1.\(u(x, y)=\min \{x, y\}, \quad p_{x}>0, \quad p_{y}=1, \quad m=100\)
1)求最优消费
2)若政府征收收入税，税率为\(\alpha(0<\alpha<1)\)， 当x的价格从 \(p_{x}^{\prime}\) 变到 \(\left(t \leq p_{x}\right)\)时，求居民在x市场上消费者剩余的变化。
3)若政府对x征收从量税\(t(t<p_x)\),政府分目标是最大化税收收入。求最优化的t以及此时的居民效用。
solution:
效用最大化：
\(\max : u(x, y)={min}\{x, y\}\) \(\quad\) st: \(\quad P_{x} \cdot x+P_{y} \cdot y=m\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{p_{x}+p_{y}} \\ y=\frac{m}{p_x+p_y}\end{array}\right.\)
1)当 \(\left(P_{x} , P_{y} , m\right)=\left(P_{x} , 1, 100\right)\)时
\(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{100}{p_ x+1} \\ y=\frac{100}{p _x+1}\end{array}\right.\)
2)若征收收入税，则 \(\left(p_{x} , p_ y , m\right)=\left(p_{x}, 1, 100(1-\alpha)\right)\)
在x的消费变为 \(x_{1}=\frac{1 00(1-\alpha)}{p_x+1}\)
若x的价格由\(p_x\)变为\(p'_x\)。 则 \(\begin{aligned} \Delta C S &=\int_{p_{x}^{\prime}}^{p_{x}} \frac{100(1-\alpha)}{p_{x}+1} d p_{x} \\ &=1 00(1-\alpha) \ln \frac{p_{x}+1}{p_{x}^{\prime}+1} \end{aligned}\)
3)若征收从量税，则 \(\left(p_{x}, p_{y}, m\right)=\left(p_{x}+t, 1,100\right)\)
此时x的消费为 \(x_{2}=\frac{100}{p_{x}+t+1}\)
政府最大化税收： \(\max :T= \frac{100 t}{P_x+t+1} \quad\left(t \leq P_{x}\right)\)
由于 \(\frac{d T}{d t}=\frac{1 00(p_x+1)}{p_{x}+t+1}>0\)
故当 \(t^{*}=p_{x}\)时，有
\(T_{\max }=\frac{100 P_x}{2 p_{x}+1}\)
此时居民效用为： \(u=\frac{100}{1+2 p_x}\)
2.有一项生产技术为 \(q=[\min \{2 l, 2 k\}]^{\frac{1}{2}},\) 资本 \(k\) 和劳动 \(l\) 的价格均为 1 。某一厂商若购头此项专利技术，则在专利的有效期内可垄断该产品市场，有效期过后，任何厂商都可以生产该产品。市场对该产品的反需求函数为 \(p=1000-1.5q\).
1)求该产品的要素需求函数和成本函数。
该厂商最多愿意出多少钱购买此技术?
若政府对该产品征税 \(50 \%\) 的从价税，该厂商愿出多少钱购买此项技术?
solution：
1)由于由于\(q=\operatorname{[min}\{2l, 2 k\}]^{\frac{1}{2}}\)
最优时：\(q=\sqrt{2 l}=\sqrt{2 k}\)
故条件要素需求为：\(k=l=\frac{1}{2} q^{2}\)
成本函数为：\(c(q)=w l+r k=q^{2}\)
2)购买此技术时，垄断厂商的利润为：
max: \(\pi^{m}=(1000-1.59) q-q^{2}\)
FOC:\(\frac{d {\pi}^{m}}{d q}=1000-5 q=0\)
解得： \(q^{m}=200 , p^{m}=700 , \pi^{m}=100000\)
故厂商最多愿意出100，000购买此项技术
3)若对产品征收50%的从价税 此时 \(p^d=1.5 {p_s}=1000-1.5q\)
垄断厂商的利润为： \(\begin{aligned} \max : & d \pi=p_{s} \cdot q-q^{2} \\ &=\frac{1}{1.5}(1000-1.5 q) \cdot q-q^{2} \end{aligned}\)
FOC\(\frac{d \pi}{d q}=\frac{2000}{3}-4q=0\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}q^{m}=\frac{500}{3} \\ p_{d}^{m}=750 \\ p_{s}^{m}=500\end{array}\right.\)
厂商的利润为 \(\pi^{m}=\frac{500000}{9}\)
故厂商最多愿意出\(\frac{500000}{9}\)购买此项技术。
note：可以证明厂商或消费者征从价税均衡产量不变，即使在垄断的市场结构中。
3.衡量行业集中度的一个重要指标是芬达尔指数，其表达式为 \[ H=\sum_{i=1}^{N} \alpha_{i}^{2} \] ，其中 \(\alpha_{i}\) 为各企业的市场份额。考虑采用古诺竞争的企业，设市场总产量为 Q，价格为 \(p\) ，需求价格弹性为 \(\varepsilon, \pi_{i}\) 为企业 \(i\) 的利润，每个企业都有不变的边际成本 \(c_{i}\) 。
proof：任意企业\(i\)的利润最大化：
\(\max : \pi_{i}=p(Q) \cdot q_{i}-c_{i} q_{i} \quad(i=1,2 \cdots N)\)
FOC:\(\frac{d \pi_{i}}{d q_{i}}=p(Q)+\frac{d P(Q)}{d Q} \cdot q_{i}-c_{i}=0\)
化简整理得：\(p(Q)\left[1+\frac{d p}{d Q} \cdot \frac{Q}{p} \cdot \frac{q_{i}}{2}\right]=c_{i}\)
即 \(\frac{p-c_i}{p}=\frac{\alpha_ i}{\varepsilon}\)
则 \(\frac{\sum_{i=1}^{N} \pi_{i}}{p a}=\frac{p Q-\frac{N}{i=1} a q_{i}}{p Q}\)
\(=1-\sum_{i=1}^{N} \frac{c_{i} \alpha_{i}}{p}\) \(=1-\sum_{i=1}^{N} \alpha_{i}\left(1-\frac{\alpha_ i}{\varepsilon}\right)\) \(=\frac{H}{\varepsilon}\)
2)由1)知 \(\frac{p-c_i}{p}=\frac{\alpha_i}{\varepsilon} \quad(i=1,2 \cdots N)\)
则 \(\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{N} \partial_{i}\left(\frac{p-C_{i}}{p}\right) \\=& \sum_{i=1}^{N}=\alpha_{i} \cdot \frac{\alpha_{i}}{\varepsilon} \\=& \frac{H}{\varepsilon} \end{aligned}\)
note： \(L_{i}=\frac{P-C_{i}}{P}\)称为企业i的勒纳指数，衡量企业的市场势力，在古诺竞争中 \(L=\frac{\alpha_{i}}{\varepsilon}\)与\(\alpha_{i}\)相关，说明份额越大，市场势力越大。而份额又与边际成本有关，总是 \(mc_i\)越小， \(\alpha_{i}\)越大，市场势力越大。