Caso 15. Variables aleatorias continuas. Distribucion Uniforme
Guillermo Marin Ramirez
5/13/2021
1 Objetivo
Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad y probabilidades con la distribución de probabilidad uniforme
2 Descripción
Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme.
3 Fundamento teórico
Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.
En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad \(f(x)\) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.
En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota \(f(x)\).
Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.
La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de \(f(x)\) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1 Distribución de probabilidad uniforme
Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
La distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intérvalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, aa y bb, que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.
La distribución o modelo uniforme puede considerarse como proveniente de un proceso de extracción aleatoria .El planteamiento radica en el hecho de que la probabilidad se distribuye uniformemente a lo largo de un intérvalo . Así : dada una variable aleatoria continua, \(x\) , definida en el intervalo [a,b][a,b] de la recta real, se dice que \(x\) tiene una distribución uniforme en el intérvalo [a,b][a,b].
3.1.1 Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme
\(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &,\, \text{para }a\leq x \leq b ,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases}\)
La gráfica de esta función, conocida como curva o función de densidad, es un rectángulo, por ello la distribución uniforme continua se conoce también como distribución rectangular y es la más simple de las distribuciones continuas.(lifeder, n.d.)
Función de densidad distribución uniforme [@lifeder]
3.1.2 Función de probabilidad F(x)
Para calcular probabilidades se puede determinar a función de la distribución \(F(X)\) o lo que es lo mismo la Función Acumulada de probabilidad de la distribución uniforme con la siguiente fórmula:
\(F(x) = \begin{cases}0; \text{ para }x \le a \\\frac{x-a}{b-a} \text{ para } a\le x \le b \\1 ; \text{ para } x >b \end{cases}\)
La probabilidad únicamente depende del valor de \((x−a)\)
En donde:
\(F(x)\)es la función de distribución o función de probabilidad acumulada
\(x\) es la variable aleatoria uniforme
\(a\) y \(b\) son los valores del intérvalo mínimo y máximo respectivamente.
O se puede determinar las probabilidades en los siguientes ejercicios calculando el área bajo el rectángulo en R haciendo las operaciones siguientes:
\(prob=(b−a)×f.dens(x)\)
siempre y cuando se haya determinado el valor de la densidad f.dens
o utilizar la función dunif() para calcular la densidad del área
\(prob=(b−a)×dunif(x=a:b,min=min,max=max)\)
(R CODER, n.d.)
o bien por medio de la función punif() que calcula y encuentra la probabilidad acumulada \(\frac{x-a}{b-a}\)
\(prob=punif(q=vector de valores,min=min.intervalo,max=max.intervalo)\)
3.1.3 Valor Esperado
El cálculo del valor esperado y de la varianza de una variable aleatoria continua es análogo al de una variable aleatoria discreta. Sin embargo, como en este caso interviene el cálculo integral la deducción de estas fórmulas queda fuera de los ejercicios de este caso.
\(E(x) = \frac{(a+b)}{2}\)
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
- Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(knitr)
options(scipen = 999) # Notación normalCargar funciones de las cuales interesa una función para visualizar gráficas de distribuciones uniformes plotunif().
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")4.2 Solución de ejercicios
Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.
4.2.1 Vuelo de un avión
Considere una variable aleatoria \(x\) que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Dado que la variable aleatoria \(x\) toma cualquier valor en este intervalo, \(x\) es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.
Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos.
Imagen. Probabilidad de vuelo. Distribución uniforme. [@anderson_estadistica_2008]
Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria \(x\) tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
4.2.1.1 Función de densidad
La función de densidad de la distribución uniforme se calcula mediante al fórmula y ésta como tal no da la probabilidad, pero sirve para obtener la probabilidad determinando el área bajo la curva.
Tratándose de una distribución uniforme el área bajo la curva es la parte proporcional del rectángulo.
La variable f.dens es la función de densidad.
a.min <- 120
b.max <- 140
f.dens <- 1 / (b.max -a.min)\(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{140-120}=\frac{1}{20} &,\, \text{para }120\leq x \leq 140,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases}\)
Se muestra el área bajo la curva usando geom_area() en la función ggplot() en programamión R.
Se utiliza las variables a.min y b.max como coordenadas de x y la altura que es la probabilidad previamente calculada para presentar el área.
altura <- f.dens
x <- c(a.min, b.max)
y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)
ggplot(data = datos, aes(x,y )) +
geom_area(fill = "lightblue") +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
4.2.1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?
¿cuál es \(P(120≤x≤130)?\)
La \(P(120≤x≤130)=0.50\)
4.2.1.2.1 Gráfica del área bajo el rectángulo con plotunif() y unif_area()
Densidad 120-140
plotunif(min = 120, max = 140, lwd = 2, col = 4, main = "Función de densidad")
unif_area(min = 120, max = 140, lb = 120, ub = 130,main = paste('f(x)=',f.dens))
4.2.1.2.2 Solución aritmética
Para encontrar la probabilidad de vuelo entre 130 y 120 es encontrar el área bajo la curva (el rectángulo en la distribución uniforme).
Si el área total de manera uniforme en un intérvalo de 120 a 140 es es 0.05, entonces en un intérvalo de 120 a 130 es la mitad del área.
La variable altura es igual al valor de la función de densidad en la distribución uniforme, las variables a y b son los valores del nuevo intérvalo que por supuesto están dentro del intérvalo original de 120 y 140.
Esta área es rectangular y el área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a \(130−120=10\) y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad
\(f(x)=1/20=0.05\)
, se tiene,
\(área=ancho×alto\)
entonces,
\(10 \times (\frac{1}{20}) = 10 \times 0.05 = .50\)
a <- 120
b <- 130
prob.x <- (b-a) * f.dens
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos es del: 50 %"4.2.1.2.3 Solución por medio de la función de densidad dunif()
Da el mismo resultado que usando la solución aritmética encontrando el área del rectángulo correspondiente.
prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
prob.x## [1] 0.54.2.1.2.4 Solución por medio de la función de probabilidad punif()
Significa las probabilidad de que el vuelo tarde menos que \(130\) minutos o lo que es lo mismo que esté entre \(120\) y \(130\) minutos
punif(q = 130, min = 120, max = 140) - punif(q = 120, min = 120, max = 140)## [1] 0.54.2.1.3 ¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?
¿cuál es \(P(128≤x≤136)?\)
La \(P(128≤x≤136)=0.40\)
4.2.1.3.1 Solución aritmética
a <- 128
b <- 136
prob.x <- altura * (b-a)
prob.x## [1] 0.4paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 128 y 136 minutos es del: 40 %"altura <- f.dens
x <- c(128, 136)
y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)
ggplot(data = datos) +
geom_area(mapping = aes(x = x, y = y), fill = "lightblue") +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
4.2.1.3.2 Solución por medio de la función de densidad dunif()
Debe dar el mismo resultado
prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
prob.x## [1] 0.44.2.1.3.3 Solución por medio de la función de probabilidad punif()
Se muestran todas las probabilidades acumuladas desde 120 a 140 bajo la distribución uniforme.
distribucion <- data.frame(x=120:140, prob.acum = punif(q = 120:140, min = 120, max = 140))
distribucion## x prob.acum
## 1 120 0.00
## 2 121 0.05
## 3 122 0.10
## 4 123 0.15
## 5 124 0.20
## 6 125 0.25
## 7 126 0.30
## 8 127 0.35
## 9 128 0.40
## 10 129 0.45
## 11 130 0.50
## 12 131 0.55
## 13 132 0.60
## 14 133 0.65
## 15 134 0.70
## 16 135 0.75
## 17 136 0.80
## 18 137 0.85
## 19 138 0.90
## 20 139 0.95
## 21 140 1.00punif() determina la probabilidad acumulada, entonces de la probabilidad acumulada hasta 136 se le resta la probabilidad acumulada hasta 128 y con ello la diferencia es la probabilidad entre 128 y 136.
ggplot(data = distribucion, mapping = aes(x = x, y = prob.acum)) +
geom_line()
de 128 a 136
unif_area(min = 120, max = 140, lb = 128, ub = 136,main = paste('f(x)=',f.dens))
punif(q = 136, min = 120, max = 140) - punif(q = 128, min = 120, max = 140)## [1] 0.4\(prob = \frac{x=136-a}{b-a} - \frac{x=128-a}{b-a}\)
prob <- (136-120)/(140-120) - (128-120)/(140-120)
prob## [1] 0.44.2.1.4 Valor esperado
\(E(x) = \frac{(120+ 140)}{2}=130\)
VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 130"- El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.
4.2.1.5 Varianza
\(Var(x) = \frac{(140-120)^2}{12}=33.33\)
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 33.33"4.2.1.6 Desviación
\(\alpha = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{33.33} = 5.77\)
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 5.77 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 130"4.2.1.6.1 Interpretración del ejercicio
En este caso observamos el primer problema acerca del tema de variables aleatorias continuas y distribucion uniforme y como era de esperarse este tema esta ligado a los que hemos visto anteriormente los cuales son la varianza, desviacion y la distribucion de probabilidad y aqui en este caso en especifico podemos ver como es que se interpreta, como vemos que dice que es un vuelo a nueva york y se dice que es una variable continua y no aleatoria, luego se calcula la distribucion de probabilidad uniforme, la varianza y la desviacion con sus respectivas formulas.
4.2.2 Caso de Licitaciones
Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).(Aqueronte 2009)
Se determina lo siguiente:
Función de densidad
¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?
¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?
¿Cuál es el valor esperado?
¿Cuál es la varianza?
¿Cuál es la desviación estándard?
4.2.2.1 Función de densidad
a.min <- 20
b.max <- 25
f.dens <- 1 / (b.max - a.min)
f.dens## [1] 0.2\(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{25-20}=\frac{1}{5} &,\, \text{para }20\leq x \leq 25,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases}\)
4.2.2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?
¿\(P(22≤x≤24)\)?
La \(P(22≤x≤24)=0.40\)
4.2.2.2.1 Solución aritmética
a <- 22
b <- 24
p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 es del: 40 %"4.2.2.2.2 Solución por medio de la función de densidad punif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.44.2.2.3 Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
4.2.2.3.1 Solución aritmética
a <- 20
b <- 22
p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares) es del: 40 %"4.2.2.4 Probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)
a <- 24
b <- 25
p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que rebase a ", a , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que rebase a 24 (mil dólares) es del: 20 %"Valor esperado
VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 22.5"VARIANZA
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 2.08"Desviacion
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 1.44 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 22.5"4.2.3 Taxis en Durango
En la zona centro de la ciudad de Durango, México el tiempo de espera para tomar un taxi es de 0 a 15 minutos.
Valor mínimo es 0
Valor máximo es de 15
4.2.3.1 Función de densidad
f.dens <- dunif(0, min = 0, max = 15)
f.dens## [1] 0.066666674.2.3.2 ¿Cuál es la probabilidad de tomar un taxi en menos de 5 minutos?
unif_area(min = 0, max = 15, lb = 0, ub = 5,main = paste('f(x)=',f.dens), acolor = "lightblue")
4.2.3.2.1 Solución aritmética
a <- 0
b <- 5
prob <- (b-a) * f.dens
prob## [1] 0.33333334.2.3.2.4 Solución F(x)
x <- 5
a <- 0
b <- 15
prob <- (x-a)/(b-a)
prob## [1] 0.33333334.2.4 Compañía de luz
Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltajes uniformemente distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.
4.2.4.1 ¿Cual es el valor de la función de densidad?
a <- 123
b <- 125
1 / (b-a)## [1] 0.5f.dens <- dunif(123, min = 123, max = 125)
f.dens## [1] 0.54.2.4.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía envíe un voltaje menor a 123.5 V?
unif_area(min = 123, max = 125, lb = 123, ub = 123.5,main = paste('f(123 <= x <= 125) = ? y F(x<123.5) = ?' ), acolor = "lightblue")
4.2.4.2.1 Solución aritmética calculando el área con dunif()
b <- 123.5
a <- 123
prob <- (b-a) * f.dens
prob## [1] 0.254.2.4.2.2 Solución con punif()
Se muestra la tabla de distribución con la probabilidad acumulada con valores de variables aleatorias generados por una secuencia a con valor inicial de \(123\) con saltos de 0.1 en 0.1 hasta llegar a un valor de \(125\).
variables <- seq(from=123, to=125, by=0.1)
tabla <- data.frame(variables, prob.acum = punif(q = variables, min = 123, max = 125))
tabla## variables prob.acum
## 1 123.0 0.00
## 2 123.1 0.05
## 3 123.2 0.10
## 4 123.3 0.15
## 5 123.4 0.20
## 6 123.5 0.25
## 7 123.6 0.30
## 8 123.7 0.35
## 9 123.8 0.40
## 10 123.9 0.45
## 11 124.0 0.50
## 12 124.1 0.55
## 13 124.2 0.60
## 14 124.3 0.65
## 15 124.4 0.70
## 16 124.5 0.75
## 17 124.6 0.80
## 18 124.7 0.85
## 19 124.8 0.90
## 20 124.9 0.95
## 21 125.0 1.00prob <- punif(q = 123.5, min = 123, max = 125) - punif(q = 123, min = 123, max = 125)
prob## [1] 0.254.2.4.3 ¿Cuál es el valor esperado?
VE <- (a + b) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 123.25"4.2.4.4 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándard de la distribución?
varianza.x <- (b - a)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 0.02"ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 0.14 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 123.25"5 Interpretación de los ejercicios
Primero que nada podemos ver que seguimos viendo el tema de variable aleatoria continuas, que son diferentes a las discontinuas, y para las cuales vemos cuatro diferentes casos en los cuales aplicamos formulas y razonamientos logicos de la probabilidad estadistica los cuales se muestran a continuacion:
Para la distribucion de probabilidad uniforme:
\(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &,\, \text{para }a\leq x \leq b ,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases}\)
Y el valor esperado
\(E(x) = \frac{(a+b)}{2}\)
Las cuales se podria decir que es lo nuevo que aprendimos en este caso, ya que lo demas que sacaremos ya lo hemos visto en anteriores casos como lo es la varianza y la desviacion estandar, hablando acerca de los ejercicios el primero fue el mas largo y tedioso ya que se hace por diferentes metodos y tiene bastantes preguntas a realizar, el segundo de las licitaciones ya esta un poco mas calmado ya que solo nos pregunta la probabilidad de que sea menor a 22 mil y se encuentre entre 22y 24 lo cual llevaremos a cabo con las formulas adquiridas en el fundamento teorico visto al principio. En el ejercicio de los taxis de durango que ya esta bastante corto tenemos como valor maximo el 15 y minimo el 0 ya que nos dice que es lo que se tarda en esperar a un taxi, y se dice que es continuo ya que va de forma lineal y no tiene variaciones. Y por ultimo en el de la luz es lo mismo solo que tomamos otros valores de maximo y minimo, aplicamos las formulas para sacar los valores y es todo lo que se hace, esto se ve sencillo ya que al utilizar este software no ayuda a determinar de una manera mas rapida los resuntados de las operaciones, cosa que en la libreta seria algo mas complicado, laborioso y tedioso.
En conclusion la probabilidad se puede ver reflejada en muchos aspectos de la vida cotidiana como se presenta en los ejercicios de este caso, y hablando mas especificamente de la probabilidad de una variable aleatoria continua.
Referencias bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Aqueronte. 2009. “R: Distribución Uniforme. R: Distribución Uniforme.” 2009. http://unbarquero.blogspot.com/2009/05/r-distribucion-uniforme.html.
lifeder. n.d. “Distribución Uniforme Continua: Características, Ejemplos, Aplicaciones.” https://www.lifeder.com/distribucion-uniforme-continua/.
R CODER. n.d. “Distribución Uniforme Continua En r.” https://r-coder.com/distribucion-uniforme-r/#:~:text=Distribuci%C3%B3n%20uniforme%20continua%20en%20R&text=La%20distribuci%C3%B3n%20uniforme%20es%20una,distribuci%C3%B3n%20acumulan%20la%20misma%20probabilidad.