1.新冠疫情下，经济下滑，为了刺激消费，各地出台一系列的措施。假设 \(u(x, y)=\ln x+\ln y, \quad p_{x}=p_{y}=1, \quad m=100\)
1)A市发放价值100元的\(x\)商品消费券，写出新的预算约束并求最优选择。
2)B市发放100元现金，写出新的预算约束并求最优选择。
3)C市对x商品给于50%的价格优惠，写出新的预算约束并求最优选择。
4)D市对前50单位的x商品给于50%的价格优惠，写出新的预算约束并求最优选择。
solution：
1)无任何补贴下的最优化选择
效用最大化 \[\max u(x, y)=\ln x+\ln y\] \[st: \quad p_{x} \cdot x+p_{y} \cdot y \leq m\]
构建拉格朗日函数：
\(L=\ln x+\ln y+\lambda\left(m-p_{x} \cdot x-p_{y} \cdot y\right)\)
Focs: \(\quad \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x}-\lambda \cdot p_{x}=0\) \(\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}-\lambda \cdot p_{y}=0\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{2 p x} \\ y=\frac{m}{2 p y}\end{array}\right.\)
当\(p_{x}=p_{y}=1, \quad m=100\)时，\(\left\{\begin{array}{l}x=50 \\ y=50\end{array}\right.\)
2)补贴价值100元的x商品券
预算线约束：
\(\left\{\begin{array}{l}y=100(0 \leq x<100) \\ x+y=200\end{array}(100 \leq x \leq 200)\right.\)
效用最大化
\[\max : u(x, y)=\ln x+\ln y\] \[st: \quad x+y \leq 200\]
(带入检验法) 解得： \(x=100, \quad y=100\)满足条件。即最优消费位于\(A(100,100)\)
3)100元的现金补贴
预算约束线： \(x+y=200\)
最优的选择仍旧是 \(A(100,100)\)
*与商品券相比较： 1)预算集扩大：选择范围更广
2)虽不影响 \(u(x, y)=\ln x+\ln y\)的选择
但影响\(u(x, y)=\ln x+2 \ln y\)等的选择
3)相比较于等量的商品券，现金补贴更优，给于了消费者更多的选择空间。
4）总体折扣
预算线约束： \(\frac{1}{2} x+y=100\)
由于 \(p_{x}=p_{y}=1, \quad m=100\)
最优选择为 \((x, y)=(100,50)\)
5)部分折扣
预算线约束：
\(\left\{\begin{array}{r}\frac{1}{2} x+y=100(0 \leq x-50) \\ x+y=125\end{array}(50 \leq x \leq 100)\right.\)
最优选择
当\(p_{x}=\frac{1}{2}, \quad p_{y}=1, \quad m=100\)时，\(\left\{\begin{array}{l}x=100>50 \\ y=50\end{array}\right.\)不符合
当\(p_{x}=p_{y}=1, \quad m=125\)时，\(\left\{\begin{array}{l}x=62.5 \\ y=62.5\end{array}\right.\)符合
综上，最优选择为 \((x, y)=(62.5,62.5)\)
2.生产函数为 \(Y=\left[A K^{\rho}+B L^{\rho}\right]^{\frac{1}{\rho}}\),K与L的价格分别为r,w，短期资本固定为\(\overset{-}{k}\),长期可变(\(\rho\leq 1\)且\(\rho \neq 0\)).
1)求短期总成本函数
2)求长期总成本函数
3)证明：长期总成本函数是短期成本函数的包络线
solution：
成本最小化：
\[\min \quad S C=w L+\gamma \bar{k}\]
\[st : \quad y=\left[A \bar{K}^{\rho}+B L^{\rho}\right]^{\frac{1}{\rho}}\]
解得短期成本函数为\(SC=wB^{-{\rho}}\left[A \bar{K}^{\rho}-y^{\rho}\right]^{\frac{1}{\rho}}+r \bar{K}\)
1)SC分为两个部分，其中固定成本为 \(\gamma \bar{K}\)，可变成本为\(w B^{-\frac{1}{\rho}}\left[A \bar{K}^{\rho}-y^{\rho}\right]^{\frac{1}{\rho}}\) ，注意到 \(\bar{K}\)同时影响固定成本与可变成本，而不是仅仅影响固定成本。
2)\(\bar{k}\)通过影响\(k / L\)的比例来影响刻板成本部分。
2)长期成本函数
成本最小化：
min: \[L C=wL + \gamma k\]
st \[: \quad y=\left[A k^{p}+B L^{\rho}\right]^{\frac{1}{\rho}}\]
构建拉格朗日函数：
\(L=w L+r k+\lambda\left[y-\left(A k^{\rho}+B L^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}\right]\)
Focs: \(\quad \frac{\partial f}{\partial L}=w-\lambda\left(A k^{\rho}+B L^{\rho)^{\frac{1}{\rho}}} \cdot \frac{1}{\rho} \cdot B \rho L^{\rho-1}=0\right.\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k}=r-\lambda\left(A K^{\rho}+B L^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}} \cdot \frac{1}{\rho} A \rho k^{\rho-1}=0\)
解得：\(L C=\left[A^{\frac{1}{1-\rho}} r^{\frac{\rho}{\rho-1}}+B^{\frac{1}{1-\rho}} w^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right]^{\frac{\rho-1}{\rho}} \cdot y\)
3)LC是SC的包络线
令\(\frac{\partial S C}{\partial \bar{k}}=\frac{\partial\left[W B^{-\frac{1}{\rho}}\left[A \bar{k}^{\rho}-y^{p}\right]^{\frac{1}{\rho}}+r \bar{k}\right]}{\partial \bar{k}}=0\)
求出 \(k^{*}\)，并带入到SC得：
\(\begin{aligned}\left.\operatorname{sc}( k^{*}\right) &\left.=\left[A^{\frac{1}{1-\rho}} r^{\frac{\rho}{\rho-1}}+B^{\frac{1}{1- \rho}} w^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right]^{\frac{\rho-1}{\rho}} \cdot y\right) \\ &=L C \end{aligned}\)
所以长期成本是短期成本的下包络线。