1.假定市场有甲、乙两个消费者以及两种商品 \(\mathrm{X}_{1}\) 和 \(\mathrm{X}_{2}, \mathrm{X}_{1}\) 代表珀饼， \(\mathrm{x}_{2}\) 代表其他商品。 假定甲乙二人具有相同的偏好: \(U\left(\mathrm{X}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{X}_{1}^{0.5} \mathrm{X}_{2}{ }^{0.5},\) 其中 \(\mathrm{X}_{1}\) 的价格 \(\mathrm{P}_{1}\) 为 10 元， \(\mathrm{x}_{2}\) 的价格 \(\mathrm{P}_{2}\) 为 1 元，甲乙二人均有 \(\mathrm{I}=100\) 元的收入。消费者乙有一张商品 \(\mathrm{X}_{1}\) 的折扣券，该折扣券只能 使用一次，可以按 50%的折扣购买任意数量的商品 \(\mathrm{X}_{1}\), 甲没有折扣券。
（1）试求甲乙二人的最优消费决策。
（2）甲若向乙购买折扣券，他最高愿意支付多少钱给乙？
（3）乙最低索取多少钱才会转让自己的折扣券?
（4）甲乙之间能否达成交易?
2.一个企业有三个车间, 各自的成本函数为
\(TC_{1}=4 x_{1}+x_{1}^{2}\)
\(TC_{2}=4 x_{2}+2 x_{2}^{2}\)
\(TC_{3}=6 x_{3}\)
问: 当此企业要生产 8 单位产品时, 应如何分配产量使其成本最小?
solution：
消费者效用最大化： \[ \begin{array}{l} \text { max: } U=x_{1}^{\frac{1}{2}} x_{2}^{\frac{1}{2}} \\ \text { st：} \quad p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=I \end{array} \]
拉格朗日函数： \[ L=x_{1}^{\frac{1}{2}} x_{2}^{\frac{1}{2}}+\lambda\left[1-p_{1} x_{1}-p_{2} x_{2}\right] \]
FOCs：\[ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_{1}} &=\frac{1}{2} x_{1}^{-\frac{1}{2}} x_{2}^{\frac{1}{2}}-\lambda p_{1}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}} &=\frac{1}{2} x_{1}^{\frac{1}{2}} x_{2}^{-\frac{1}{2}}-\lambda p_{2}=0 \end{aligned} \]
解得： \[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=\frac{I}{2 P_{1}} \\ x_{2}=\frac{I}{2 P_{2}} \end{array}\right. \]
间接效用函数为： \[ V=\frac{I}{2 \sqrt{p_{1} p_{2}}} \]
1)对于家而言 \(\left(p_{1}, p_{2}, I\right)=(10,1,100)\)
最优决策为 \(\left(x_{1}, x_{2}\right)=(5, 50)\)
对于而言 \(\left(p_{1}, p_{2}, \quad\right)=(5,1,100)\)
最优决策为 \(\left(x_{1}, x_{2}\right)=(10, 5 0)\)
2)假设甲的最高出价为\(V_{甲}\)，即保证购买消费券的效用至少和购买前一样。
购买前： \(V_{甲}=5 \sqrt{10}\)
购买后： \(\left(p_{1}, p_{2}, I\right)=(5,1,100-T_甲)\)
\(V_{甲}^{\prime}=\frac{100-T _甲}{2 \sqrt{5}}\)
令\(V_{甲}={V_甲}^{\prime}\)得：
\(T_{甲}=100-50 \sqrt{2} \doteq 29.3\)元
即甲最多愿支付29.3元购买折扣券。
3)假设乙的最高卖价为\(T_乙\),使得售出后的效用至少与售出前一样
出售前：\(V_{乙}=10 \sqrt{5}\)
出售后：\(\left(p_{1}, p_{2}, {I}\right)=\left(10,1,100+T_{2}\right)\)
\(V_{乙}^{\prime}=\frac{100+{T}_{乙}}{2 \sqrt{10}}\)
令\(V_{乙}={V_{乙}}^{\prime}\)得
\(T_{乙}=100 \sqrt{2}-100=41.4\)元
即乙的最低索取价格为41.4元
4)由于 \(T_{乙}> T_甲\) ，所以该交易不会达成。
若 \(T_{乙} < T_甲\)，则交易可能达成。但决堤的交易价格视为围着讨价还价的能力而定，设计纳什讨价还价模型。
2.一个企业有三个车间, 各自的成本函数为
\(TC_{1}=4 x_{1}+x_{1}^{2}\)
\(TC_{2}=4 x_{2}+2 x_{2}^{2}\)
\(TC_{3}=6 x_{3}\)
问: 当此企业要生产 8 单位产品时, 应如何分配产量使其成本最小?
solution：
方法一：分析求解
企业成本最小化问题为： \[ \begin{array}{r} \min : \quad T C_{1}+T C_{2}+T C_{3} \\ \text { st: } \quad x=x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{array} \]
拉格朗日函数为： \[ \mathcal{L}=4 x_{1}+x_{1}^{2}+4 x_{2}+2 x_{2}^{2}+6 x_{3}+\lambda\left[x-x_{1}-x_{2}-x_{3}\right] \]
Focs： \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=4+2 x_{1}-\lambda=0 \\ \frac{\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=4+4 x_{2}-\lambda=0 \\ \frac{\mathcal{L}}{\partial x_{3}}=6-\lambda=0 \end{array}\right. \]
企业的决策全责是比较各工厂的边际成本。
由于 \[ M C_{1}=4+2 x_{1} \quad M C_{2}=4+4 x_{2}, \quad M C_{3}=6 \]
1)当 \(0 \leq x<\frac{3}{2}\)时，仅利用工厂1、2生产的MC更小
此时令 \(M C_{1}=M C_{2}\) 得 \(x_{1}=2 x_{1}\)
成本为： \(c(x)=4 x+\frac{2}{3} x^{2}\)
2)当 \(x \geq \frac{3}{2}\)时，超过\(\frac{3}{2}\)的部分利用工厂3生产更优。此时， \(x_{1}=2 x_{2}=1, \quad x_{3}=x-\frac{3}{2}\)
成本： \(c(x)=6 x-\frac{3}{2}\)
综上：企业的成本函数为：
\(c(x)=\left\{\begin{array}{ll}4 x+\frac{2}{3} x^{2} & 0 \leq x<\frac{3}{2} \\ 6 x-\frac{3}{2} & x \geq \frac{3}{2}\end{array}\right.\)
当 \(x=8\)时， \(c(x)=46.5\)，其中 \(x_{1}=1, \quad x_{2}=\frac{1}{2}, \quad x_{3}=\frac{13}{2}\)
方法二：K-T条件直接求解
企业成本最小化问题为：
\(\begin{aligned} \min : & T C_{1}+T C_{2}+\Gamma C_{3} \\ \text { St }: & x=x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ & x_{i} \geqslant 0 \quad(i=1,2,3) \end{aligned}\)
拉格朗日函数： \(\exists \mu_{i} \geqslant 0\)使得：
\(\mathcal{L}=4 x_{1}+x_{1}^{2}+4 x_{2}+2 x_{2}^{2}+6 x_{3}+\lambda[x-x_{1}-x_{2}-x_{3}]-\sum_i\mu_{i} x_{i},i=1,2,3\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=4+2 x_{1}-\lambda-\mu_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=4+4 x_{2}-\lambda-\mu_{2}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{3}}=6-\lambda-\mu_{3}=0\end{array}\right.\)
KT条件 \(\mu_{i} x_{i}=0 \quad(i=1,2,3)\)
此时分类讨论 \(\mu_{i}=0\) 与 \(u_i \geq 0\)，总共8中情况，化简讨论：以\(x_i\)为研究中心比较方便，而不是\(\mu_i\)
（i）若x_1=0, 即 \(\mu_{1} \geqslant 0\)
此时 \(\mu_{2}=\mu_{1}+4 x_{2} \geqslant 0 \Rightarrow x_{2}=0\)， \(\mu_{3}=\mu_{1}+2 \geqslant 0 \Rightarrow x_{3}=0\)不符合
（ii）若x_2=0, 即 \(\mu_{2} \geqslant 0\)
此时 \(\mu_{1}=\mu_{2}+2 x_{1} \geqslant 0 \Rightarrow x_{1}=0\)， \(\mu_{3}=2+u_{2} \geqslant 0 \Rightarrow x_{3}=0\)不符合
即 \(x_{1}>0 . \quad x_{2}>0, \quad u_{1}=0 . \quad \mu_{2}=0\)
(iii）若x_3=0, 即 \(\mu_{3} \geqslant 0\) 此时\(\lambda \leq 6\) ，\(0<x_{1} \leq 1\) ，\(0<x_{2} \leq \frac{1}{2}\) ， \(0<x \leq \frac{3}{2}\) 由于\(x_{1}=2 x_{1}\) ，则\(c(x)=4 x+\frac{1}{3} x^{2}\)
(iv）若x_3>0, 即 \(\mu_{3} = 0\) 此时\(\lambda=6 . \quad x_{1}=1 . \quad x_{2}=\frac{1}{2}, \quad x_{3}=x-\frac{3}{2}>0\)
\(x>\frac{3}{2}\) 时. \(\quad c(x)=6 x-\frac{3}{2}\)
综上： \(c(x)=\left\{\begin{array}{ll}4 x+\frac{2}{3} x^{2} & 0<x \leq \frac{3}{2} \\ 6 x-\frac{3}{2} & x>\frac{3}{2}\end{array}\right.\)
3.x,y的生产函数分别为\(x=\sqrt{L_x}, \quad y=\sqrt{L_y}\) 其中劳动力总量为固定的\(\bar{L}\)
1)求生产可能性边界，是否存在范围经济？
2)若\(x=L_{x}^{2}, \quad y=L_{y}^{2}\)，回答第1)问
3)比较范围经济与规模经济
solution:
\[\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{L_x} \\ y=\sqrt{L_y} \quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=\bar{L} \\ L_{x}+L_{y}=\bar{L}\end{array}\right.\]
推出 \(x^{2}+y^{2}=\bar{L}\)
即为生产函数的边界。
由于 \(\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}<0\)
\(\frac{{d y}^2}{d^{2} x}=\frac{-x^{2}-y^{2}}{y^{3}}<0\)
故存在范围经济。
2)由 \[\left\{\begin{array}{l}x=L_{x}^{2} \\ y=L_{y}^{2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}+\sqrt{y}=\bar{L} \\ L_{x}+L _y=\bar{L}\end{array}\right.\]
得生产可能性边界： \(\frac{d y}{d x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}<0\)
由于 \(\frac{{d y}^2}{d^{2} x}=\frac{1}{2 x}+\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}>0\)
故不存在范围经济。
note：集合与函数凹凸性的区别
1.集合的凹凸性
凸集是指任意链接集合内的两点，两点连线的所有元素属于该集合。
本题为例：
集合1：\(x^{2}+y^{2} \leq \bar{L}\)，凸集
集合2：\(\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq \bar{L}\)，凹集
2.经济学的凹凸性(专指中文教材)
凸函数：凸向原点的函数
\(f\left[t x_{1}+(1-t) x_{2}\right]>t f\left(x_{1}\right)+(1-t) f\left(x_{2}\right)\)
\(f^{\prime \prime}(x)>0\)(可微)
三者是等价的(与数学中的定义恰好相反)
以本题的生产函数为例
\(x^{2}+y^{2}=\bar{L}\) 凹函数
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\bar{L}\) 凸函数
3.两者的关系
集合的边界由函数组成，可以说函数的凹凸性决定了集合的凹凸性。当然这与集合的定义有关。
例如：生产可能性的边界为 \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)
1)若定义 \(x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\)为生产可能性集，则该集合为凸集。
2)若定义 \(x^{2}+y^{2} \geq a^{2}\)为生产可能性集合，则该集合为非凸集。
3)规模经济与范围经济
a.规模经济是指单一产品生产的概念，范围经济是指多产品联合生产的概念
两者之间没有绝对的关系，要具体问题具体分析。
b.本题中 \(x=\sqrt{L_{x}}, \quad y=\sqrt{L_{y}}\)时规模报酬递减，但具有范围经济。原因在于仅一种生产要素，且MPL递减，故搭配生产更加效率。