Determinar probabilidades para eventos independientes.
Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.
La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral (mendenhall2010?).
Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.(Benítez Morales, n.d.)
Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades.
Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.(Cevallos et al. 2018)
La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igual a 1
\[ 0 < p(E) <= 1 \]
Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o igual a uno.
Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el dia de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.
La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota
\[ P(EventoSeguro)=1 \]
Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabilidad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a 1 un peso .
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
Ejemplo. si se lanz una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila.
\[ P(sello)=1/2 \]
\[ P(aguila)=1/2 \]
\[ \therefore \]
\[ P(sello\cup aguila) = P(sello) + P(aguila) = 1/2+1/2 = 1 \]
En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1.
\[ \sum _{i=1}^{n}P(E) = P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})+....P(E_{n}) = 1) \]
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
\[ P(A)=X \]
\[ \therefore \] \[ P(A)'= 1 - P(A) = 1 - X \]
o también se puede expresar matemáticamente como:
\[ P(A)\complement = 1 - P(A) = 1 - X \]
Ejemplo: Si de un total de personas existen un \(60\%\) del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?.
\[ P(mujeres)=0.60 \]
\[ P(mujeres)'=1-0.6=0.4 \]
el \(40\%\) es el complemento del subconjunto mujeres.
De acuerdo a (Benítez Morales, n.d.) se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso AA, conociendo, que también se da un suceso BB
En el libro de (mendenhall_introduccion_2010?) se menciona que la probabilidad de un evento AA, dado que el evento BB ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de AA, dado que BB ha ocurrido, denotada por
\[ P(A|B) \]
La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
o bien por el contrario
\[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \]
Siempre y cuando en ambos casos la P(B)≠0 y P(A)≠0
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un hipertenso sea fumador? o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es fumador?, se entiende que dado que sea fumador.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
\[ A=\{hipertensos\} \]
\[ B=\{fumadores\} \]
Se busca encontrar:
\[ P(A | B) = \{hipertenso dado que sea fumador\}\therefore P(A | B) = ? \]
$$ B = {fumadores}P(B) = 0.50
$$
\[ P(A \cap B) = \{hipertenso.y.fumador\} = 0.10 \]
\[ \therefore \]
\[ P(A | B) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.10}{0.50} = 0.20 \therefore \]
La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de 0.200.20 o del 20%20%
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.5Extraído de (matemovil, n.d.)
\[ P(A)=0.60 \]
\[ P(B)=0.48 \]
\[ P(A∩B) = 0.18 \]
Calcular:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45 \]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces P(A|B):
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"\[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.18}{0.60}=0.3 \]
Entonces P(B|A):
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La probabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
Personas que trabajan y no trabajan
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan
| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\[ P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore \]
\[ P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51 \]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
\[ P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76 \]
El siguiente bloque de código realiza las operaciones
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(S)=0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(L)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(S∩L)=0.78
\[ P(L | S) = \frac{P(L \cap S)}{P(S)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94 \]
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"\[ P(S | L) = \frac{P(S \cap L)}{P(L)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95 \]
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
$$ P(Ex1 Ex2) = 0.30
$$
$$ P(Ex1) = 0.45
$$
\[ \therefore \]
\[ P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66 \]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
\[ P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41 \]
la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?
\[ P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20 \]
La probabilidad condicional es que un evento A dé lugar a un evento B, puesto sin el A, el B no puede suceder. Se utiliza en la vida cotidiana como cuando por ejemplo sucede un efecto dominó en la mayoría de ocasiones, dando así que suceda el segundo evento. La fórmula es P(A|B)=P(A∩B)/P(B). En los ejemplos tenemos que, dada cierta probabilidad, la probabilidad de que suceda un segundo evento, es la intersección de la probabilidad de los eventos, entre la probabilidad del segundo. Esto sería en la Probabilidad de Vuelo, puesto que sí el vuelo se retrasa, significa que nosotros llegaremos tarde, o en caso que se retrase, nosotros lleguemos temprano. De igual forma sucede con los exámenes, sí los alumnos no pasaron un primer examen A, es poco probable que pasen el examen B.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.
Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.