1.CT公司有大量的年轻员工有3岁以下的幼儿，一个代表性员工小梁每周收入为2000元，她需要在购买托幼服务时间d和消费商品c中进行选择，以最大化自己的效用。其效用函数的形式为\(u_k(c, d)=c^{3} d\).市面上每小时托幼服务的价格为\(p_d=24\)元，每单位消费品的价格为\(p_c=2\)元。
CT公司考虑一箱措施帮助有孩子的员工，以达到增加员工福利和延长员工工作时间的目的。公司需要在以下三项措施之间进行选择：
第一项措施：给有三岁以下孩子的员工每周\(g=400\)元的额外补贴。
第二项措施：公司给员工买的每小时托幼服务时间支付4元补贴。
第三项措施：公司在办公楼开办托儿所。开办成本为每小时每个孩子23元，公司向每个孩子征收托幼费每小时18元。如果选择公司托儿所，小梁每周能节约4小时接送孩子的时间。
假设增加的托幼服务和节约的接送时间都用于加班(托幼服务四舍五入到整数)，同时假设小梁跟采用其他措施相比较多出来的每小时加班时间，大致等于自己的该选择的最优消费品数列增加10单位，同时给公司增加10元的收入。
亲根据上述情况回答以下问题：
1)这三项措施下，小梁的最优消费水平和购买的托幼服务时间分别是多少？
2)从小梁的角度，这三项措施哪种更好？为什么？
3)从公司运营成本的角度，这三种措施哪种更好？为什么？
假如由于突发事件的冲击，公司必须要对托幼机构加强监管，每小时托幼成本提高1元，同时为了避免员工抱怨，托幼费用不能提高。
4)此种情况下，公司的选择会有所变化吗？为什么？
5）这个事件冲击的结果，会给员工带来多大的影响呢？(可直接列出公式，不用计算出结果)
solution
1)员工的最优选择
员工效用最大化
\[\max : u(c, d)=c^{3} d\] \[s t: p_{c} \cdot c+p_{d} \cdot d=m\]
拉格朗日函数： \(L=c^{3} d+\lambda\left[m-p_{c} \cdot c-p_{d} \cdot d\right]\)
\[ \text { Focs: }\left\{\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial C} &=3 c^{2} d-\lambda P_{c}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial d} &=c^{3}-\lambda P_d=0 \end{aligned}\right. \]
解得： \(\left\{\begin{array}{l}c=\frac{3 m}{4 p_{c}} \\ d=\frac{m}{4 p_{d}}\end{array}\right.\)
当\(\left(P_{c}, P_{d}, m\right)=(2,24,2000)\)时 \(c=750 , \quad d=\frac{125}{6} \doteq 21\)
2)补贴下的最优选择
a.每周补贴400元
由于 \(\left(p_{c} . p_{d}, m^{\prime}\right)=(2,24,2400)\)
\(c=900 , \quad d=25\) 托幼时间增加4小时，增c增加40，公司增加40元收入，则 \(c=940, \quad d=25\)
\(T_{1}=360\)
b.对托幼服务补贴4元 \(\left(p_{c}, p_{d}^{\prime}, m\right)=(2,20,2000)\) 则 \(c=750, d=25\)， 托幼时间增加4小时，增c增加40，公司增加40元收入，则 \(c=790, \quad d=25\)
公司成本： \(T_{2}=60\)
c.开办托儿所，成本为23元/h,收费18元/h 由于 \(\left(p_{c}, p_{d}^{\prime \prime}, m\right)=(2,18,2000)\) 则 \(c=750, d=28\) 托幼时间增加7小时，增c增加110，公司增加110元收入，则 \(c=860, \quad d=28\)
公司成本： \(T_{3}=30\)
d.开办托儿所，成本24元/h,收费18元/h \(c=860 \quad d=28\)
公司成本 \(T_{4}=58\)
3)公司的最优选择以及对员工的影响
a.无论是托儿所的成本是23还是24，公司都开办托儿所且收费不变，则对员工没有影响
b.对员工而言，三种方式的效用分别为：
\(U_{1}=940^{3} \cdot 25\)
\(U_{2}=190^{3} \cdot 25\)
\(U_{3}=860^{3} \cdot 28\)
则 \(U_{1}>U_{3}>U_{2}\)，更加青睐现金补贴
note：现金补贴最大程度拓展了预算约束。 托儿所与价格补贴类似，不过节约的接送时间进一步增阿基了效用，当托儿所成本为24时，相当于公司给于6元补贴，所以仍然会选择公司开办的托儿所，而不是4元的价格补贴。
2.生产函数为 \(Q=a A^{\frac{1}{2}} B^{\frac{1}{2}} C^{\frac{1}{4}}, P_{A}=1, P_{B}=9 . P_{C}=8\)
1)求长期总成本函数，平均成本函数，边际成本函数
2)若短期C为固定要素，求短期总成本函数、平均成本函数、边际成本函数和平均可变成本函数。
3)证明：
LTC是STC的包络线
LAC是SAC的包络线
solution：
1)长期成本分析：
成本最小化：
\(\begin{aligned} \min : & L T C=P_{A} \cdot A+P_{B} \cdot B+P_{C} \cdot C \\ \text { st: } & Q=a A^{\alpha} B^{\beta} C^{\gamma} \end{aligned}\)
拉格朗日函数： \(L=P_{A} \cdot A+P_{B} \cdot B+P_{c} \cdot C+\lambda\left[Q-a A^{\alpha} B^{\beta} C^{\gamma}\right]\)
Focs: \[ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial A} &=P_{A}-\lambda a \alpha A^{\alpha-1} B^{\beta} C^{\gamma}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial B} &=P_{B}-\lambda a \beta A^{\alpha} B^{\beta-1} C^{\gamma}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial C} &=P_{c}-\lambda a \gamma A^{\alpha} B^{\beta} C^{\gamma-1}=0 \end{aligned} \]
解得： \(L T C=\frac{5}{2}\left(\frac{6 Q}{a}\right)^{\frac{4}{5}}\) \(L A C=\frac{L T C}{Q}=\frac{5}{2}\left(\frac{6}{a}\right)^{\frac{4}{5}} \cdot Q^{-\frac{1}{5}}\) \(L M C=\frac{d L T C}{d Q}=2\left(\frac{6}{a}\right)^{\frac{4}{5}} \alpha^{-\frac{1}{5}}\)
2)短期成本最小化：
\(\begin{aligned} \min : & S T C=P_{A} \cdot A+P_{B} \cdot B+P_{c} \cdot \bar{C} \\ \text { st: } & Q=a A^{\alpha} B^{\beta} \bar{C}^{\gamma} \end{aligned}\)
拉格朗日函数： \(\mathcal{L}=P_{A} \cdot A+P_{B} \cdot B+P_{c} \cdot \bar{C}+\lambda\left[Q-a A^{\alpha} B^{\beta} \bar{C}^{\gamma}\right]\)
Focs: \(\left\{\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial A} &=P_{A}-\lambda a \alpha A^{\alpha-1} \beta^{\beta} \bar{C}^{\gamma}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial B} &=\rho_{B}-\lambda a \beta A^{\alpha} B^{\beta-1} \bar{c}^{\gamma}=0 \end{aligned}\right.\)
解得： \(S T C=P_{c} \cdot \bar{c}+(\alpha+\beta)\left[\alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} P_{A}^{\alpha} P_{B}^{\beta} \frac{\alpha}{a \bar{c}^{\gamma}}\right]^{\frac{1}{\alpha+\beta}}\)
可以套用第一问的公式
\(Q=a \cdot \bar{c}^{\gamma} A^{\alpha} \beta^{\beta}\)
\(=a^{\prime} A^{\alpha} B^{\beta}\)
\(\Rightarrow \quad S T C=(\alpha+\beta)\left[\frac{Q}{a^{\prime}} \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} P_{A}^{\alpha} P_{B}^{\beta}\right]^\frac{1}{\alpha+\beta}+FC\)
其中 \(F C=P_{c} \cdot \bar{C}\)
带入得: \(S T C=\frac{6}{a} \bar{c}^{-\frac{1}{4}} Q+8 \bar{c}\)
\(S A C=\frac{6}{a} \bar{c}^{-\frac{1}{4}}+\frac{8 \bar{c}}{Q}\)
\(\operatorname{SMC}=\frac{6}{a} \bar{c}^{-\frac{1}{4}}\)
\(S A V C=\frac{6}{a} \bar{c}^{-\frac{1}{4}}\)
令 \(\frac{d S T C}{d \bar{C}}=8-\frac{3}{2} \cdot \frac{Q}{a} \cdot \bar{c}^{-\frac{5}{4}}=0\)
求出 \(\bar{c}^{*}=\left(\frac{3 Q}{16 a}\right)^{\frac{4}{5}}\) 带入STC得： \(\operatorname{STC}\left(\bar{c}^{*}\right)=\frac{5}{2}\left(\frac{6\alpha}{a}\right)^{\frac{4}{5}}=L T C\)
b.LAC是SAC的包络线
令 \(\frac{d S A C}{d \bar{C}}=\frac{8}{\alpha}-\frac{3}{L a} \bar{C}^{-\frac{5}{4}}=0\) 得 \(\bar{c}^{* *}=\left(\frac{3{\alpha}}{16 a}\right)^{\frac{4}{5}}\) 带入得：
\(\operatorname{SAC}\left(\bar{c}^{* *}\right)=\frac{5}{2}\left(\frac{6}{a}\right)^{\frac{4}{5}} Q^{-\frac{1}{5}}=L A C\)
思考：为何\(\bar{c}^{* *}=\bar{c}^{*}\)？？