1.\(u=x y+y \quad , p_{x} , p_{y} , I\)(足够大)
1)求马歇尔需求函数、间接效用函数和支出函数
2)验证slutsky方程
3)x与y是总互补品还是总代替品
4)若\(\left(p_{x}, p_{y}, I\right)=(1,1,100)\)，求最优消费，若 \(p_x\)上涨到2。求x的替代、收入效应。
3.\(\left(15^{\prime}\right)\) 一个市场中有两个企业，他们生产相同的产品。假定每一个企业生产的单位成本是 \(c,\) 并 且固定成本为 \(0,\) 市场的逆需求函数为 \(p=a-b q,\) 其中 \(q\) 是行业产量。考虑政府管制该市场价格 时的情况。规定价格不能高于 \(p^{*}\) 。
1)若 \(p^{*} \geqslant \frac{1}{3}(a+2 c)\), 写出每一个企业的最优反应函数，计算纳什均衡。
2)若 \(c \leqslant p^{*} \leqslant \frac{1}{3}(a+2 c),\) 写出每一个企业的最优反应函数，计算纳什均衡。
solution:
效用最大化：
\(\begin{aligned} \max :& u(x, y)=(x+1) y \\ \text { st: } & p_{x} \cdot x+p_{y} \cdot y=I \end{aligned}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=(x+1) y+\lambda\left[I-P_{x} \cdot x-P_{y} \cdot y\right]\)
\(\begin{aligned} Focs:& \frac{\mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda P_{x}=0 \\ \frac{\mathcal{L}}{\partial y} &=x+1-\lambda P_{y}=0 \end{aligned}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{I-p_{x}}{2 p_{x}} \\ y=\frac{I+P_x}{2 p_y}\end{array}\right.\)
间接效用函数： \(V\left(p_{\pi}, p_{y}, I\right)=\frac{\left(I+p_{x}\right)^{2}}{4 p_{x} \cdot p_{y}}\)
支出函数：
\(E\left(p_{x} , p_{y}, v\right)=2 \sqrt{p_x \cdot p_y \cdot u}-p_{x}\)
2)希克斯需求函数为：
\(\left\{\begin{aligned} x^{h} &=\frac{\partial E}{\partial p_{x}}=\sqrt{\frac{p_{y} \cdot U}{p_{x}}}-1 \\ y^{h} &=\frac{\partial E}{\partial p_{y}}=\sqrt{\frac{p_{x} \cdot U}{p_y}} \end{aligned}\right.\)
验证： \(\frac{\partial x}{\partial p_{x}}=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}-\frac{\partial x}{\partial I} \cdot x\)
\(\frac{\partial x}{\partial p_{x}}=-\frac{I}{2 p_{x}^{2}} ; \quad \frac{\partial x}{\partial I}=\frac{1}{2 p_{x}}\)
\(\frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}=-\frac{1}{2 p_{x}} \cdot \sqrt{\frac{p_{y} \cdot U}{p_{x}}}\)
则 \(\frac{\partial x}{\partial p_{x}}=\frac{\partial x^{h}}{\partial p_{x}}-\frac{\partial x}{\partial I} \cdot x\)
则y相当于x即非总互补品也非总替代品，两者无关，x相当于y是总替代品。
note：替代和互补
1.需求函数：总替代与总互补
由slutsky分解知，利用马歇尔需求时。 \(\frac{\partial x}{\partial p_y}\)同时包含替代效应与收入相应。由于收入相应的影响。x与y的总替代/互补关系非对称，优势会出现含糊不清的情况，例如本题中 \(\frac{\partial x}{\partial p_y}=0\) 而 \(\frac{\partial y}{\partial p_{x}}>0\)
2)希克斯需求函数：净替代与净互补
对称性： \(\frac{\partial x^{h}}{\partial P_y}=\frac{\partial y^{h}}{\partial p_x}\)
证明 \(\left\{\begin{array}{l}x^{h}=\frac{\partial E}{\partial P_x} \Rightarrow \frac{\partial x^{h}}{\partial P_y}=\frac{\partial^{2} E}{\partial P_x \cdot P_y} \\ y^{h}=\frac{\partial E}{\partial P_{g}} \Rightarrow \frac{\partial y^{h}}{\partial P_{x}}=\frac{\partial^{2} E}{\partial P_x \cdot P_ y}\end{array}\right.\)
由slustsky 分解知， \(\frac{\partial x^{h}}{\partial p_y}\)只包含替代效应。故称为总替代/互补，由对称性知，x与y的关系明确，要么相互替代，要么相互互补。
4)当\(\left(p_{x}, p_{y}, {z}\right)=(1,1, 1 00)\)时
x与y的最优消费为： \(\left\{\begin{array}{l}x=49.5 \\ y=50.5\end{array}\right.\)
\(U_{0}=2550.25\)
当 \(\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, {z}\right)=(2,1,100)\)时，
\(\left\{\begin{array}{l}x=24.5 \\ y=51\end{array}\right.\)
\(U_{1}=1300.5\)
利用slutsky分解：
替代效用\(\begin{aligned} \Delta x^{s} &=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y} , I^{\prime}\right)-x\left(p_{x} , p_{y}, I\right) \\ &=-12.625 \end{aligned}\)
其中 \(I^{\prime}=I+\Delta P_{x} \cdot x\left(p_{x}, p_{y}, I\right)=149.5\)
收入相应： \(\begin{aligned} \Delta x^{I} &=x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, {I}\right)-x\left(p_{x}^{\prime}, p_{y} , I^{\prime}\right) \\ &=-12.375 \end{aligned}\)
利用希克斯分解：
替代效应： \(\begin{aligned} \Delta x^{s} &=x^{h}\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, U_{0}\right)-x^{h}\left(p_{x}, p_{y}, U_{0}\right) \\ & \doteq-14.79 \end{aligned}\)
收入相应：\(\begin{aligned} \Delta x^{I} &=x^{h}\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, V_{1}\right)-x^{h}\left(p_{x}^{\prime}, p_{y}, V_{1}\right) \\ &=-10.21 \end{aligned}\)
2.一个完全竞争、成本不变行业中有很多个厂商，它们的长期成本函数均为其 中 \[ \mathrm{c}=q^{3}-8 q^{2}+48 q \] q 是单个厂商的产量，市场对该产品的需求函数为 \(D^{d}=720-10 p,\) 其中 \(Q^{d}\) 是行业的总产量。
1)求该产品的长期均衡产量和均衡价格;
2)均衡时该行业将有多少厂商?
3)若政府决定对该行业进管制，将产品价格限定为 P=43。允许厂商自由 进入和退出，则此时市场均衡时还有多少企业?
4)若政府通过竞争性投标方式对该行业进行管制，政府目标是将该行业 厂商精简至 20 家，故用竞争性投标方式出售 20 份许可证，所以获得 许可证的 20 家厂商将形成新的均衡, 求此时产品的均衡价格？每份许 可证的均衡价格
solution:
1)完全竞争，成本不变的行业长期供给为： \(p=L M C=L A C_{\min }=32\)
联立市场需求 \(Q^{d}=720-10 p\)
得： \(Q^{*}=400, \quad p^{*}=32\)
单个厂商的均衡产量为： \(q^{*}=4\)
均衡时的厂商数量为： \(n^{*}=\frac{Q^{*}}{q^{*}}=100\)
note：\[\begin{cases} 短期均衡：p^{*} , Q^{*}\\ 长期均衡：p^{* *} , Q^{* *} , n^{* *} \end{cases}\]
note：市场供给曲线专题
1.供给曲线的实质
表面上看，供给曲线表示给定价格下厂商的意愿供给数量。实际上，经济学进行的是资源优化，供给曲线上的每一点代表的是市场可能形成的均衡状态。在完全竞争的市场中。厂商无法控制价格，给定的p是需求曲线变化所带来的。
2.市场短期供给曲线：单个厂商供给的横向加总
在短期，企业的数量不变， \(Q^{s}=\bar{n} \cdot q^{s}\)。单个厂商按照利润最大化+ \(\pi \geqslant-F\)的原则进行生产，形成 \(q^{s}\)曲线，加总后形成 \(Q^{s}\)。
\(Q^{s}\)上的每一点都是可能实现的短期均衡，具体要看 \(Q^{d}\)。
3.市场长期供给曲线
1)并非单个厂商供给的横向加总
在长期，企业数量可变 \(Q^{s}=n \cdot q^{s}\)。单个厂商依据 \(P=L M C+\pi \geqslant 0\)进行生产。从而形成吱声的长期供给，但该长期供给中而 \(\pi>0\) 的部分，若直接加总，则市场的长期供给中也存在 \(\pi>0\) 的部分。而这非长期均衡，故不应该出现在市场的长期供给曲线上。\(\pi_{i}=0\)。 在\(D\)给定时，长期均衡为了一个点，改点由单个厂商(n)供给曲线中 \(\pi_{i}=0\)的点加总而来，当D裱花是，会有新的厂商进步，形成新的长期均衡点，该新均衡点有单个厂商\((n_1)\)供给曲线中 \(\pi_{i}=0\)的点加总而来，故行业长期供给曲线去的仅仅是\(\pi_{i}=0\)的加总，而非整体的加总。
2)行业成本与单个厂商成本
单个厂商的成本函数是由生产技术所决定的，在完全竞争市场中讨论单个厂商的生产时一般假定要素价格不变。但当讨论长期均衡的时候，n的变化势必带来要素需求的变化，这就引入行业成本的概念。
长期D变化——n变化——要素价格变化——单个厂商生产函数的变化——利润为0的变化——长期均衡点的变化——形成长期供给曲线
2)若价格限定为\(\bar{p}=43\)
则市场需求为：\(Q^{* *}=290\)
此时单个厂商的最优决策为：
\(\max \pi=43 . 9-q^{3}+8 q^{2}-48 q\)
FOC:\(\frac{d \pi}{d q}=0 , SOC:\frac{d^{2}\pi}{d q^{2}}<0\)
解得： \(q^{* *}=5\) \(n^{* *}=\frac{Q^{* *}}{q^{* *}}=58\)
note：此时单个厂商存在正利润，为何没有新的厂商进入？
\(\bar{p}\)限定为43，若新进入一个厂商，厂商根据 \(p=M C\)决策，最优产量为5，但此时剩余需求为0，故市场已饱和， \(n^{* *}=58\)
3)若通过许可证的方法限定 \(n^{* * *}=20\)
此时单个厂商的需求为\(q^{d}=\frac{Q^{d}}{20}=36-\frac{1}{2} p\)
利润最大化 \(\max : \pi=p\left(q^{d}\right) \cdot q^{d}-c\left(q^{d}\right)\)
FOC: \(\frac{d \pi}{d q_d}=0 ,SOC: \frac{d^{2} \pi}{d q^{2}_d}=0\)
解得 \(q=6.412\) \(q=6\)(q=7时利润较小)
此时 \(p^{* * *}=60\)
单个企业的利润为\(\pi^{***}=144\)
故许可证的价格为114
note：为何许可证的价格为144
若不发放许可证，自由竞争是单个企业的利润为0，故政府发放许可证是一定不能使得厂商的处境变差，故P=144。当然这里只是理想的状态，现实中往往控制P使得厂商获得社会平均社会报酬，例如出租车行业。
3.\(\left(15^{\prime}\right)\) 一个市场中有两个企业，他们生产相同的产品。假定每一个企业生产的单位成本是 \(c,\) 并 且固定成本为 \(0,\) 市场的逆需求函数为 \(p=a-b q,\) 其中 \(q\) 是行业产量。考虑政府管制该市场价格 时的情况。规定价格不能高于 \(p^{*}\) 。
1)若 \(p^{*} \geqslant \frac{1}{3}(a+2 c)\), 写出每一个企业的最优反应函数，计算纳什均衡。
2)若 \(c \leqslant p^{*} \leqslant \frac{1}{3}(a+2 c),\) 写出每一个企业的最优反应函数，计算纳什均衡。
solution：
企业1利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left(a-c-b q_{2}-b q_{1}\right) q_{1}\)
Foc: \(\frac{\partial {\pi}_{1}}{\partial q_{1}}=a-c-b q_{2}-2 b q_{1}=0\)
得反应函数： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}\left(q_{2}\right)=\frac{a-c-b q_{2}}{2 b} \\ q_{2}\left(q_{1}\right)=\frac{a-c-b q_{1}}{2 b}\end{array}\right.\)
由于 \(p \leq p^{*}\) 即 \(q \geqslant \frac{a-p^{*}}{b}\)
当 \(p=\frac{1}{3}(a+2 c)\)时， \(q=\frac{2(a-c)}{3 b}\)
当\(P=c\)时， \(q=\frac{a-c}{b}\)
1)当 \(p^{*} \geqslant \frac{1}{3}(a+2 c)\)时，
\(q=q_{1}+q_{2} \geqslant \frac{u-p^{*}}{b}\)
\(A\left(\frac{p^{*}-c}{b}, \frac{a+c-2 p^{*}}{2 b}\right)\) \(B\left(\frac{a-c}{3 b}, \frac{a-c}{3 b}\right)\)
2)当 \(q_{2} \geqslant \frac{a-c}{b}\) 时， \(q_{1}=0\)
当\(\frac{a+c-2 p^{*}}{2 b} \leq q_{2} \leq \frac{a-c}{b}\) 时， \(q_{1}=\frac{a-c-2 q_{2}}{2 b}\)
当\(0 \leq q_{2} \leq \frac{a+c-2 p^{*}}{2 b}\)时 \(q_{1} \geqslant \frac{a-p^{*}}{b}-q_{2}\) \(\geqslant \frac{a-c-2 p_{2}}{2 b}\)
\(\pi_{1}=\left(a-c-b q_{2}-b q_{1}\right) q_{1}\)
即在 \(\left(0, \frac{a-c-b q_{2}}{2 b}\right)\)\(\pi_{1}\)单增
\(\left(\frac{a-c-bq_i}{2 b} ,+\infty\right)\)\(\pi_{1}\)单增
则 \(q_{1}=\frac{a-p^{*}}{b}-q_{2}\)
综上： \(q_{1}\left(q_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cc}0 & q_{2} \geqslant \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-c-2 p_{2}}{2 b} & \frac{a+c-2 p^{\pi}}{2 b} \leqslant q_{2} \leq \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-p^{*}}{b}-q_{2} & 0 \leq q_{2} \leq \frac{a+c-2 f^{*}}{2 b}\end{array}\right.\)
\(q_{2}\left(q_{1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}0 & q_{1} \geqslant \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-c-2 p_{1}}{2 b} & \frac{a+c-2 p^{\pi}}{2 b} \leqslant q_{1} \leq \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-p^{*}}{b}-q_{1} & 0 \leq q_{1} \leq \frac{a_{+c-2} p^{*}}{2 b}\end{array}\right.\)
2)当 \(\left.c \leq p^{*} \leq \frac{1}{3} ( 2 +2c\right)\)时，
\(q=q_{1}+q_{2} \geqslant \frac{a-p^{*}}{b}\)
由对称性，不妨值分析企业的产量决策
\(A\left(\frac{p^{*}-c}{b}, \frac{a+c-2 p^{*}}{2 b}\right)\) \(B\left(\frac{a-c}{3 b}, \frac{a-c}{3 b}\right)\)
所以有： \(q_{1}=\left\{\begin{array}{ll}0 & q_{2}>\frac{a-c}{b} \\ \frac{a-c-b q_{2}}{2 b} & \frac{a+c-2 p^{*}}{2 b}<q_{2} \leq \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-p^{*}}{b}-2_{2} & q_{2} \leq \frac{a+c-2 p^{*}}{2 b}\end{array}\right.\)
\(q_{2}\left(q_{1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}0 & q_{1} \geqslant \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-c-2 p_{1}}{2 b} & \frac{a +c-2p^{x}}{2 b} \leq q_{1} \leq \frac{a-c}{b} \\ \frac{a-p^{*}}{b}-q_{1} & 0 \leq q_{1}\leq\frac{a+c-2 \vec{p}}{2 b}\end{array}\right.\)