1.已知某人效用函数 \(\mathrm{u}=\mathrm{lnx}+9 \mathrm{lny},\) x 为每周消费食物的数量，y 为每周消费其他物品的数量，用 单位货币表示。每周收入 1000 元。对于食品消费，每周消费数量限制在 40 以下。
1)当食品价格为 \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}\) 时，求食品的消费数量，以及其他物品的消费量。
2)若 \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}=2,\) 则食品的消费量是多少。其他物品对食品的边际替代率是多少？与价格比的大小关系？请 给出经济解释。
3)当 \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}=3\) 时，重新回答 \((2)_{\circ}\)
4)若市场上 \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}=2,\) 而附近新开的超市由于食品新鲜的原因价格为 \(3,\) 消费者决定当食品消费数量大于 40 之后，才在超市购头食品。问此时的食品消费量为多少。
solution：
1)效用最大化问题： \(\max : \mu=\ln x+9 \ln y\) \(\quad s t: \quad p x \cdot x+y \leq m\)
拉格朗日函数为：
\(\mathcal{L}=\ln x+9 \ln y+\lambda[m-P x \cdot x-y]\)
FOCs: \[ \begin{array}{l} \qquad\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=\frac{1}{x}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=\frac{9}{y}-\lambda=0 \end{array}\right. \end{array} \]
解得： \[ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{m}{10 p_x} \\ y=\frac{m}{9 p_y} \end{array}\right. \]
由于x的消费不超过40，故： \[ \left\{\begin{array}{l} x=40 \\ y=1000-40 p_x \end{array} \quad(0 \leq p_x \leq 2.5)\right. \]
\[ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{100}{p_x} \\ y=900 \end{array} \quad\left(p_{x} \geqslant 2.5\right)\right. \]
2)当 \(p_{x}=2\)时，x的消费量为上限40
此时y对x的边际替代率为：
\[ \operatorname{MRS}_{x, y}=\frac{M U_x}{M U_{y}}=\frac{y}{9 x}=\frac{23}{9}>\frac{P_{x}}{p_{y}}=2 \]
经济学解释：
\(M R S x, y>\frac{P x}{P y}\) 说明消费者认为 \(P_{x}\)相对于\(P_{y}\)偏低，仍有购买x的欲望，但受到限制。
\(\frac{M U_{x}}{P_{x}}>\frac{M U_{y}}{P_y}\)，即单位货币带来的x的边际效用大于y的边际效用，倾向于增加x的购买。
3)当 \(P_{y}=3\)时，x的消费量为\(frac{100}{3}\)
此时y对x的边际替代率为：
\(M R S_{x, y}=\frac{M U_x}{MU_y}=\frac{y}{9 x}=3=\frac{P x}{P y}\)
经济学解释： \(\frac{M U_{x}}{P_{x}}=\frac{M U_{y}}{P_{y}}\)，即单位货币带来的x的边际效用等于y的效用。消费者达到最优选择。
4)方法一：经济分析
当 P_{x}=2 时， x=40，此时消费者仍有购买x的欲望
由于 \(M R S_{x, y}=\frac{23}{9}<3\)，故消费者不会再新开超市购买x。
综上，x的最优消费量为40.
方法二：数理证明法
消费者的预算集为：
\[ \left\{\begin{array}{ll} 2 x+y=1000 & 0<x \leq 40 \\ 3 x+y=1040 & x>40 \end{array}\right. \]
当 \(\left(P_{x}, P_{y}, m\right)=(2,1,1000)\)时， x=50>40不符合
当\(\left(P_{x}, P_{y}, m\right)=(2,1,1040)\)时， \(x=\frac{104}{3} \doteq 34.67<40\)不符合
故消费者最优选择为 \(A(40,920)\)(次优解)
2.某垄断企业由两个工厂构成，工厂 I 的生产函数为 \(y_{1}=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha},\) 工厂 II 的生产函数为 \(y_{2}=x_{1}^{\beta} x_{2}^{1-\beta},\) 其中 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 为两种要素的投入数量， \(\alpha\) 与 \(\beta\) 为常数。如果要素市场为完全竞争市 场， \(r_{1}\) 和 \(r_{2}\) 为两种要素的价格，则该企业的成本函数如何？
solution：
1)首先求工厂1,2d的成本函数
工厂1成本最小化： \[ \min : \quad r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2} \] \[ \text { st }: \quad y_{1}=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha} \]
拉格朗日函数：
\[ \mathcal{L}=r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2}+\lambda\left(y_{1}-x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha}\right) \]
\[ \begin{aligned} FOCs: & \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=r_{1}-\lambda \partial x_{1}^{\alpha-1} x_{2}^{1-\alpha}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}} &=r_{2}-\lambda(1-\alpha) x_{1}^{\alpha} x_{2}^{-\alpha}=0 \end{aligned} \]
解得： \(c_{1}(y)=\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha-1} r_{1}^{\alpha} r_{2}^{1-\alpha} \cdot y_{1}=A \cdot y_{1}\)
同理：\(c_{2}(y)=\beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1} r_{1}^{\beta} r_{2}^{1-\beta} \cdot y_{1}=A \cdot y_{2}\)
2)再求厂商的成本函数
若\(A>B\)， \(M C_{1}=A>M C_{2}=B\) 故此时全部利用工厂2生产更加，此时 \(c(y)=\beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1} r_{1}^{\beta} r_{2}^{1-\beta} \cdot y\)
当 \(A<B\)时， \(M C_{1}=A < M C_{2}=B\)
此时全部利用工厂1生产更加，此时 \(c(y)=\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha-1} r_{1}^{\alpha} r_{2}^{1-\alpha} y\)
当 \(A=B\)时，无差异
综上： \(c(y)=\min \{A, B\} \cdot y\)
其中 \(\left\{\begin{array}{l}A=\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha-1} r_{1}^{\alpha} r_{2}^{1-\alpha} \\ B=\beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1} r_{1}^{\beta} r_{2}^{1-\beta}\end{array}\right.\)
3.生产函数 \(Q=f(K, L)=A K^{\alpha} L^{\beta} \quad(A>0, \alpha+\beta=1,0<\alpha<1)\)，要素价格分别为\(r,w\).
证明：
1)该生产函数满足欧拉定理
2)拓展线为通过远点的射线
3)资本、劳动的产出弹性分别为 \(\alpha. \beta\)
5)若为完全竞争市场，厂商资本与劳动的成本占比分别为 \(\alpha. \beta\)
proof：
1)欧拉定理
\(f(K, L)=K \cdot M P K+L \cdot M P L\)
\(\begin{aligned}MPK=& \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial k}=\alpha A K^{\alpha-1} L^{\beta} \\ MPL &=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=\beta A K^{\alpha } L^{\beta-1} \end{aligned}\)
\(K \cdot M P K+L \cdot M P L=(\alpha+\beta) K^{\alpha} L^{\beta}=f(K, L)\)
2)生产的拓展线为K-L平面上最优决策的连线，厂商的最优决策满足
\(M R T S_{K, L}=\frac{M P K}{M P {L}}=\frac{r}{w}\) 即 \(K=\frac{\alpha w}{\beta r} \cdot L\)
即生产的拓展线通过原点的射线。
3)要素x的产出弹性： \(E_{x}=\frac{d Q / Q}{d x / x}\)
资本、劳动的产出弹性为 \(E_{k}=\frac{d Q / Q}{d k / k}\) \(=\frac{d Q}{d k} \cdot \frac{k}{Q}\) \(=M P K \cdot \frac{K}{Q}\) \(=\alpha\)
同理 \(E_{L}=\frac{d Q}{d L} \cdot \frac{L}{Q}=M P L \cdot \frac{L}{{\alpha}}=\beta\)
故 \(M R T S_{K,L}\)只取决于 \(\frac{L}{K}\),并随之的增而增。
5)完全竞争市场： \(w=M P L \quad r=M P K\)
厂商成本最小化： \[ \begin{array}{l} \text { min: wL+rK } \\ \text { st: } Q=A K^{\alpha} L^{\beta} \end{array} \]
拉格朗日函数：
\[ \mathcal{L}=w L+r k+\lambda\left[\alpha-A k^{\alpha} L^{\beta}\right] \]
解得： \[ \left\{\begin{array}{l} K=A^{-1} \alpha^{\beta} \beta^{-\beta} w^{\beta} r^{-\beta} \cdot Q \\ L=A^{-1} \alpha^{-\alpha} \beta^{\alpha} w^{-\alpha} \alpha^{2}\cdot Q \end{array}\right. \]
\[ c(Q)=A^{-1} \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} r^{\alpha} w^{\beta} \cdot \alpha \]
资本成本份额： \(\alpha_{k}=\frac{r \cdot K}{c(\alpha)}=\alpha\)
劳动成本份额： \(\alpha_{L}=\frac{w \cdot L}{c(\alpha)}=\beta\)