（一）利用R进行简单的线性回归
\(~\)
\(~\) 在统计学中，线性回归（Linear Regression）是利用线性回归方程的最小平方函数对自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析 \(~\)
\(~\)
-先以R自带的数据集women为例 \(~\)
\(~\)
> women#15名女姓身高与体重的数据## height weight
## 1 58 115
## 2 59 117
## 3 60 120
## 4 61 123
## 5 62 126
## 6 63 129
## 7 64 132
## 8 65 135
## 9 66 139
## 10 67 142
## 11 68 146
## 12 69 150
## 13 70 154
## 14 71 159
## 15 72 164> plot(women,
+ cex=2,pch=1,
+ ylab = "Weight",
+ xlab="Height"
+ )#绘制散点图，查看身高与体重的关系
> names(women)#names()是查看数据集列标题的函数## [1] "height" "weight"> lm.reg <- lm(weight~height,data=women)#lm代表linear model,~是解析两个变量关系的符号，前面的是因变量，后面的是自变量，data制定数据集的来源
> summary(lm.reg)#summary()是对数据或模型进行总结的函数，注意：summary()是对lm执行后的结果进行总结##
## Call:
## lm(formula = weight ~ height, data = women)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.7333 -1.1333 -0.3833 0.7417 3.1167
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -87.51667 5.93694 -14.74 1.71e-09 ***
## height 3.45000 0.09114 37.85 1.09e-14 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.525 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.991, Adjusted R-squared: 0.9903
## F-statistic: 1433 on 1 and 13 DF, p-value: 1.091e-14> #试着理解线性拟合的结果\(~\)
\(~\)
-可以把拟合得到的直线通过abline()函数加到散点图上 \(~\)
\(~\)
> plot(women,
+ cex=2,pch=1,
+ ylab = "Weight",
+ xlab="Height"
+ )#绘制散点图，查看身高与体重的关系
> abline(lm.reg)
\(~\)
\(~\)
-再查看决定系数与相关系数的区别与联系 \(~\)
\(~\)
> summary(lm.reg)$r.squared#决定系数## [1] 0.9910098> cor(women$height,women$weight)#相关系数## [1] 0.9954948> #验证相关系数的平方是否等于决定系数做书上的练习 p.155(老师示范),课后题p173 第四题（自己练习） \(~\)
\(~\)
-第一步：先在Excel中输入数据，两列分别为x,y，一定要按列输入（见下图） \(~\)
\(~\) 
\(~\)
\(~\)
-第二步：将Excel中的数据另存为csv（见下图） \(~\)
\(~\) 
\(~\)
\(~\)
-第三步：将刚存入的csv导入到R空间中，提示：中文路径及命名可能会出错。（操作见下图） \(~\)
\(~\) 
\(~\)
\(~\)
-第四步：开始对刚导入的数据进行操作 \(~\)
\(~\)
> #ls()#查看当前工作空间中的变量，便于知晓刚导入数据的名字
>
> # regression.data.p.155<- read.csv("regression.data.p.155.csv")#另一种导入方式
> # lm.reg1 <- lm(y~x,data=regression.data.p.155)
> #
> # summary(lm.reg1)
> #对照书156页的结果，看看有何意义\(~\)
\(~\)
（二）利用R进行方差分析
\(~\) 利用R自带的数据集InsectSprays进行分析,先查看下InsectSprays数据的内容
> head(InsectSprays,10)# A~F六种杀虫剂（spray）杀死虫数（count）的72条记录,这里只显示头10条## count spray
## 1 10 A
## 2 7 A
## 3 20 A
## 4 14 A
## 5 14 A
## 6 12 A
## 7 10 A
## 8 23 A
## 9 17 A
## 10 20 A> boxplot(count ~ spray, data = InsectSprays,
+ xlab = "Type of spray", ylab = "Insect count",
+ main = "InsectSprays data", varwidth = TRUE, col = "lightgray")#箱式图，中间的粗横线为中位数，由此可以判断正态性
> fm1 <- aov(count ~ spray, data = InsectSprays)#aov()方差分析的函数，这里数据没有变换，直接进行方差
> summary(fm1)#总结方差分析的结果## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## spray 5 2669 533.8 34.7 <2e-16 ***
## Residuals 66 1015 15.4
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1> opar <- par(mfrow = c(2, 2), oma = c(0, 0, 1.1, 0))
> plot(fm1)#直接看第二幅图，利用QQ plot 检查数据的正态性。
> fm2 <- aov(sqrt(count) ~ spray, data = InsectSprays)#sqrt()是平方根运算，这次对数据做了平方根转化
> summary(fm2)# 对比两次结果有何差异，方差分析的结果怎么解读？## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## spray 5 88.44 17.688 44.8 <2e-16 ***
## Residuals 66 26.06 0.395
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1> plot(fm2)#残差符合正态分布了。
> par(opar)QQ图通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布情况。
QQ图是一种散点图,对应于正态分布的QQ图,就是由标准正态分布的分位数为横坐标,样本值为纵坐标的散点图。
要利用QQ图鉴别样本数据是否近似于正态分布,只需看QQ图上的点是否近似地在一条直线附近,图形是直线说明是正态分布
上述方差分析的原假设(Null hypothesis):杀虫剂处理间的方差=杀虫剂内部重复的方差 \(~\)
多重比较
—LSD
—Duncan test
> library(agricolae)# LSD和Duncan检验都需要加载包agricolae，因为R自带基础包函数没有这个功能
> #（1）LSD
> lsd.res <- LSD.test(fm2,"spray",console=TRUE)#console 参数指定是否同时控制台输出。注意LSD.test()函数的参数用法，首先传递aov的结果fm2,然后指定按spray变量进行多重比较。##
## Study: fm2 ~ "spray"
##
## LSD t Test for sqrt(count)
##
## Mean Square Error: 0.3948178
##
## spray, means and individual ( 95 %) CI
##
## sqrt.count. std r LCL UCL Min Max
## A 3.760678 0.6243234 12 3.3985262 4.122831 2.645751 4.795832
## B 3.876631 0.5768841 12 3.5144792 4.238784 2.645751 4.582576
## C 1.244857 0.7630074 12 0.8827045 1.607009 0.000000 2.645751
## D 2.164354 0.5033405 12 1.8022017 2.526506 1.414214 3.464102
## E 1.809461 0.4963695 12 1.4473089 2.171613 1.000000 2.449490
## F 4.018617 0.7512773 12 3.6564650 4.380769 3.000000 5.099020
##
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 66
## Critical Value of t: 1.996564
##
## least Significant Difference: 0.5121605
##
## Treatments with the same letter are not significantly different.
##
## sqrt(count) groups
## F 4.018617 a
## B 3.876631 a
## A 3.760678 a
## D 2.164354 b
## E 1.809461 b
## C 1.244857 c> # 理解输出结果
> plot(lsd.res)
> #（2）Duncan
> duncan.res <- duncan.test(fm2,"spray",console=TRUE)##
## Study: fm2 ~ "spray"
##
## Duncan's new multiple range test
## for sqrt(count)
##
## Mean Square Error: 0.3948178
##
## spray, means
##
## sqrt.count. std r Min Max
## A 3.760678 0.6243234 12 2.645751 4.795832
## B 3.876631 0.5768841 12 2.645751 4.582576
## C 1.244857 0.7630074 12 0.000000 2.645751
## D 2.164354 0.5033405 12 1.414214 3.464102
## E 1.809461 0.4963695 12 1.000000 2.449490
## F 4.018617 0.7512773 12 3.000000 5.099020
##
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 66
##
## Critical Range
## 2 3 4 5 6
## 0.5121605 0.5388254 0.5564429 0.5692801 0.5791887
##
## Means with the same letter are not significantly different.
##
## sqrt(count) groups
## F 4.018617 a
## B 3.876631 a
## A 3.760678 a
## D 2.164354 b
## E 1.809461 b
## C 1.244857 c> plot(duncan.res)
\(~\)
R做方差分析的步骤：
1 用aov函数进行方差分析；
2 检验残差是否符合正态分布，“是”跳转第4步，“否”跳转到第3步；
3 对数据进行常见的转换，再按1 进行方差分析，从头执行；
4 查看结果是否达到显著性(p<0.05)。“是”，进行多重比较，“否”，分析完毕。
（三）利用R进行t检验
\(~\) t检验是检验两组数据均值是否相等最常用的检验方法。
\(~\) t检验假设两组数据均源于正态分布的抽样，且方差相等。
\(~\) t检验的原假设：两组均值相等，\(\mu_A=\mu_B\)
R中执行t检验的函数信息： \(~\)
t.test (x, y = NULL, alternative = c(“two.sided”, “less”, “greater”), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95) \(~\) \(~\) \(~\)
—(I)单样本t检验（书91页第5题）
\(~\)
先明确三个公式
公式1：标准差计算公式（sd或stdev） \(s=\sqrt{\dfrac{\Sigma(y-\bar{y})^2}{n-1}}\)
公式2：标准误计算公式（se） ，代表抽样误差 （样本均值抽样的误差） \(s_\bar{y}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\) \(~\)
公式3：\(t=\dfrac{y-\mu}{s_\bar{y}}\)
\(~\)
> peach.N<-c(2.38,2.38,2.41,2.50,2.47,2.41,2.38,2.26,2.32,2.41)#数据输入用c()括起来，逗号分割
> mean(peach.N)#mean()求均值## [1] 2.392> sd(peach.N)#sd()求标准差## [1] 0.06811755> se <-sd(peach.N)/sqrt(length(peach.N))#sqrt() 是开根号，length()是计算样本数
> se#标准误## [1] 0.02154066> t.test(peach.N,mu=2.5)#检验H0=2.5。怎么解读结果##
## One Sample t-test
##
## data: peach.N
## t = -5.0138, df = 9, p-value = 0.0007252
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 2.5
## 95 percent confidence interval:
## 2.343272 2.440728
## sample estimates:
## mean of x
## 2.392\(~\) \(~\)
—(II)双样本t检验
\(~\)
双样本或成组数据的t检验的自由度\(\nu=n_1+n_2-2\)
\(t=\dfrac{\bar{y_1}-\bar{y_2}}{s_{\bar{y_1}-\bar{y_2}}}\)
\(~\)
> x <- rnorm(10)#rnorm()是生成正态伪随机数，10是生成10个数，均值为0，方差为1
> y <- rnorm(10)
> t.test(x,y,var.equal=T)#指定方差齐性，你能得到和我一样的结果么？为什么##
## Two Sample t-test
##
## data: x and y
## t = 0.24496, df = 18, p-value = 0.8093
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.8751747 1.1061953
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## -0.1230557 -0.2385659> z <- rnorm(10,sd=5)
> t.test(x,z)#默认方差不齐，看看自由度有何不同寻常之处？##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: x and z
## t = 0.042593, df = 9.6065, p-value = 0.9669
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -3.921291 4.073267
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## -0.1230557 -0.1990434> t.test(x,z,var.equal=T)#制定方差齐性，并和上条代码结果比较##
## Two Sample t-test
##
## data: x and z
## t = 0.042593, df = 18, p-value = 0.9665
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -3.672149 3.824124
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## -0.1230557 -0.1990434\(~\)
—(III)再次理解t分布
\(~\) t分布是统计量\(\dfrac{y-\mu}{s_\bar{y}}\)的计算值（t值）从正态中体中进行反复抽样得到的分布规律。
\(~\) 理解t分布需要明确以下几个要点：
-第一步：从正态总体中进行抽样，计算\(\dfrac{y-\mu}{s_\bar{y}}\)
-第二步：重复第一步多次
-第三步：构建\(\dfrac{y-\mu}{s_\bar{y}}\)的分布律
\(~\)
> x <- rnorm(10)
> y <- rnorm(10)
> t.test(x,y,var.equal=T)$statistic#$美元dollar符号用于提取子集元素,statistic就是统计量t## t
## -0.377479> #把上面的结果执行1000遍，
> t.statistic <- replicate(1000,t.test(rnorm(10),rnorm(10),var.equal=T)$statistic)#replicate是重复执行某一命令的函数，1000 代表执行次数
> opar <- par(no.readonly=TRUE)
> par(fig=c(0, 0.8, 0, 1))#画图区域，前两个参数制定横向范围，后面两个参数制定纵向分布范围
> plot(t.statistic)#每次执行上述命令后t值的散点图
> par(fig=c(0.65, 1, 0, 1), new=TRUE)##在上幅图的右侧画分布图
> plot(density(t.statistic)$y,density(t.statistic)$x,axes=F,frame.plot=F, xlab="", ylab="",main="",type = "l")
> par(opar)把上面的图形旋转向，结果更清楚(重新执行代码后的，稍微有所不同，但不影响趋势和结论) 
（四）抽样分布
- 抽样的总体
> x <-1:5 进行抽样的总体为{1, 2, 3, 4, 5},
其平均值是\(\mu_1\)=3
方差是\(\sigma^2_1\)=2.5
- 抽样
从总体中进行抽样，抽取四个元素组成一个样本
全部抽样样本的组合及均值见下表
library(arrangements)
y <- data.frame(permutations(x, 4, replace=TRUE))
y$Sample_mean<-apply(y,1,mean)
y## X1 X2 X3 X4 Sample_mean
## 1 1 1 1 1 1.00
## 2 1 1 1 2 1.25
## 3 1 1 1 3 1.50
## 4 1 1 1 4 1.75
## 5 1 1 1 5 2.00
## 6 1 1 2 1 1.25
## 7 1 1 2 2 1.50
## 8 1 1 2 3 1.75
## 9 1 1 2 4 2.00
## 10 1 1 2 5 2.25
## 11 1 1 3 1 1.50
## 12 1 1 3 2 1.75
## 13 1 1 3 3 2.00
## 14 1 1 3 4 2.25
## 15 1 1 3 5 2.50
## 16 1 1 4 1 1.75
## 17 1 1 4 2 2.00
## 18 1 1 4 3 2.25
## 19 1 1 4 4 2.50
## 20 1 1 4 5 2.75
## 21 1 1 5 1 2.00
## 22 1 1 5 2 2.25
## 23 1 1 5 3 2.50
## 24 1 1 5 4 2.75
## 25 1 1 5 5 3.00
## 26 1 2 1 1 1.25
## 27 1 2 1 2 1.50
## 28 1 2 1 3 1.75
## 29 1 2 1 4 2.00
## 30 1 2 1 5 2.25
## 31 1 2 2 1 1.50
## 32 1 2 2 2 1.75
## 33 1 2 2 3 2.00
## 34 1 2 2 4 2.25
## 35 1 2 2 5 2.50
## 36 1 2 3 1 1.75
## 37 1 2 3 2 2.00
## 38 1 2 3 3 2.25
## 39 1 2 3 4 2.50
## 40 1 2 3 5 2.75
## 41 1 2 4 1 2.00
## 42 1 2 4 2 2.25
## 43 1 2 4 3 2.50
## 44 1 2 4 4 2.75
## 45 1 2 4 5 3.00
## 46 1 2 5 1 2.25
## 47 1 2 5 2 2.50
## 48 1 2 5 3 2.75
## 49 1 2 5 4 3.00
## 50 1 2 5 5 3.25
## 51 1 3 1 1 1.50
## 52 1 3 1 2 1.75
## 53 1 3 1 3 2.00
## 54 1 3 1 4 2.25
## 55 1 3 1 5 2.50
## 56 1 3 2 1 1.75
## 57 1 3 2 2 2.00
## 58 1 3 2 3 2.25
## 59 1 3 2 4 2.50
## 60 1 3 2 5 2.75
## 61 1 3 3 1 2.00
## 62 1 3 3 2 2.25
## 63 1 3 3 3 2.50
## 64 1 3 3 4 2.75
## 65 1 3 3 5 3.00
## 66 1 3 4 1 2.25
## 67 1 3 4 2 2.50
## 68 1 3 4 3 2.75
## 69 1 3 4 4 3.00
## 70 1 3 4 5 3.25
## 71 1 3 5 1 2.50
## 72 1 3 5 2 2.75
## 73 1 3 5 3 3.00
## 74 1 3 5 4 3.25
## 75 1 3 5 5 3.50
## 76 1 4 1 1 1.75
## 77 1 4 1 2 2.00
## 78 1 4 1 3 2.25
## 79 1 4 1 4 2.50
## 80 1 4 1 5 2.75
## 81 1 4 2 1 2.00
## 82 1 4 2 2 2.25
## 83 1 4 2 3 2.50
## 84 1 4 2 4 2.75
## 85 1 4 2 5 3.00
## 86 1 4 3 1 2.25
## 87 1 4 3 2 2.50
## 88 1 4 3 3 2.75
## 89 1 4 3 4 3.00
## 90 1 4 3 5 3.25
## 91 1 4 4 1 2.50
## 92 1 4 4 2 2.75
## 93 1 4 4 3 3.00
## 94 1 4 4 4 3.25
## 95 1 4 4 5 3.50
## 96 1 4 5 1 2.75
## 97 1 4 5 2 3.00
## 98 1 4 5 3 3.25
## 99 1 4 5 4 3.50
## 100 1 4 5 5 3.75
## 101 1 5 1 1 2.00
## 102 1 5 1 2 2.25
## 103 1 5 1 3 2.50
## 104 1 5 1 4 2.75
## 105 1 5 1 5 3.00
## 106 1 5 2 1 2.25
## 107 1 5 2 2 2.50
## 108 1 5 2 3 2.75
## 109 1 5 2 4 3.00
## 110 1 5 2 5 3.25
## 111 1 5 3 1 2.50
## 112 1 5 3 2 2.75
## 113 1 5 3 3 3.00
## 114 1 5 3 4 3.25
## 115 1 5 3 5 3.50
## 116 1 5 4 1 2.75
## 117 1 5 4 2 3.00
## 118 1 5 4 3 3.25
## 119 1 5 4 4 3.50
## 120 1 5 4 5 3.75
## 121 1 5 5 1 3.00
## 122 1 5 5 2 3.25
## 123 1 5 5 3 3.50
## 124 1 5 5 4 3.75
## 125 1 5 5 5 4.00
## 126 2 1 1 1 1.25
## 127 2 1 1 2 1.50
## 128 2 1 1 3 1.75
## 129 2 1 1 4 2.00
## 130 2 1 1 5 2.25
## 131 2 1 2 1 1.50
## 132 2 1 2 2 1.75
## 133 2 1 2 3 2.00
## 134 2 1 2 4 2.25
## 135 2 1 2 5 2.50
## 136 2 1 3 1 1.75
## 137 2 1 3 2 2.00
## 138 2 1 3 3 2.25
## 139 2 1 3 4 2.50
## 140 2 1 3 5 2.75
## 141 2 1 4 1 2.00
## 142 2 1 4 2 2.25
## 143 2 1 4 3 2.50
## 144 2 1 4 4 2.75
## 145 2 1 4 5 3.00
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## 551 5 3 1 1 2.50
## 552 5 3 1 2 2.75
## 553 5 3 1 3 3.00
## 554 5 3 1 4 3.25
## 555 5 3 1 5 3.50
## 556 5 3 2 1 2.75
## 557 5 3 2 2 3.00
## 558 5 3 2 3 3.25
## 559 5 3 2 4 3.50
## 560 5 3 2 5 3.75
## 561 5 3 3 1 3.00
## 562 5 3 3 2 3.25
## 563 5 3 3 3 3.50
## 564 5 3 3 4 3.75
## 565 5 3 3 5 4.00
## 566 5 3 4 1 3.25
## 567 5 3 4 2 3.50
## 568 5 3 4 3 3.75
## 569 5 3 4 4 4.00
## 570 5 3 4 5 4.25
## 571 5 3 5 1 3.50
## 572 5 3 5 2 3.75
## 573 5 3 5 3 4.00
## 574 5 3 5 4 4.25
## 575 5 3 5 5 4.50
## 576 5 4 1 1 2.75
## 577 5 4 1 2 3.00
## 578 5 4 1 3 3.25
## 579 5 4 1 4 3.50
## 580 5 4 1 5 3.75
## 581 5 4 2 1 3.00
## 582 5 4 2 2 3.25
## 583 5 4 2 3 3.50
## 584 5 4 2 4 3.75
## 585 5 4 2 5 4.00
## 586 5 4 3 1 3.25
## 587 5 4 3 2 3.50
## 588 5 4 3 3 3.75
## 589 5 4 3 4 4.00
## 590 5 4 3 5 4.25
## 591 5 4 4 1 3.50
## 592 5 4 4 2 3.75
## 593 5 4 4 3 4.00
## 594 5 4 4 4 4.25
## 595 5 4 4 5 4.50
## 596 5 4 5 1 3.75
## 597 5 4 5 2 4.00
## 598 5 4 5 3 4.25
## 599 5 4 5 4 4.50
## 600 5 4 5 5 4.75
## 601 5 5 1 1 3.00
## 602 5 5 1 2 3.25
## 603 5 5 1 3 3.50
## 604 5 5 1 4 3.75
## 605 5 5 1 5 4.00
## 606 5 5 2 1 3.25
## 607 5 5 2 2 3.50
## 608 5 5 2 3 3.75
## 609 5 5 2 4 4.00
## 610 5 5 2 5 4.25
## 611 5 5 3 1 3.50
## 612 5 5 3 2 3.75
## 613 5 5 3 3 4.00
## 614 5 5 3 4 4.25
## 615 5 5 3 5 4.50
## 616 5 5 4 1 3.75
## 617 5 5 4 2 4.00
## 618 5 5 4 3 4.25
## 619 5 5 4 4 4.50
## 620 5 5 4 5 4.75
## 621 5 5 5 1 4.00
## 622 5 5 5 2 4.25
## 623 5 5 5 3 4.50
## 624 5 5 5 4 4.75
## 625 5 5 5 5 5.00- 抽样平均值出现的频数统计
table(y$Sample_mean)##
## 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75
## 1 4 10 20 35 52 68 80 85 80 68 52 35 20 10 4
## 5
## 1抽样分布频率图见下
> hist(y$Sample_mean,breaks = 100,density = 10,angle = 45,col = "red",
+ border = "blue",xlab="Sample mean",ylab="Frequency", main="{1...5}mean distribution")