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問1

前提条件

# 自然数;n=3,4,5,6
n <- 3:6

# 受け取る確率
p_win <- 1/n

# 受取金額
value_win <- 0.6*n^3

# 負けた時の支払い金額;1000円
value_lose <- -1000

# 負ける確率
p_lose <- 1/20

# 初期資産額
w_0 <- 1000

# 賭けによる収益額;X円
X <- NULL

# 効用関数
utility_fun <- function(w) {w^(2/3)}

問題

1.収益額の期待値E[X]を求めよ．

 今回の離散型確率変数の期待値は、以下の式で求められる。

# 期待値の計算
expected_value <- sum(value_win * p_win) + value_lose * p_lose

\[ E[X] = \sum_{n=2}^6\frac{0.6n^3}{n} - \frac{1000}{20} \\ = \frac{0.6 \times 3 ^ 3}{3} + \frac{0.6 \times 4 ^ 3}{4} + \frac{0.6 \times 5 ^ 3}{5} + \frac{0.6 \times 6 ^ 3}{6} - \frac{1000}{20} \\ = 1.6 \]

2.賭けに参加しない場合の効用U(W0)を求めよ．

 賭けに参加しない場合の効用U(W0)は、以下の式で求められる。

# 効用U(W0)の計算
utility <- utility_fun(1000)

\[ U(W_0) = W_0^{2/3} \\ = 1000 ^ {2/3} \\ = 100 \]

3.賭けに参加した場合の期待効用E[U(W0+X)]を求めよ．

 賭けに参加した場合の期待効用\(E[U(W_0+X)]\)は、以下の式で求められる。

# 期待効用E[U(W0+X)]の計算
expected_utility <- sum(utility_fun(1000 + value_win) * p_win + utility_fun(1000 + value_lose) * p_lose)

\[ E[U(W_0 + X)] = E[(W_0 + X)^{2/3} ] \\ = \frac{(1000 + 0.6 \times 3^3)^{2/3}}{3} + \frac{(1000 + 0.6 \times 4^3)^{2/3}}{4} + \frac{(1000 + 0.6 \times 5^3)^{2/3}}{5} \\ + \frac{(1000 + 0.6 \times 6^3)^{2/3}}{6} + \frac{(1000 - 1000)^{2/3}}{20} \\ = 98.3934695 \\ \approx 98 \]

4.期待効用理論に基づく場合，この賭けには参加すべきであるか．

 期待効用理論に基づくと、\(E[U(W_0+X)]-E[U(W_0)] >0\)の場合、投資に参加すべきである。今回は、

\[ E[U(W_0+X)] - E[U(W_0)] \\ = 98 - 100 \quad < 0 \] となり、\(E[U(W_0+X)]-E[U(W_0)]<0\)となる。つまり、投資に参加する場合、期待値が投資に参加しなかった場合と比べ期待値が減少する為、投資に参加するべきではない。

# 賭けに参加すべきか
ifelse(expected_value - utility > 0, "賭けに参加すべき", "賭けに参加すべきでない")
## [1] "賭けに参加すべきでない"

5.確実性等価を求めよ．

 確実性等価は、以下の式で求められる。

\[ CE = U^{-1}(E[U(W_0 + X)]) - W_0 \] 今回の効用関数の逆関数は、\(U^{-1} = W^{3/2}\)となる為、問1.3より、

# 効用関数の逆関数を定義
utility_fun_inv <- function(w) {w^(3/2)}

# 確実性等価の計算
ce <- utility_fun_inv(expected_utility) - w_0

\[ CE = 98^{3/2} -1000\\ = -24.000912\\ \approx -24 \]

6.リスクプレミアムを求めよ．

 リスクプレミアムは、以下の式で求められる。

# リスクプレミアムの計算
pi <- expected_value - ce

\[ \pi = E[X] - CE \] 問1.1、問1.5より、

\[ \pi = 1.6 - (-24) \\ = 25.600912\\ \approx 26 \] となる。

7.この効用関数（をもつ経済主体）はリスク回避的であるか．

 この効用関数（をもつ経済主体）は、リスク回避的である。

 まず、リスク回避的であるとは、\(CE < E[X]\)、つまり、\(\pi > 0\)となるリスク選好の 事である。問1.6より、この経済主体は、\(\pi \approx 25.60\)である為、\(\pi > 0\)となり、 リスク回避的となる。

# リスク選好の計算
print(
  paste0("この経済主体のリスク選好は、",
      if (pi > 0) {
        "リスク回避的"
      } else if (pi == 0) {
        "リスク中立"
      } else {
        "危険愛好家"
      }, "である。")
)
## [1] "この経済主体のリスク選好は、リスク回避的である。"