Caso 16. Distribuciones binomiales
Maximo Josue Cruz Carreon
13/5/2021
1 Objetivo
Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.
2 Descripción
Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.
3 Fundamento teórico
El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)
Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:
El experimento consiste en \(n\) intentos idénticos.
Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S,’ y el otro se llama fracaso, ‘F.’
La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a \(p\) y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a \(q= (1 - p)\)
Los intentos son independientes.
El interés es el valor de \(x\), o sea, el número de éxitos observado durante los \(n\) intentos, para \(x = 0, 1, 2, …, n.\) (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).
Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad \(p\) y un fracaso con probabilidad \(q=1−p\). Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial \(x\), el número de éxito en \(n\) ensayos independientes (Walpole, Myers, and Myers 2012): Fórmula:
\[ prob(x=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)} \]
Para
\[ x = 0,1,2,3...n \]
y recordando las combinaciones
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\]
El valor esperado está dado por:
\[ \mu = n \cdot p \]
La varianza y la desviación estándard se determinan mediante:
\[ \sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p) \]
y
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
library(dplyr)## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.0.4##
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## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
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## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.4library(mosaic) # Gráficos de distribuciones## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.5## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
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## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following object is masked from 'package:Matrix':
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## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sum4.2 Cargar funciones
Se carga función de servicio github o de manera local
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logit4.3 Ejercicios
4.3.1 Tienda de ropa MartinClothingStore
Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.
Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
Determinar el valor esperado y su significado
Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
Interpretar
4.3.1.1 Probabilidad para 0,1,2,3 y tabla de distribución
Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada
Inicializar valores
x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30- Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula
tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000- Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()
plotDist("binom", size=3, prob=.30) 
tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000con pbinom() en lugar de cumsum()
tabla3 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla3## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.0004.3.2 Visualizar tabla de distribución
plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) )) 
plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), kind = "histogram") 
4.3.2.1 Probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Identificar la probabilidad cuando \(P(x=2)\) de la tabla.
Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 2 es igual a : 0.189"Usando dbinom()
dbinom(x = 2, size = 3, prob = 0.30)## [1] 0.1894.3.2.2 Probabilidad de que compren los tres próximos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes
Identificar la probabilidad cuando \(P(x=3)\) de la tabla.
Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 3 0.027 1paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 3 es igual a : 0.027"Usando dbinom()
dbinom(x = 3, size = 3, prob = 0.30)## [1] 0.0274.3.2.3 Probabilidad de que sean menor o igual que dos
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos
Ahora usar la función acumulada por la pregunta
\(P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\)
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a 2 es igual a : 0.973"Usando pbinom()
pbinom(q = 2, size = 3, prob = 0.30)## [1] 0.9734.3.2.4 Probabilidad de que sean mayor que dos
La expresión lower.tail = FALSE como atributo de la función pbinom() significa encontrar en la tabla de distribución la sumatoria de las probabilidades a partir de el valor de \(x\), o lo que es lo mismo, \(1−prob.acum(x), 1−0.97=0.27\).
pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito, lower.tail = FALSE)## [1] 0.0274.3.2.5 Valor esperado
Determinar el valor esperado y su significado
- El valor esperado de la distribución binomial
\[ \mu = n \cdot p \]
Siendo \(p\) el éxito de la probabilidad * y \(n\) el número de experimentos
VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)## [1] "El valor esperado es: 0.9"4.3.2.6 Varianza y desviación estándar
Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado.
- La varianza en la distribución binomial
\[ \sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p) \]
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 0.63"La desviación
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 0.79"4.3.2.6.0.1 Nota
Los casos se analizarán junto al ejercicio hasta el final del caso
4.3.3 Jugador de basquetbol
Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):
Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)
Determinar la probabilidad de encestar al menor tres \(P.acum(x=3)\)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándard
Interpretar el ejercicio
4.3.3.1 Tabla de probabilidad (0-6)
Se construye la tabla de probabilidades tal y como se construye usando el código de tabla3
Se inicializan valores:
x <- 0:6
n <- 6
exito <- 0.55tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.008303766 0.008303766
## 2 1 0.060894281 0.069198047
## 3 2 0.186065859 0.255263906
## 4 3 0.303218437 0.558482344
## 5 4 0.277950234 0.836432578
## 6 5 0.135886781 0.972319359
## 7 6 0.027680641 1.0000000004.3.3.2 Visualización de probabilidades
Dos formas de visualizar las probabilidades
plotDist(dist = "binom", size=n, prob=exito,xlab = paste("Variables ",min(tabla$x),"-",max(tabla$x) )) 
plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")
4.3.3.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros
Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)
dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)## [1] 0.27795024.3.3.4 Probabilidad de encestar todos los tiros
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)
dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)## [1] 0.027680644.3.3.5 Probabilidad de encestar al menos tres
Usando la función pbinom()
pbinom(q = 3, size = n, prob = exito)## [1] 0.5584823o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada f.acum.x.
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.55848234.3.3.6 Valor esperado
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 3.3"El valor esperado de 3.3 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los \(n=6\) tiros.
Varianza y desviación
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 1.48"Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 1.22"De el valor esperado 3.3 hay una desviación aproximada de 1.2186058 hacia arriba o hacia abajo.
4.3.4 Aprobar un examen
Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del 60%. Se pide lo siguiente:
Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?
Determinar el valor esperado VE y su significado.
Determinar la varianza y su desviación estándar y su significado.
4.3.4.1 Tabla de distribución binomial
Se incializan valores
x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60Se construye la tabla
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 1.152922e-12 1.152922e-12
## 2 1 5.188147e-11 5.303439e-11
## 3 2 1.128422e-09 1.181456e-09
## 4 3 1.579791e-08 1.697936e-08
## 5 4 1.599538e-07 1.769332e-07
## 6 5 1.247640e-06 1.424573e-06
## 7 6 7.797748e-06 9.222321e-06
## 8 7 4.010270e-05 4.932503e-05
## 9 8 1.729429e-04 2.222679e-04
## 10 9 6.341240e-04 8.563920e-04
## 11 10 1.997491e-03 2.853883e-03
## 12 11 5.447702e-03 8.301584e-03
## 13 12 1.293829e-02 2.123988e-02
## 14 13 2.687184e-02 4.811171e-02
## 15 14 4.894513e-02 9.705684e-02
## 16 15 7.831221e-02 1.753691e-01
## 17 16 1.101265e-01 2.854956e-01
## 18 17 1.360387e-01 4.215343e-01
## 19 18 1.473752e-01 5.689095e-01
## 20 19 1.396186e-01 7.085281e-01
## 21 20 1.151854e-01 8.237135e-01
## 22 21 8.227527e-02 9.059888e-01
## 23 22 5.048710e-02 9.564759e-01
## 24 23 2.634109e-02 9.828170e-01
## 25 24 1.152423e-02 9.943412e-01
## 26 25 4.148722e-03 9.984899e-01
## 27 26 1.196747e-03 9.996867e-01
## 28 27 2.659437e-04 9.999526e-01
## 29 28 4.274096e-05 9.999954e-01
## 30 29 4.421478e-06 9.999998e-01
## 31 30 2.210739e-07 1.000000e+004.3.4.2 Visualizar la tabla de distribución
plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x,
type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")
4.3.4.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos
Se calcula la probabilidad de\(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)...+P(15)\)o la probabilidad acumulada cuando \(F(x=15)\)
prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilida de que aprueben 15 o menos es de ", prob)## [1] "La probabilida de que aprueben 15 o menos es de 0.175369053506829"4.3.4.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos
Se calcula la probabilidad acumulada de \(F(x=20) - F(x=10)\)
prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 10, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: 0.820859632648177"# Se comprueba sumando los valores
sum(tabla$f.prob.x[11:21])## [1] 0.82285714.3.4.5 Probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos
Se debe calcular \(P(x≥26)\) o restar del el valor acumulado de 25 a 1. \(1−F(x=26)\)
Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad.
prob <- pbinom(q = 25, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)## [1] "La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de 0.00151007406638281"# Se puede comprobar sumando los renglones 27 al 31 de la tabla
sum(tabla$f.prob.x[27:31])## [1] 0.001510074Valor esperado El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 18"4.3.4.6 Varianza y desviación
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 7.2"Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 2.68"La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio \(VE\) previamente calculado.
4.3.5 Autobuses contaminantes
Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal. De datos históricos se sabe que un 10% de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre 18 unidades (autobuses), asuma que el estado de un autobus es independiente del estado de los otros buses. (Hernández 2021).
Construir la tabla de distribución
Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta
Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.
Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4.
Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma
Calcular el valor esperado.
Calcular la varianza y la desviación.
Generar una muestra aleatoria de 100 valores y comparar las frecuencias relativas con las probabilidad originales.
Interpretar el caso.
4.3.5.1 Construir la tabla de distribución
Se inicializan variables
x <- 0:18
n <- 18
exito <- 0.10Se construye la tabla de distribución con dbimom() y dbinom().
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 1.500946e-01 0.1500946
## 2 1 3.001893e-01 0.4502839
## 3 2 2.835121e-01 0.7337960
## 4 3 1.680072e-01 0.9018032
## 5 4 7.000298e-02 0.9718061
## 6 5 2.177871e-02 0.9935848
## 7 6 5.243022e-03 0.9988279
## 8 7 9.986708e-04 0.9998265
## 9 8 1.525747e-04 0.9999791
## 10 9 1.883638e-05 0.9999980
## 11 10 1.883638e-06 0.9999998
## 12 11 1.522132e-07 1.0000000
## 13 12 9.865671e-09 1.0000000
## 14 13 5.059318e-10 1.0000000
## 15 14 2.007666e-11 1.0000000
## 16 15 5.948640e-13 1.0000000
## 17 16 1.239300e-14 1.0000000
## 18 17 1.620000e-16 1.0000000
## 19 18 1.000000e-18 1.00000004.3.5.2 Visualizar probabilidades
Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la función plot()
plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x,
type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")
4.3.5.3 Probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses
x <- 2
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : 0.283512088894332"4.3.5.4 Probabilidad de menos de cuatro autobuses
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro. \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)\) o lo que es lo mismo \(P(x≤4)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=4)\).
x <- 4
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: 0.971806143486743"4.3.5.5 Probabilidad de MAS de tres autobuses
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho. \(P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)...+...P(x=18)\) o lo que es lo mismo \(P(x≥3)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=18)−F(x=4)\).
x1 <- 4
x2 <- 18
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: 0.0281938565132567"Se puede encontrar usando la expresión lower.tail = FALSE
pbinom(q = 4, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)## [1] 0.028193864.3.5.6 Valor esperado
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 1.8"El valor esperado de 1.8 significa el valor medio de camiones que se pueden encontrar que contaminan
4.3.5.7 Varianza y desviación
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 1.62"Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 1.27"La varianza y de manera más específica la desviación significa que tanto varía (se aleja o se acerca) con respeto al valor medio o valor esperado \(VE\) el número de autobuses con probabilidad de encontrarse con partículas contaminantes.
Valores aleatorios
Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.
El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones.
n.muestra <- 100
muestra <- rbinom(n = n.muestra, size = n, prob = exito)
muestra## [1] 1 0 4 2 0 1 4 3 3 4 3 1 3 1 5 0 2 1 2 2 0 4 1 3 1 3 2 2 0 3 5 3 4 5 3 2 1
## [38] 1 2 2 0 1 2 1 1 3 1 2 0 2 2 1 1 6 3 5 5 2 1 0 4 2 1 0 1 1 0 1 3 1 2 1 2 2
## [75] 1 2 3 4 3 1 5 0 4 0 1 5 1 0 6 2 1 3 1 1 2 1 3 2 0 4Calculando frecuencias relativas
Con la función table() se determina la frecuencia y con prop.table() se encuentra la frecuencia relativa.
table(muestra)## muestra
## 0 1 2 3 4 5 6
## 14 30 22 16 9 7 2data.frame(prob = prop.table(table(muestra)))## prob.muestra prob.Freq
## 1 0 0.14
## 2 1 0.30
## 3 2 0.22
## 4 3 0.16
## 5 4 0.09
## 6 5 0.07
## 7 6 0.02Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos.
5 Interpretación del caso
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.
5.1 Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:
En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
Como se podrá notar, se realizó el análisis en base a los ejercicios (casos) analizados durante la clase junto al profesor, en esta parte se hablarán de los valores utilizados obtenidos durante cada ejercicio
En en el caso de la compra de ropa, la probabilidad de éxito se refiere a que se compre una prenda y para saber si se van a comprar más prendas únicamente es necesario multiplicar la probabilidad de que sea exitoso el evento la cantidad de veces que sea necesario.
En el caso del jugador de basquetbol la probabilidad de que el evento sea exitoso se refiere a la posibilidad de que el jugador enceste una canasta la lo que se hace durante el ejercicio es encontrar la posibilidad de que ese evento suceda entre cero y seis veces.
Como siguiente punto, en el caso de que los exámenes, la probabilidad de éxito se refiere al chance de aprobar el examen y lo que se analiza es la posibilidad de que aprueben cierta cantidad de alumnos con un límite de 30.
Finalmente, en el caso de los autobuses contaminantes el caso de éxito no es algo positivo, sino un resultado que puede ser considerado dañino para la gente, el cual fue la probabilidad de que un camión genere mayor cantidad de humo de la permitida; así que sí, el caso de éxito no debe ser exclusivamente valores “buenos” sino un simplemente un valor esperado.
6 Referencias bibliográficas
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Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.