1.效用函数为\(u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\min \left\{3 x_{1}+x_{2}, x_{1}+3 x_{2}\right\}\)，其中\(p_{1}>0 , p_{2}>0\).
1)画出代表\(u\left(x_{1}, x_{2}\right)=20\)的无差异曲线
2)求出收入拓展线以及\(x_{1}, x_{2}\) 的恩格尔曲线
3)求出\(x_{1}, x_{2}\)的马歇尔需求函数
4)当 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)满足什么条件是，必有 \(x_{1}^{*}=0\)
5)\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\) 满足什么条件是，必有 \(x_{1}^{*}=0\)
6)若 \(x_{1}^{*}>0 , x_{2}^{*}>0\)，则最优点处 \(\frac{x_{1}^{*}}{x_{2}^{x}}\)为何值？均衡点是否唯一。
solution: 1)由于
\(u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}3 x_{1}+x_{2} & x_{1}<x_{2} \\ x_{1}+3 x_{2} & x_{1}>x_{2}\end{array}\right.\)
则 \(u\left(x_{1}, x_{2}\right)=20\)的无差异曲线如图
2)收入拓展线
当\(0<\frac{p_{1}}{p_{2}}<\frac{1}{3}\)时， \(x_{1}=\frac{m}{p_{1}} ; x_{2}=0\)
\[\begin{cases} 收入拓展线：x_2=0\\ x_1的恩格尔曲线：m=p_{1} \cdot x_{1}\\ x_2的恩格尔曲线:x_2=0 \end{cases}\]
当 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{1}{3}\)时
\(x_{1}=\left[\frac{m}{p_{1}+p_{2}}, \frac{m}{p_{1}}\right]; x_{2}=\left[0, \frac{m}{p_{1}+p_{2}}\right]\)
\[\begin{cases} 收入拓展线：x_2\leq x_1的区域\\ x_1的恩格尔曲线：m=p_{1}x_1与m=(p_1+p_2)x_1之间的区域\\ x_2的恩格尔曲线:x_2=0与m=(p_1+p_2)x_2之间的区域 \end{cases}\]
当
\(\frac{1}{3}<\frac{p_{1}}{p_{2}}<3\)时， \(x_{1}=x_{2}=\frac{m}{p_{1}+p_{2}}\)
\[\begin{cases} 收入拓展线：x_1=x_2\\ x_1的恩格尔曲线：m=(p_1+p_2)x_1\\ x_2的恩格尔曲线:m=(p_1+p_2)x_2 \end{cases}\]
当 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}=3\)时
\(x_{1}=\left[\begin{array}{ll}0, \frac{m}{P_{1}+P_{2}}\end{array}\right] ; x_{2}=\left[\frac{m}{p_{1}+P_{2}}, \frac{m}{p_{2}}\right]\)
\[\begin{cases} 收入拓展线：x_1\leq x_2区域\\ x_1的恩格尔曲线：x_1=0与m=(p_1+p_2)x_1之间的区域\\ x_2的恩格尔曲线:m=(p_1+p_2)x_2与m=p_2x_2之间的区域 \end{cases}\]
当 \(\frac{p_{1}}{p_{2}}>3\)时 \[\begin{cases} 收入拓展线：x_1=0\\ x_1的恩格尔曲线：x_1=0\\ x_2的恩格尔曲线:m=p_2x_2 \end{cases}\]
3)\[\begin{cases} 当0<\frac{p_{1}}{p_{2}}<\frac{1}{3} 时， x_{1}=\frac{m}{p_{1}}; x_{2}=0\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{1}{3}时，x_{1}=\left[\frac{m}{p_{1}+p_{2}}, \frac{m}{p_{1}}\right]; x_{2}=\left[0, \frac{m}{p_{1}+p_{2}}\right]\\ 当\frac{1}{3}<\frac{p_{1}}{p_{2}}<3时，x_{1}=x_{2}=\frac{m}{p_{1}+p_{2}}\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=3时，x_{1}=\left[\begin{array}{ll}0 , \frac{m}{P_{1}+P_{2}}\end{array}\right] ; x_{2}=\left[\frac{m}{p_{1}+P_{2}}, \frac{m}{p_{2}}\right]\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}>3时，x_{1}=0 ; \quad x_{2}=\frac{m}{p_{2}} \end{cases}\]
此时
\[x_{1}=\begin{cases} \frac{m}{p_{1}}，0<p_{1} / p_{2}<\frac{1}{3} \\ \frac{m}{p_{1}+p_{2}}\frac{m}{p_{1}}，p_{1} / p_{2}=\frac{1}{3}\\ \frac{m}{p_{1}+p_{2}} ，\frac{1}{3}<p_{1} / p_{2}<3 \\ [{0} , \frac{m}{p_{1}+p_{2}}，p_{1} / p_{2}=3\\0，p_{1} / p_{2}>3 \end{cases}\]
\(x_{2}=\left\{\begin{array}{c}\frac{m}{p_{2}}，0 &<p_{2} / p_{1}<_{3}^{1} \\ {\left[\frac{m}{p_{1}+p_{2}}, \frac{m}{p_{2}}\right]}，p_{2} / p_{1}=\frac{1}{3}\\ \frac{m}{p_{1}+r_{2}}，\frac{1}{3}<p_{2} / p_{1} &<3 \\ {\left[0, \frac{m}{p+p_{2}}\right]}，p_{2} / p_{1} =3 \\ 0，p_{2} / p_{1} >3\end{array}\right.\)
4)由马歇尔需求函数知：
\[\begin{cases} 当\frac{p_{1}}{p_{2}}>3时，x_{1}^{*}=0\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=3时，x_{1}^{*}可能为0 \end{cases}\]
5)由马歇尔需求知
\[\begin{cases} 当0<\frac{P_{1}}{p_{2}} < \frac{1}{3}时， x_{2}^{*}=0\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{1}{3}时， x_{2}^{*}有可能为0 \end{cases}\]
6)\[\begin{cases} 当\frac{1}{3}<\frac{p_{1}}{p_{2}}<3时，x_{i}^{*}>0 . \quad x_{2}^{*}>0 . \quad \frac{x_{1}^{*}}{x_{2}^{*}}=1，\exists x_{1}^{*}>0 . \quad x_{2}^{*}>0 . \quad \frac{\chi_{1}^{*}}{x_{2}^{*}} \geq 1，均衡点唯一\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{1}{3}时，均衡点不唯一\\ 当\frac{p_{1}}{p_{2}}=3时，\exists x_{1}^{*}>0 . \quad x_{2}^{*}>0 \quad 0<\frac{x_{1}^{*}}{x_{2}^{*}} \leq 1，均衡点不唯一 \end{cases}\]
1)在短期，市场的均衡价格是多少？每个厂商生产多少? 每个厂商的利润是多少?
2)在长期，市场的均衡价格是多少? 市场的总产量是多少? 有多少厂商进行生产?
solution：
消费者效用最大化：
\(\max \quad U(x, y)=x+2.94 \ln y\) \(\quad st: \quad x+p \cdot y=m\)
拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=x+2.94 \ln y+\lambda[m-x-p y]\)
y的需求为： \(y^d=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2.94}{P} & (m \geqslant 2.94) \\ \frac{m}{P} & (0<m<2.94)\end{array}\right.\)
Y的总需求为 \(Y^{d}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{294}{p} & (m>2.94) \\ \frac{100 m}{p} & (0 < m<2.94)\end{array}\right.\)
1)短期 \(\bar{x}_{2}=1\)，生产函数为 \(y=\sqrt{x}_{1}\)，故\(x_{1}=\)的条件要素需求为 \(x_{1}=y^{2}\)，此时成本函数为： \(c(y)=4 y^{2}+1\)
单个企业的供给为\(y^{s}=\frac{p}{8} \quad(p \geqslant 0)\)
行业的供给为\(y^{s}=6 p(p \geqslant 0)\)
当\(m \geqslant 2.94\)时，
均衡时有： \(y^{d}=y^{s}\)
解得：
\(p^*=7 \quad Y^{*}=42\)
则单个企业的产量和利润分别为：\(y^{*}=\frac{7}{8}, \quad \pi^{*}=\frac{33}{16}\)
当 \(0<m<2.94\)时
均衡时 \(y^{d}=y^{s}\)
解得： \(p^*=\frac{5}{3} \sqrt{6 m} \quad y^{*}=1 0 \sqrt{6 m}\)
则单个企业的产量和利润分别为 \(\left\{\begin{array}{l}y^{*}=\frac{5}{24} \sqrt{6 m} \\ \pi^{*}=\frac{25}{24} m-1\end{array}\right.\)
note:此时单个企业的利润可能小于0，但是大于-1，短期内生产仍会继续。
2)长期成本最小化 \(\begin{array}{ll}\text { min: } & 4 x_{1}+x_{2} \\ \text { st: } & \quad y=\sqrt{x_{1} x_{2}}\end{array}\)
拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=4 x_{1}+x_{2}+\lambda\left(y-\sqrt{x_{1} x_{2}}\right)\)
解得： \(c(y)=4 y\)
当 \(m \geqslant 2.94\)时，长期均衡时有： \(p^{* *}=M C=4\)，此时产量为： \(y^{* *}=73.5\) 长期均衡时企业利润为0，企业的数量 \(N \rightarrow+\infty\) ，单个企业产量为 \(y^{* *} \rightarrow 0\)
note：从短期到长期的过程中，由于单个企业利润 \(\pi>0\)。故不断由企业进入市场，以获去正的利润，直到 \(\pi=0\) ，由于mc是恒定的，故均衡时 \(y \rightarrow 0 , N \rightarrow+\infty\)
当\(0<M<2.49\)时，长期均衡有 \(p^{* *}=MC=4\)，此时产量：\(y^{* *}=25 m\)，企业数量为 \(N \rightarrow+\infty\) 单个企业产量为 \(y^{* *} \rightarrow 0\)。