1.消费者的效用为\(U\left(q_{1}, q_{2}\right)=\ln q_{1}+q_{2}, \quad P_{2}=1\)，对商品1征收从价税，\(p_{1}^{\prime}=p_{1}(1+t)\)，收入为m。
1)求\(q_{1} ,q_{2}\)的马歇尔需求函数以及间接效用函数。由于收入很低\((m \leq 1)\) ，居民抱怨政府税收，政府因此出台两项措施：
2)将税率变为\(t-a(0<a<t)\)，求间接效用函数
3)若不改变税率，而是将所征税收返还给居民，求此时的间接效用函数。
4)何种情况下会选择第一种政策？
solution:
1)效用最大化问题： \(\begin{aligned} \max: & U=\ln q_{1}+q_{2} \\ s t: & p_{1}(1+t) q_{1}+q_{2}=m \end{aligned}\)
构建拉格朗日函数：
\(\mathcal{L}=\ln q_{1}+q_{2}+\lambda\left[m-p_{1}(1+t) q_{1}-q_{2}\right]\)
FOCs： \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{1}}=\frac{1}{q_{1}}-\lambda p_{1}(1+t)=0\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{2}}=1-\lambda=0\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{1}{P_{1}(1+t)} \\ q_{2}=m-1\end{array}\right.\)
若 \(m>1\)则：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{1}{p_{1}(1+t)} \\ q_{2}=m-1\end{array}\right.\)
\(V=m-1-\ln p_{1}(1+t)\)
\(0<m \leq 1\)
\(\left\{\begin{array}{l}a_{1}=\frac{m}{p_{1}(1+t)} \\ q_{2}=0\end{array}\right.\)
\(V=\ln \frac{m}{p_{1}(1+t)}\)
2)若 \(m \leq 1\)，且税率降为 \(t-a(0<a<t)\)
此时间接效用函数为： \(V_{1}=\ln \frac{m}{p_{1}(1+t-a)}\)
3)若 \(m \leq 1\)，且税率保持不变
若\(m+T^{*}=m+t P_{1} q_{1}^{*}>1\)，此时 \(q_{1}^{*}=\frac{1}{p_{1}(1+t)}, \quad q_{2}^{*}=m+T^{*}-1\)
得 \(T^{*}=\frac{t}{1+t}\) 即 \(\frac{1}{1+t}<m<1\)=时
\(V_{2}=m-\frac{1}{1+t}-\ln P_{1}(1+t)\)
若 \(m+T^{*}=m+t p_{1} q_{i}^{*}<1\) ，此时 \(q_{1}^{*}=\frac{m+T^{*}}{p_{1}(1+t)}, \quad q_{2}^{*}=0\) 得：
\(T^{*}=m t\) 即 \(0<m<\frac{1}{1+t}\) 此时 \(V_{3}=\ln \frac{m+T *}{P_{1}(1+ t)}=\ln \frac{m}{P_{1}}\)
4)当 \(0<m<\frac{1}{1+t}\)时：
\(V_{1}=\ln \frac{m}{p_{1}(1+t-a)}<V_{3}=\ln \frac{m}{P_{1}}\)
居民选择政策2.
当 \(\frac{1}{1+t}<m<1\)时：
若\(V_{1}-V_{2}=\frac{1}{1+t}-m+\ln \frac{m(1+t)}{1+t-a} \geqslant 0\)
则居民选择证词1，此时 \(1+t-m(1+t)e^{m-\frac{1}{1+t}}<a<t\)
综上，居民选择政策1的条件为： \(1+t-m(1+t) e^{m-\frac{1}{1+t}}<a<t\)
2.\(\left(15^{\prime}\right)\) 成本函数为 \(C(Q)=F+\frac{1}{2} a Q^{2},\) 其中 \(A, F\) 为正常数。
2)供给函数。
3)需求函数为 \(P=A-b Q\) ，其中 \(A, b\) 均为正常数。均衡时只有一个企业，且是价格接受者，求 均衡唯一时的条件，及均衡产量和均衡价格。
solution:
1)成本函数为： \(c(Q)=F+\frac{1}{2} a Q^{2}\)
平均成本为： \(AC(Q)=\frac{1}{2} aQ+\frac{F}{Q}\)
令 \(\frac{d A C(Q)}{d Q}=\frac{1}{2} a-\frac{F}{Q^{2}}=0\)
求得：\(a=\sqrt{\frac{F}{Q^{2}}}\)
故当 \(0<Q<\sqrt{\frac{2 F}{\alpha}}\)时，规模报酬递增
当\(Q=\sqrt{\frac{2 F}{a}}\)时，规模报酬不变
当\(Q> \sqrt{\frac{2 F}{a}}\)时，规模报酬递减
2)短期：
厂商在生产时追求利润最大化： \(P=MC(Q)=a Q\)
同时由于存在固定成本F:可以选择退出或不进入
\(\pi \geqslant-F, 即 \quad P \geqslant A V C(Q)\)
综上：短期供给函数为： \(Q^{s}=\frac{P}{a}\)
长期：
厂商在生产时追求利润最大化： \(P=MC(Q)=aQ\)
同时长期无固定成本： \(\pi \geq 0\) 即 \(P \geqslant A C(Q)\)
综上：长期供给函数为： \(Q^{s}=\frac{p}{a} \quad(p \geqslant \sqrt{2 a F})\)
3)若均衡时只有一个企业，且为价格接受者。
此时： \(Q^{s}=Q^{d}\)
得： \(p^{*}=\frac{a \cdot A}{a+b} \quad Q^{*}=\frac{A}{a+b}\)
均衡唯一性的条件为： 只有一个企业：\(\pi^{*}=\frac{a A^{2}}{2(a+b)^{2}}-F \geqslant 0\)
存在两个企业时： \(\pi^{**} <0\)
若市场中存在两个企业： \(\left\{\begin{aligned} Q^{S} &=\frac{2 P}{a} \quad(P \geqslant \sqrt{2 a F}) \\ p &=A-b Q^{d} \end{aligned}\right.\)
解得： \(p^{* *}=\frac{a \cdot A}{a+2 b}\) \(Q^{* *}=\frac{2 A}{a+2 b}\)
单个企业的利润为： \(\pi^{* *}=\frac{a A^{2}}{2(a+2 b)^{2}}-F<0\)
故均衡唯一的条件为： \(\frac{a A^{2}}{2(a+2 b)^{2}}<F \leq \frac{a A^{2}}{2(a+b)^{2}}\)
note：此时形成的市场结构成为自然垄断。该种自然垄断形成的原因在于规模报酬不变得点 \(\sqrt{\frac{F}{2 a}}\)过大，使得一家独大。
3.考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场需求为 \(p=10-Q\) 给出。这 两家企业的成本函数分别为 \(C_{1}=4+2 Q_{1}, \quad C_{2}=3+3 Q_{2} \circ\)
若两家企业合谋追求利润最大化, 总的产量水平是多少？市场价格是多少? 各自生产的量以及利润是多少?
若两家企业追求各自利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润 是多少？市场价格是多少？并写出各自的反应函数。
若合谋是违法的，但收购不违法。企业 1 会出多少钱收购企业 2 ?
solution:
1)合谋利润最大化：
\(\max : \pi=\left(10-Q_{1}-Q_{2}\right)\left(Q_{1}+Q_{2}\right)-2 Q_{1}-3 Q_{2}-7\) st: \(\quad Q_i \geqslant 0 \quad(i=1,2)\)
拉格朗日函数： \(\exists \quad \mu_{i} \geqslant 0 \quad(i=1,2)\)
\(\mathcal{L}=(10-Q_1-Q_2)(Q_1,Q_2)-2Q_1-3Q_2-7+u_{1} Q_{1}+\mu_{2} Q_{2}\)
\(\begin{aligned} \text { FOCs: } & \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_{1}}=8-2 Q_{1}-2 Q_{2}+\mu_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_{2}}=& 7-2 Q_{1}-2 Q_{2}+u_{2}=0 \end{aligned}\)
K-T条件： $ { u_i } Q_i=0 (i=1,2)$
若 \(Q_1>0, Q_ 2>0\)，即 \(u_{1}=u_{2}=0\)
此时一阶条件矛盾，不符合
当\(Q_{1}=0\)时，即 \(u_1\geqslant 0\)
此时 \(u_{2}=\mu_{1}+1>0 \Rightarrow Q_{2}=0\)不符合
当 \(Q_{2}=0\)时，即 \(\mu_{2} \geqslant 0\)
此时，\(Q_{1}=4, \quad p=6 . \quad u_{2}=1, \quad u_{1}=0\)符合
综上：合谋是仅企业1生产，此时 \(p=6 . Q=4\)
\(\pi_{1}=12, \quad \pi_{2}=-3\)
2)古诺模型：
企业1、2的利润最大化决策为： \(\max : \pi_{1}=\left(10-Q_1-Q_{2}\right) \cdot Q_{1}-2Q_{1}-4\) \(\operatorname{max}: \pi_{2}=\left(10-Q_{1}-Q_{2}\right) Q_{2}-3 Q_{2}-3\)
Focs: \(\quad \frac{\partial \pi_1}{\partial Q_{1}}=8-2Q_{1}-Q_{2}=0\) \(\frac{\partial \pi_{2}}{\partial Q_{2}}=7-2 Q_{2}-Q_{1}=0\)
反应函数为：
\(R_{1}\left(Q_{2}\right)=\frac{8-Q_{2}}{2}\) \(R_{2}\left(Q_{1}\right)=\frac{7-Q_{1}}{2}\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}Q_{1}^{c}=3 \\ Q_{2}^{c}=2\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{c}=5 \\ \pi_{2}^{c}=1\end{array}\right.\)
\(p=5\)
3)若企业收购企业2，企业1的垄断利润为 \(\pi_{1}^{m}=12\)
企业2同意被收购的前提是收购后的净收益至少不比古诺模型的差。
古诺模型： \(V_{2}=\pi_{2}^{c}=1\)
被收购 \(V_{2}^{\prime}=T-3\)
则企业1被收购价格为 \(T=4\)
收购后企业1的净收益为 \(V_{1}=\pi_{1}^{m}-T=8>\pi_{1}^{c}\)
因此交易能够进行。
note：为何不是企业2收购企业1？
企业2的垄断利润为 \(\pi_{2}^{m}=6.25\)
古诺竞争是企业1的收益为 \(V_{1}=\pi_{1}^{c}=5\)
收购后企业的收益为 \(v_{1}^{\prime}=T^{\prime}-4\)
则 \(T^{\prime}=9\)
此时企业2的净收益为 \(V_{2}^{\prime \prime}=\pi_{2}^{m}-T^{\prime}=-2.75 < \pi_{2}^{c}\)
此时交易不会进行。