Caso 15: Variables aleatorias continuas. Distribución Uniforme.

1 Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad y probabilidades con la distribución de probabilidad uniforme.

2 Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme.

3 Desarrollo

3.1 Cargar librerías

• Posiblemente se utilicen algunas de ellas

library(ggplot2)
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

Cargar funciones de las cuales interesa una función para visualizar gráficas de distribuciones uniformes plotunif().

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")

3.2 Solución de ejercicios

Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

3.2.1 Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria xx que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Dado que la variable aleatoria xx toma cualquier valor en este intervalo, xx es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos.

include_graphics("M:/Documentos/1111 Tareas y Trabajos ITD 1111/4to semestre/Probabilidad y Estadistica/Imagenes/probabilidad-de-vuelo.jpg")

Imagen. Probabilidad de vuelo. Distribución uniforme. [@anderson_estadistica_2008]

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria xx tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

3.2.1.1 Función de densidad

La función de densidad de la distribución uniforme se calcula mediante al fórmula y ésta como tal no da la probabilidad, pero sirve para obtener la probabilidad determinando el área bajo la curva.

Tratándose de una distribución uniforme el área bajo la curva es la parte proporcional del rectángulo.

La variable f.dens es la función de densidad.

a.min <- 120
b.max <- 140
f.dens <- 1 / (b.max -a.min)

\(f(x)=\{^{\frac{1}{140-120}=\frac{1}{20}}_{0}\), para \(^{120\le x\le 140}_{cualquier otro caso}\)

Se muestra el área bajo la curva usando geom_area() en la función ggplot() en programamión R.

Se utiliza las variables a.min y b.max como coordenadas de x y la altura que es la probabilidad previamente calculada para presentar el área.

altura <- f.dens
x <- c(a.min, b.max)
 y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos, aes(x,y )) +
  geom_area(fill = "lightblue") +
  xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

3.2.1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?

• ¿cuál es \(P(120≤x≤130)\)?

• La \(P(120≤x≤130)=0.50\)

3.2.1.2.1 Gráfica del área bajo el rectángulo con plotunif() y unif_area()

Densidad 120-140

plotunif(min = 120, max = 140, lwd = 2, col = 4, main = "Función de densidad")

Densidad 120-130

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 120, ub = 130,main = paste('f(x)=',f.dens))

3.2.1.2.2 Solución aritmética

Para encontrar la probabilidad de vuelo entre 130 y 120 es encontrar el área bajo la curva (el rectángulo en la distribución uniforme).

Si el área total de manera uniforme en un intérvalo de 120 a 140 es es 0.05, entonces en un intérvalo de 120 a 130 es la mitad del área.

La variable altura es igual al valor de la función de densidad en la distribución uniforme, las variables a y b son los valores del nuevo intérvalo que por supuesto están dentro del intérvalo original de 120 y 140.

Esta área es rectangular y el área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a \(130−120=10\) y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad

\(f(x)=1/20=0.05\)

Se tiene:

\(area=ancho×alto\)

Entonces:

\(10×(120)=10×0.05=.50\)

. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

include_graphics("M:/Documentos/1111 Tareas y Trabajos ITD 1111/4to semestre/Probabilidad y Estadistica/Imagenes/tiempo-vuelo-minutos.png")

a <- 120
b <- 130

prob.x <- (b-a) * f.dens 
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

3.2.1.2.3 Solución por medio de la función de densidad dunif()

Da el mismo resultado que usando la solución aritmética encontrando el área del rectángulo correspondiente.

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x

## [1] 0.5

3.2.1.2.4 Solución por medio de la función de probabilidad punif()

Significa las probabilidad de que el vuelo tarde menos que \(130\) minutos o lo que es lo mismo que esté entre \(120\) y \(130\) minutos

punif(q = 130, min = 120, max = 140) - punif(q = 120, min = 120, max = 140)

## [1] 0.5

o de conforme a la fórmula de la probabilidad acumulada.

\[ prob = \frac{x-a}{b-a} \]

prob <- (130 - 120) / (140-120)
prob

## [1] 0.5

3.2.1.3 ¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

• ¿cuál es \(P(128≤x≤136)\)?

• La \(P(128≤x≤136)=0.40\)

3.2.1.3.1 Solución aritmética

a <- 128
b <- 136

prob.x <- altura * (b-a)
prob.x

## [1] 0.4

paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

altura <- f.dens
x <- c(128, 136)
y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos) +
  geom_area(mapping = aes(x = x, y = y), fill = "lightblue") +
    xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

3.2.1.3.2 Solución por medio de la función de densidad dunif()

Debe dar el mismo resultado

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x

## [1] 0.4

3.2.1.3.3 Solución por medio de la función de probabilidad punif()

Se muestran todas las probabilidades acumuladas desde 120 a 140 bajo la distribución uniforme.

distribucion <- data.frame(x=120:140, prob.acum = punif(q = 120:140, min = 120, max = 140))
distribucion

##      x prob.acum
## 1  120      0.00
## 2  121      0.05
## 3  122      0.10
## 4  123      0.15
## 5  124      0.20
## 6  125      0.25
## 7  126      0.30
## 8  127      0.35
## 9  128      0.40
## 10 129      0.45
## 11 130      0.50
## 12 131      0.55
## 13 132      0.60
## 14 133      0.65
## 15 134      0.70
## 16 135      0.75
## 17 136      0.80
## 18 137      0.85
## 19 138      0.90
## 20 139      0.95
## 21 140      1.00

punif() determina la probabilidad acumulada, entonces de la probabilidad acumulada hasta 136 se le resta la probabilidad acumulada hasta 128 y con ello la diferencia es la probabilidad entre 128 y 136.

ggplot(data = distribucion, mapping = aes(x = x, y = prob.acum)) + 
  geom_line()

de 128 a 136

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 128, ub = 136,main = paste('f(x)=',f.dens))

con punif()

punif(q = 136, min = 120, max = 140) - punif(q = 128, min = 120, max = 140)

## [1] 0.4

\(prob=\frac{x=136−a}{b−a}−\frac{x=128−a}{b−a}\)

prob <- (136-120)/(140-120) - (128-120)/(140-120)
prob

## [1] 0.4

3.2.1.4 Valor esperado

\(E(x)=\frac{(120+140)}{2}=130\)

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado es de:  130"

• El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

3.2.1.5 Varianza

\(Var(x)=\frac{(140−120)^2}{12}=33.33\)

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))

## [1] "La varianza es:  33.33"

3.2.1.6 Desviación

\(α=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{33.33}=5.77\)

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)

## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

3.2.2 Caso de Licitaciones

Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).(Aqueronte 2009)

Se determina lo siguiente:

• Función de densidad

• ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?

• ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?

• ¿Cuál es el valor esperado?

• ¿Cuál es la varianza?

• ¿Cuál es la desviación estándard?

3.2.2.1 Función de densidad

a.min <- 20
b.max <- 25
f.dens <- 1 / (b.max - a.min)
f.dens

## [1] 0.2

\(f(x)=\{^{\frac{1}{25-20}=\frac{1}{5}}_{0}\), para \(^{20\le x\le 25}_{cualquier otro caso}\)

4.2.2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

• ¿\(P(22≤x≤24)\)?

• La \(P(22≤x≤24)=0.40\)

3.2.2.1.1 Solución aritmética

a <- 22
b <- 24

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  22  y  24  es del: 40 %"

3.2.2.1.2 Solución por medio de la función de densidad punif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x

## [1] 0.4

3.2.2.1.3 Solución con punif()

prob <- punif(q = 24, min = 20, max = 25) - punif(q = 22, min = 20, max = 25)
prob

## [1] 0.4

3.2.2.1.4 Solución con F(x)

a <- 20
b <- 25
prob <- (x=24-a) / (b-a) - (x=22-a) / (b-a)
prob

## [1] 0.4

3.2.2.2 Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?

3.2.2.2.1 Solución aritmética

a <- 20
b <- 22

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que sea inferior a  22  (mil dólares) es del:  40 %"

3.2.2.2.2 Solución por medio de la función de densidad dunif()

a <- 20
b <- 22

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x

## [1] 0.4

3.2.2.3 Probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)

3.2.2.3.1 Solución Aritmética

a <- 24
b <- 25

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  24  y  25  es del: 20 %"

3.2.2.3.2 Solución por función dunif()

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x

## [1] 0.2

3.2.2.3.3 Solución por función punif()

punif(q = 25, min = 20, max = 25) - punif(q = 24, min = 20, max = 25)

## [1] 0.2

3.2.2.3.4 Solución por F(x)

a <- 20
b <- 25

prob <- (x=25-a) / (b-a) - (x=24-a) / (b-a)
prob

## [1] 0.2

3.2.2.4 Valor esperado.

\(E(x)=\frac{(20+25)}{2}=22.5\)

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado es de:  22.5"

• El valor esperado es el costo medio de cada licitación (En miles de dólares).

3.2.2.5 Varianza.

\(Var(x)=\frac{(25−20)^2}{12}=2.0833333...\)

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))

## [1] "La varianza es:  2.08"

3.2.2.6 Desviación estándar.

\(α=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{2.083}=1.44337...\)

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)

## [1] "La desviación estándard es igual a :  1.44  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  22.5"

3.2.3 Taxis en Durango

En la zona centro de la ciudad de Durango, México el tiempo de espera para tomar un taxi es de 0 a 15 minutos.

• Valor mínimo es 0

• Valor máximo es de 15

3.2.3.1 Función de densidad

f.dens <- dunif(0, min = 0, max = 15)
f.dens

## [1] 0.06666667

3.2.3.2 ¿Cuál es la probabilidad de tomar un taxi en menos de 5 minutos?

unif_area(min = 0, max = 15, lb = 0, ub = 5,main = paste('f(x)=',f.dens), acolor = "lightblue")

3.2.3.2.1 Solución aritmética

a <- 0
b <- 5

prob <- (b-a) * f.dens 
prob

## [1] 0.3333333

3.2.3.2.2 Solución con dunif()

prob <- (b-a) * dunif(0, min = 0, max = 15)
prob

## [1] 0.3333333

3.2.3.2.3 Solución con punif()

prob <- punif(q = 5, min = 0, max = 15) - punif(q = 0, min = 0, max = 15)
prob

## [1] 0.3333333

3.2.3.2.4 Solución F(x)

x <- 5
a <- 0
b <- 15
prob <- (x-a)/(b-a)
prob

## [1] 0.3333333

3.2.4 Compañía de luz

Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltajes uniformemente distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.

3.2.4.1 ¿Cual es el valor de la función de densidad?

a <- 123
b <- 125
1 / (b-a)

## [1] 0.5

f.dens <- dunif(123, min = 123, max = 125)
f.dens

## [1] 0.5

3.2.4.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía envíe un voltaje menor a 123.5 V?

unif_area(min = 123, max = 125, lb = 123, ub = 123.5,main = paste('f(123 <= x <= 125) = ? y F(x<123.5) = ?' ), acolor = "lightblue")

3.2.4.2.1 Solución aritmética calculando el área con dunif()

b <- 123.5
a <- 123
prob <- (b-a) * f.dens
prob

## [1] 0.25

3.2.4.2.2 Solución con punif()

Se muestra la tabla de distribución con la probabilidad acumulada con valores de variables aleatorias generados por una secuencia a con valor inicial de \(123\) con saltos de \(0.1\) en \(0.1\) hasta llegar a un valor de \(125\).

variables <- seq(from=123, to=125, by=0.1) 
tabla <- data.frame(variables, prob.acum = punif(q = variables, min = 123, max = 125))
tabla

##    variables prob.acum
## 1      123.0      0.00
## 2      123.1      0.05
## 3      123.2      0.10
## 4      123.3      0.15
## 5      123.4      0.20
## 6      123.5      0.25
## 7      123.6      0.30
## 8      123.7      0.35
## 9      123.8      0.40
## 10     123.9      0.45
## 11     124.0      0.50
## 12     124.1      0.55
## 13     124.2      0.60
## 14     124.3      0.65
## 15     124.4      0.70
## 16     124.5      0.75
## 17     124.6      0.80
## 18     124.7      0.85
## 19     124.8      0.90
## 20     124.9      0.95
## 21     125.0      1.00

prob <- punif(q = 123.5, min = 123, max = 125) - punif(q = 123, min = 123, max = 125)
prob

## [1] 0.25

3.2.4.2.3 Solución con (x−a)/(b−a)

a <- 123
b <- 125

prob <- (x=123.5 - a) / (b - a) - (x=123 - a) / (b - a)
prob

## [1] 0.25

3.2.4.3 Valor esperado.

\(E(x)=\frac{(123+125)}{2}=124\)

VE <- (a + b) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado es de:  124"

• El valor esperado es la cantidad media de V distribuidos.

3.2.4.4 Varianza.

\(Var(x)=\frac{(125-123)^2}{12}=0.3333...\)

varianza.x <- (b - a)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))

## [1] "La varianza es:  0.33"

3.2.4.5 Desviación estándar.

\(α=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{0.33}=0.57735...\)

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)

## [1] "La desviación estándard es igual a :  0.58  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  124"

4 Interpretación de los ejercicios

En esta práctica se definieron las diferencias fundamentales entre cómo las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas calculan las probabilidades. Además, se revisaron los conceptos de Probabilidad Uniforme de una distribución, así como de Densidad, Valor Esperado, y su relación con la Varianza y Desviación Estándar; A su vez, también se utilizaron 2 nuevas funciones de R: dunif() y punif().

Aplicando dichos conceptos a cada caso:

En el primer caso de los vuelos de avión, la densidad nos permite determinar el área bajo la curva que representan los posibles tiempos de vuelo de un avión. Luego, a través de soluciones aritméticas y con las funciones punif() y dunif(), se determinó la probabilidad de que un vuelo tenga una determinada duración basados en un intervalo de tiempo determinado: Como ejemplo, se usó el intervalo de 128 minutos a 136 minutos, y como resultado la probabilidad de que el avión tarde entre ese lapso de tiempo es del 40%. Además, se determinó el Valor Esperado, en este caso 130, y esto indica el tiempo medio que el avión puede tardar en realizar su vuelo. La Varianza tomó un valor de 33.33, lo cual representa la posible variación entre los tiempos de llegada del avión, y la Desviación Estándar resultante de ello fue de 5.77.

En el segundo caso, se determinaron los costos en miles de dólares de varias licitaciones de embarque de una empresa entre 20 y 25, donde la función de Densidad tuvo como resultado 0.2, y se determinó que la probabilidad de que una licitación esté entre 22 y 24 miles de dólares es del 40%, al igual que las probabilidades de que una licitación costase menos de 22 mil dólares y más de 24 mil dólares. El Valor Esperado representa el costo medio de cada licitación, con un total de 22.5 mil dólares. La varianza tomó un valor de 2.08 y la Desviación fue de 1.44.

En el tercer caso, se determinó la probabilidad de que se tome un taxi en menos de 5 minutos, considerando que los tiempos de espera varían entre 0 y 15 minutos.

En el cuarto y último caso, se consideró una compañía de servicio eléctrico que provee niveles de voltajes entre 123 y 125 V. El valor de la función densidad fue de 0.5, y se determinó que la probabilidad de que la compañía distribuya un valor de voltaje menor a 123.5 V es del 25%. El valor esperado representa la cantidad media de V distribuidos por la compañía, con un valor de 124. La varianza tomó un valor de 0.33, y la desviación estándar fue de 0.58.

4.0.1 Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Aqueronte. 2009. “R: Distribución Uniforme. R: Distribución Uniforme.” 2009. http://unbarquero.blogspot.com/2009/05/r-distribucion-uniforme.html.

lifeder. n.d. “Distribución Uniforme Continua: Características, Ejemplos, Aplicaciones.” https://www.lifeder.com/distribucion-uniforme-continua/.

R CODER. n.d. “Distribución Uniforme Continua En r.” https://r-coder.com/distribucion-uniforme-r/#:~:text=Distribuci%C3%B3n%20uniforme%20continua%20en%20R&text=La%20distribuci%C3%B3n%20uniforme%20es%20una,distribuci%C3%B3n%20acumulan%20la%20misma%20probabilidad.