一、一个消费者消费食油 \(x_1\) 和大米 \(x_2,\) 一单位食油价格是 2 元加 1 单位粮票。一单位大 米价格是 1 元加 1 单位粮票。此人拥有 60 元钱和 30 张粮票。效用函数 \(\mathrm{U}\left(x_1，x_2\right)=x_{1} x_{2}+10 x_{2}\)
2)假若存在黑市交易，该消费者可以以一元钱买入或者卖出一单位粮票，在图上画出可 能消费集合。求出 \(x_{1}, x_{2}\) 最优消费量，请问该消费者会购买或者卖出多少粮票?
solution
1)货币与粮票不能兑换
效用最大化：
\(\max : \quad U=x_{1} x_{2}+10 x_{2}\)
\(s t: 2 x_{1}+x_{2} \leq 60\) \(x_{1}+x_{2} \leq 30\)
方法1：画图确定紧约束 \(\Rightarrow x_{1}+x_{2} \leq 30\)
拉格朗日函数：
\(L=x_{1} x_{2}+10 x_{2}+\lambda\left(30-x_{1}-x_{2}\right)\)
focs： \[ \text { Foc: }\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=x_{2}-\lambda=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=x_{1}+10-\lambda=0 \end{array}\right. \] 解得 \[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=10 \\ x_{2}=20 \end{array}\right. \]
方法2：K-T条件直接求解
构建拉个朗日函数： \[ \exists \lambda \geqslant 0 , \mu \geqslant 0 \]
\[ L=x_{1} x_{2}+10 x_{2}+\lambda\left[30-x_{1}-x_{2}\right]+u\left[\left(60-2 x_{1}-x_{2}\right)\right. \]
\[ \text { Focs: }\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=x_{2}-\lambda-\mu=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=x_{1}+10-\lambda-2 \mu=0 \end{array}\right. \]
\[ K-T:\left\{\begin{array}{l} \lambda\left(30-x_{1}-x_{2}\right)=0 \\ \mu\left(60-2 x_{1}-x_{2}\right)=0 \end{array}\right. \]
a.当\(\mu=0\) 时， \(\lambda=10, \quad x_{1}=10 \quad x_{2}=20\)符合
b.当\(\mu>0\)时，需要 \(2 x_{1}+x_{2}=60\)， 当 \(\lambda>0\)时 \(x_{1}=30 . \quad x_{2}=0\)即 \(\lambda=-u\)矛盾 ； 当\(\lambda=0\)时， \(30-x_{1}-x_{2} \geqslant 0 \Rightarrow x_{1} \geqslant 30\)矛盾
2)假设买入t单位粮票
预算约束为：
\[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=60-t( 0 \leq x_{1} \leq 30-2 t)\\ x_{1}+x_{2}=30+t(30-2 t \leq x_{1} \leq 30+t) \end{cases}\]
a.当\(t \leq 0\)时：约束进一步收紧，效用小于无交易时
b.\(t \geq 15\)时，
\(\left\{\begin{array}{c}\max : \quad U=x_{1} x_{2} \\ \text { st: } 2 x_{1}+x_{2}=60-t\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad U(t)=\frac{\left(C_{0}-t\right)^{2}}{8}\) \(\Rightarrow \quad t=15\)时, \(U_{max}=253.125\)
\(\begin{aligned} U\left(x_{1}, x_{2}\right) &=\left(10+x_{1}\right) x_{2} \\ \Rightarrow \quad U(t) &=3 t(40-2 t) \end{aligned}\)
令\(\frac{d U(t)}{d t}=6(20-2 t)=0\)得\(t^{*}=10\)
note： 1.如果相切于B，则货币有剩余，多购买粮票来优化消费；若相切于C,则粮票有剩余，少购买粮票来优化消费。 2.本题构造拉格朗日函数，利用库恩塔克条件比较麻烦，利用经济分析比较简单
\(U^{*}=300>253.125\)
故\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=10 \\ x_{2}=30\end{array}\right.\)买入10单位粮票。
2.生产函数为 \(f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1} x_{2}\) ，要素价格为 \(w_{1}, w_{2}\)
1)求条件要素需求函数
2)求成本函数
3)成本函数是否存在规模效应
4)证：边际成本等于成本最小化中的拉格朗日乘子
solution：
1)成本最小化问题为：
\(\min : \quad w_{1} x_{1}+w_{2} x_{2}\) st: \(\quad x_{1} x_{2} \leq y\)
构建拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=w_{1} x_{1}+w_{2} x_{2}+\lambda\left[y-x_{1} x_{2}\right]\)
\[ \begin{aligned} FOCs: & \frac{\partial L}{\partial x_{}}=w_{1}-\lambda x_{2}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}} &=w_{2}-\lambda x_{1}=0 \end{aligned} \]
解得： \[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}\left(w_{1}, w_{2} ,y\right)=\sqrt{\frac{w_{2}}{w_{1}} y} \\ x_{2}\left(w_{1}, w_{2}, y\right)=\sqrt{\frac{w_{1}}{w_{2}} y} \end{array}\right. \]
2)成本函数为：
\(c\left(w_1, w_{2}, y\right)=w_{1} x_{1}\left(w_{1}, w_{2}, y\right)\) \(+w_{2} x_{2}\left(w_{1}, w_{2}, y\right)\) \(=2 \sqrt{w_{1} w_{2}} \cdot \sqrt{y}\)
3)当 \(t>1\)时，由于 \(c(t y)=2 \sqrt{w_{1} w_{2}} \sqrt{t y}<t \cdot 2 \sqrt{w_{1} w_{2}} \sqrt{y}=t c(y)\)。 则成本函数规模报酬递减，即生产的规模报酬递增。
note：生产的规模报酬分析
1.生产函数的齐次性 若\(f(t x, t y)>t f(x, y) \Rightarrow\)规模报酬递增
2成本函数的齐次性 若\(c(t y)<t c(y)\Rightarrow\)规模报酬递增
3.平均成本函数的单调性
若\(\frac{d A C(y)}{d y}<0 \quad \Rightarrow\)规模报酬递增
\(c(y) k\)次齐次 \((0<k<1)\) ，则 \(A C(y)=\frac{(y)}{y}(k-1)\)次齐次，则 \(\frac{d AC(y)}{\partial y}<0\)，平均成本递减。
4)由于 \(c(y)=2 \sqrt{w_{1} w_{2}} \sqrt{y}\)
则\(MC (y)=\frac{dc( y)}{d y}=\sqrt{w_{1} w_{2}} y-\frac{1}{2}\)
由1)知\[ \lambda=\frac{w_{1}}{x_{2}}=\frac{w_{2}}{x_{1}}=\sqrt{w_{1} w_{2}} y^{\frac{1}{-2}} \]
故\[ \lambda=m c(y) \] 即影子价格。
note:经济学解释：拉格朗日函数中的\(\lambda\)表示的是变化一个点位，目标函数变化的量，即\(\lambda=\frac{\Delta 目标}{\Delta 约束}\) 本题中约束是产量，目标为成本，则表示产量变化一单位，成本变化的比例，也就是边际成本。\(\lambda=m c(y)\)。