1.已知间接效用函数为\[V\left(p_{x}, p_{y}, m\right)=\left\{\begin{array}{l}-\infty\quad m < 2 p x \\ \left(\frac{m-2 p x}{2 \beta x}\right)\left(\frac{m-2 p x}{2 p y}\right) \quad m \geq 2 p x\end{array}\right.\] 求支出函数、希克斯需求函数、马歇尔需求函数以及直接效用函数。
solution
当\(m<2 P x\)时，无意义
当\(m \geq 2 p x\)时：
1)支出函数：与直接效用函数互为反函数
\(E\left(P_{x}, P_{y}, U\right)=2 P_{x}+2 \sqrt{P_{x} \cdot P_{y} \cdot U}\)
2)希克斯需求函数：谢波德引理
\(x^{h}(p_x,p_{y},U)=\frac{\partial E}{\partial P_{x}}=2+\sqrt{\frac{ P_y \cdot v}{p_{x}}}\)
\(y^{h}\left(p_x \cdot p_{y} \cdot U\right)=\frac{\partial E}{\partial p_{y}}=\sqrt{\frac{p_x \cdot U}{p_y}}\)
3)马歇尔需求函数：罗伊恒等式
\(x\left(P_{x}, P_{y}, m\right)=-\frac{\partial V / P_{x}}{\partial V / m}=\frac{m-2 P x}{2 P x}+2\)
\[ y\left(P_{x}, P_{y} \cdot m\right)=-\frac{\partial V / \partial P_{y}}{\partial V / d m}=\frac{m-2 P x}{2 P y} \]