1.\(u\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 \sqrt{x_{1} x_{2}}, m=100 . \quad p_{1}=1 . \quad p_{2}=2\)
1)求最优消费组合
2)若对商品1征收100%的从价税，求此时的最优选择
3)若征收收入，使税收与2)相等。求最优选择并比较从价税是的效用水平。
4)若2)中的从家税税收全额返还，求最优选择并比较不征税时的效用水平。
2.已知需求函数为\(q_d=100-20p\),供给函数为\(q_s=20+20p\)。
1)计算出均衡价格与均衡数量。
2)加入存在数量税为每单位商品0.5元，那么均衡价格和均衡数量变为多少？
3)计算税收的无谓损失。
4)如果存在两种征税方式，一种是对生产者征税，一种是对消费者征税，分别计算均衡数量、均衡价格和无畏损失。
solution
note:从价税&税收返还的效应分析
1)若不征从价税： \(\begin{aligned} \max & U(x, y) \quad \Rightarrow \quad\left\{\begin{array}{l}x=x_{0} \\ y=y_{0}\end{array}\right.\end{aligned}\)
\(p_{x} \cdot x_{0}+p_{y} \cdot y_{0}=m\)
2)从价税&税收返
\(\max =u(x, y)\) \(st:\left(p_{x}+t\right) \cdot x+p_{y} \cdot y=m+1\) \(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=x_{1} \\ y=y_{1}\end{array}\right.\)
\(\left(p_{x}+t\right) x_{1}+p_{y} \cdot y_{1}=m+t \cdot x_{1}\) \(\Rightarrow \quad p_{x} \cdot x_{1}+p_{y} \cdot y_{1}=m\)
3)两种情况下的效用分析
由于 \(\left\{\begin{array}{l}p_{x} x_{0}+p_{y}-y_{0}=m \\ p_{y} \cdot x_{1}+p_{y} \cdot y_{1}=m\end{array}\right.\)
故 \(\left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right)\)都穿过原始预算约束
由显示偏好弱公理知， \(\left.\left(x_{0}, y_{0}\right) \succ (x_{1}, y_{1}\right)\)
即 \(u_{0}>u_{1}\)
4)图示
5)政策的效力 改变消费习惯，增加y，减少x。
效用最大化： \(\max \quad U\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 \sqrt{x_{1} x_{2}}\) \(s_{t}: \quad p_{1} \cdot x_{1}+p_{2} \cdot x_{2}=m\)
拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=2 \sqrt{x_{1} x_{2}}+\lambda\left(m-p_{1} x_{1}-p_{2} x_{2}\right)\)
Focs \(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}} &=x_{1}^{-\frac{1}{2}} x_{2}^{\frac{1}{2}}-\lambda p_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}} &=x_{1}^{\frac{1}{2}} x_{2}^{-\frac{1}{2}}-\lambda p_{2}=0 \end{aligned}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{m}{2 p_{1}} \\ x_{2}=\frac{m}{2 p_{2}}\end{array}\right.\)
间接效用函数为： \(v_{1}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)=\frac{m}{\sqrt{p_{1} p_{2}}}\)
1)若 \(\left(p_{1}, p_{2}, m\right)=(1,2,100)\) 则 \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=50 \\ x_{2}=25\end{array} \quad V_{0}=50 \sqrt{2}\right.\)
2）若征收100%的从价税，则 \(\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}, m\right)=(2,2,100)\)
则有： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=25 \\ x_{2}=25\end{array} \quad v_{1}=50\right.\)
3)其中政府的税收收入为： \(T=25\)
若征收税收且\(T=25\)， 则有 \(\left(p_{1}, p_{2}, m^{\prime}\right)=(1,2,75)\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{75}{2} \\ x_{2}=\frac{75}{4}\end{array} \quad v_{2}=\frac{75}{2} \sqrt{2}\right.\)
由于 \(v_{2}-v_{1}=\frac{75}{2} \sqrt{2}-50 \doteq 3.03>0\)
故在T不变时，收入税优于从价税。 因为收入税不扭曲价格，不产生替代效应。
4)若征收100%从价税且税收返还
则 \(\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}, m^{\prime}\right)=\left(2,2,100+x_{1}\right)\)
即 \(x_{1}=\frac{m^{\prime}}{2 p_{1}^{\prime}}=\frac{100+x_{1}}{4}\)
得： \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{10}{3} \\ x_{2}=\frac{100}{3}\end{array} \quad v_{3}=\frac{200}{3}\right.\)
由于 \(V_{0}-V_{3}=50 \sqrt{2}-\frac{200}{3}=4.03>0\)
故税收返还仍然会降低消费者效用。
2.\(\left(20^{\prime}\right)\) 已知需求函数为 \(Q_{d}=100-20 p,\) 供给函数为 \(Q_{s}=20+20 p_{\circ}\)
2)假如存在数量税为每单位商品 0.5 元，那么均衡价格和均衡数量变为多少?
3)计算税收的无谓损失。
4)如果存在两种征税方式，一种是对生产者征税，一种是对消费者征税，分别计量均衡数量、 均衡价格和无谓损失。
solution:
1)均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}Q^{s}=20+20 p \\ Q^{d}=100-20p \\ Q^{s}=Q^{d}\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}P_{0}=2 \\ Q_{0}=60\end{array}\right.\)
2)若征收数量税，每单位0.5元，则共同分担。
均衡时： \(\left\{\begin{array}{l}Q=100-20 p^{d} \\ Q^{s}=20+20 p^{s} \\ Q^{d}=Q^{S} \\ p^d-p^{3}=t=0.5\end{array}\right.\) 、 解得： \(\left\{\begin{array}{l}Q_{1}=55 \\ p^d=\frac{9}{4} \\ p^{s}=\frac{7}{4}\end{array}\right.\) 即均衡产量为55，均衡价格为 \(p^{d}=\frac{9}{4}\)
3)税收的无畏损失为： \(\Delta S W=\frac{1}{2} t\left(Q-Q_{1}\right)=\frac{5}{4}\)
4)若对消费者征税，均衡条件为： \(\left\{\begin{array}{l}Q^{d}=100-20(p+t) \\ Q^{s}=20+20 p \\ Q^{d}=Q^{5}\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}p_{2}=\frac{7}{4}=p_{s} \\ Q_{2}=55=2 .\end{array}\right.\)
\(\Delta W_{1}=\frac{5}{4}\)
\(\left\{\begin{array}{l}Q^{d}=100-20 P \\ Q^{s}=20+20(p-t) \\ Q^{d}=Q^{s}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}p_{3}=\frac{9}{4}=p_d \\ Q_{3}=55=Q_1\end{array}\right.\)
\(\Delta W_{2}=\frac{5}{4}\) note：税收从量税是，若税率保持不变，无论是对单一主体征税买还是共同征税。不改变均衡Q,CS,PS,社会福利和T,改变的是均衡的价格。 思考：如果改为从价税，又会怎么样？
3.竞争性市场下有 3 个完全相同的企业，生产相同产品。市场的反需求曲线为 \(\mathrm{p}(\mathrm{Q})=1-\mathrm{Q}\), \(\mathrm{Q}=\mathrm{q}_{1}+\mathrm{q}_{2}+\mathrm{q}_{3} \circ\) 每个企业成本为零。
1)古诺模型下各企业的利润。
2)若其中两个公司合并，企业各自的利润分别是多少?
3)若三个公司合并，利润为多少?
4)若他们可以生产类似但不完全相同的产品，那么两个公司合并是否有利可图？为什么?
solution:
1)企业i利润最大化:(\(i=1,2,3\))
\(\max \quad \pi_{i}=(1-Q) q_{i}\) \(Fo c: \quad \frac{\partial \pi_{i}}{\partial q_{i}}=1-Q-q_{i}=0 \quad(i=1,2,3)\) 联立解得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{i}=\frac{1}{4} \\ p=\frac{1}{4}\end{array} \quad \pi_{i}=\frac{1}{16}\right.\)
2)若两个企业合并，则改变为古诺双寡头模型，不妨将2/3合并为2 有1)知， \(\left\{\begin{array}{l}2 q_{1}+q_{2}=1 \\ q_{1}+2 q_{2}^{\prime}=1\end{array}\right.\)
联立解得： \(\left\{\begin{array}{rl}q_{i} & =q_{2}^{\prime}=\frac{1}{3} \\ p & =\frac{1}{3}\end{array} \quad \pi_{1}=\pi_{2}^{\prime}=\frac{1}{9}\right.\) 则 \(\pi_{1}=\frac{1}{9}, \quad \pi_{2}=\pi_{3}=\frac{1}{18}\)
3)若3个企业合并，则市场结构变为弄断 从1)知，\(1-2Q=0\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{2} \\ Q=\frac{1}{2}\end{array} \quad \pi=\frac{1}{4}\right.\)
此时 \(\pi_{i }=\frac{1}{3} \pi=\frac{1}{12} \quad(i=1,2,3)\)
4)若生产类似但不完权相同的产品，此时为弄断竞争市场，企业合并变得有利可图，原因如下：
垄断竞争中，单个企业由于产品的差异化而拥有一定的市场份额，惬意何必会使得市场份额集中，避免独自经营是的竞争行为，故有利可图。
古诺模型中，由于产品的同质性，市场份额与企业数量有关。企业合并一方面会降低市场竞争，有利；另外一方面会降低市场份额，有害。连这个和的权衡合并企业的利润变化是不确定的。2中企业合并利润下降，3中合并企业利润上升。
note：N家企业进行古诺竞争，市场需求为 \(p=a-b Q, \quad MC=c\)，若有M家企业合并 \((0 \leq M \leq N)\)。分析企业合并企业利润随M的变化情况(或者考虑有多少家企业被收购是有利可图的)。