partial Q j}=\frac{1}{N-M+1} \quad\left(a-c-b \overline{Q}-b Q_{j}\right)=0\)

由对称性知，单个领导者的产量为： \(Q_{j}=\frac{a-c}{(M+1) b}\) \(\pi_{j}=\frac{(a-c)^{2}}{(m+1)\left(M N-M^{2}+N+1\right) b}\)

其单个追随者的产量为： \(Q_{i}=\frac{a-c}{(N-M+1)(M+1) b}\)，\(\pi_{i}=\frac{\pi_j}{N-M+1}\)

\[产量博弈\begin{cases} 同时博弈：古诺模型(完全竞争市场)\\ 序贯博弈\begin{cases} 领导者+跟随者：进行斯塔克伯格博弈\\ 领导者+跟随者\begin{cases} 各阶段：完全竞争\\ 整体：斯塔格伯格模型\end{cases}\end{cases} \end{cases}\]