hllinas

1 Librerías

library(aplore3)     #Base de datos para los ejemplos
library(lsm)         #Base de datos para ejemplos y estimaciones del Log-verosimilitud
library(tidyverse)   #Incluye a dplyr y ggplot2

2 Introducción

Los métodos de regresión se han convertido en un componente integral de cualquier análisis de datos preocupado por describir la relación entre una variable de respuesta y una o variables más explicativas. Muy a menudo, la variable de resultado es discreta, tomando un valor de dos o más valores posibles. El modelo de regresión logística es el más modelo de regresión de mayor uso frecuente para el análisis de estos datos.

En el documento Rpbus :: Modelos lineales generalizados se explicó que estos modelos hacen parte de los modelos lineales generalizados. Allí se pueden ver los detalles correspondientes. Para conocer con profundidad estos modelos, es importante estudiar los siguientes cuatro tipos de modelos:

  • Modelo de Bernoulli.

  • Modelo completo.

  • Modelo nulo.

  • Modelo saturado.

Se describirán sus propiedades, con los ejemplos correspondientes.

3 Datasets

Para las aplicaciones, se utilizaron bases de datos de las librerías aplore3 (creado por Braglia, 2016) y lsm (creado por LLinás, Fábregas y Villalba, 2020).

library(aplore3) 
library(lsm)

Ambos paquetes incluyen, de manera “no oficial”, todos los conjuntos de datos utilizados en el texto de Hosmer, Lemeshow and Sturdivant (2013). En este link o en este otro se encuentran los nombres de los datasets con los respectivos detalles:

  • Descripción (description).

  • Uso (usage).

  • Formato (format).

  • Fuente (source) o Referencias (References).

Se resalta el hecho que lsm es un paquete que contiene:

  1. Otros datasets que son de autoría propia.

  2. La función lsm(), la cual nos permite estimar, entre otros, el logaritmo de la función de verosimilitud de los modelos completos, nulo, saturado y logístico. La teoría relacionada con los tres primeros modelos se van a explicar más adelante dentro de este documento. La que se relaciona con los modelos logísticos, en otros documentos.

4 Ejemplo introductorio

Para los ejemplos, se utilizará chdage, el cual contiene datos recogidos con el fin de estudiar si la edad es un factor influyente en la presencia o no de enfermedades coronarias (CHD). Es un data frame con 100 observaciones. En aplore3 hay cuatro variables y en lsm, tres. A continuación, se describen cada una (entre paréntesis, el nombre de la variable en lsm):

  1. id (ID): código de identificación (1-100).

  2. chd (CHD): Presencia of CHD. En aplore3, los niveles son No, Si. En lsm son 0 (=No) y 1 (=Si).

  3. age (AGE): edad (en años) de los participantes.

  4. agegrp: edad agrupada (1: 20-39, 2: 30-34, 3: 35-39, 4: 40-44, 5: 45-49, 6: 50-54, 7: 55-59, 8: 60-69).

Cargamos el data frame chdage de la librería aplore3:

chdage <- aplore3::chdage
attach(chdage)

Las primeras 10 observaciones son:

ID age agegrp chd
1 20 20-39 No
2 23 20-39 No
3 24 20-39 No
4 25 20-39 No
5 25 20-39 Yes
6 26 20-39 No
7 26 20-39 No
8 28 20-39 No
9 28 20-39 No
10 29 20-39 No

Observe que, en el datasets aplore3::chdage, la variable chd es binaria, pero no numérica. Al convertirla en integer, se codifica como 1=No y 2=Si. Por esta razón, esta variable se puede codificar como 0=No y 1=Si, de la siguiente manera:

CHD <- as.integer(chd)-1

Example 4.1 Explore la relación entre las variables age, agegrp y chd siguiendo las instrucciones que se proponen abajo.

  1. Escriba un resumen de los datos.

  2. Realize dos diagramas: Uno de dispersión de age versus chd y otro que corresponda a uno de caja y bigotes para age dentro de cada valor de chd (incluya el diagrma de dispersión correspondiente). Responda las preguntas:

    1. ¿Tendencia para los individuos con evidencia de chd?
    2. ¿Describe claramente este diagrama la naturaleza dicotómica de chd?
    3. ¿Provee este diagrama una clara relación entre las dos variables?
    4. ¿Es pequeña la variabilidad en chd en todas las edades?
    5. ¿Qué es lo que dificulta describir la relación entre las dos variables?
    6. ¿Qué posible método podemos utilizar para remover alguna variación pero sin modificar la posible relación entre las dos variables?

  3. Construya una tabla de frecuencias paraagegrp.

  4. Realize una tabulación cruzada entre agegrp y chd. Por lo menos, para cada grupo etáreo, deben aparecer las cantidades de individuos con presencia y no presencia de enfermedades coronarias.

  5. Para cada grupo de edad, calcule la proporción de personas con enfermedades coronarias. Es decir, construir una tabla de frecuencias relativas para agegrp. ¿Es esta proporción creciente o decreciente a medida que la edad aumenta?

  6. Realize un diagrama de dispersión de los grupos etáreos (en el eje X) versus estas proporciones.

    1. ¿Provee este diagrama una clara relación entre las dos variables?
    2. ¿Cuál podría ser esta relación?

Solution. Tenemos:

  1. El resumen de los datos se puede encontrar así:
summary(chdage)
id age agegrp chd
Min. : 1.00 Min. :20.00 55-59 :17 No :57
1st Qu.: 25.75 1st Qu.:34.75 30-34 :15 Yes:43
Median : 50.50 Median :44.00 40-44 :15
Mean : 50.50 Mean :44.38 45-49 :13
3rd Qu.: 75.25 3rd Qu.:55.00 35-39 :12
Max. :100.00 Max. :69.00 20-39 :10
(Other):18
  1. El diagrama de dispersión de age versus chd es:
ggplot(chdage, aes(y = chd, x = age))+
  
geom_point(aes(color=chd), alpha = 1.9) +
  
labs(x="Edad", y="Presencia o no de CHD", fill= "")+ 
  
#guides(fill=FALSE)+                              #Etiquetas

facet_wrap(. ~ "Diagrama de dispersión") +    #Título
theme(legend.position = "none")  +
theme_bw(base_size = 12)

El diagrama de dispersión con el de cajas y bigotes incluido es:

ggplot(chdage, aes(y = chd, x = age))+
  
geom_boxplot(aes(fill= chd),color="black",size = .75)  + 
geom_jitter(alpha = .9, aes(color=chd)) +
  
labs(x="Edad", y="Presencia o no de CHD", fill= "")+ 
  
#guides(fill=FALSE)+                              #Etiquetas
scale_fill_manual(values = c("wheat", "yellow"))+ #Cambiar los colores

facet_wrap(. ~ "Diagramas de dispersión y de caja y bigotes ") +    #Título
theme() +
theme_bw(base_size = 12)  + 
theme(axis.text.x = element_text(angle = 0, hjust = 1, vjust = 1))

  1. La tabla de frecuencias para agegrp es:
Tabla <- table(agegrp)
Tabla <- with(chdage, addmargins(Tabla))
Grupo etáreo Frecuencia
20-39 10
30-34 15
35-39 12
40-44 15
45-49 13
50-54 8
55-59 17
60-69 10
Sum 100
  1. Esta es la tabla de frecuencias cruzada entre agegrp y chd:
with(chdage, addmargins(table(agegrp, chd)))
Grupo etáreo No Si Total
20-39 9 1 10
30-34 13 2 15
35-39 9 3 12
40-44 10 5 15
45-49 7 6 13
50-54 3 5 8
55-59 4 13 17
60-69 2 8 10
Total 57 43 100
  1. La tabla de frecuencias relativas para agegrp es:
with(chdage, tapply(CHD, list(agegrp), mean))
Grupo etáreo Frecuencia relativa
20-39 0.1
30-34 0.1333
35-39 0.25
40-44 0.3333
45-49 0.4615
50-54 0.625
55-59 0.7647
60-69 0.8
  1. El diagrama de dispersión de los grupos etáreos (en el eje X) versus las proporciones halladas en el punto anterior es:
Valor <- with(chdage, tapply(CHD, list(agegrp), mean))
Prueba <- as.data.frame(Valor)
Edad <- c("20-39", "30-34" ,"35-39", "40-44", "45-49", "50-54", "55-59", "60-69")
Tabla <- cbind(Edad, round(Prueba$Valor,4))

Tabla <- as.data.frame(Tabla)

ggplot(Tabla,aes(x = factor(Edad), y=as.numeric(V2),fill=factor(Edad))) +
geom_bar(width = 0.9,stat="identity", position = position_dodge()) +
geom_point(aes(fill=Edad), alpha = 1.9, size=4, color="black")+
labs(x="Edad", y="Propoción de personas con CHD", fill= "")+ 
ylim(0,1)+
facet_wrap(. ~ "Diagrama de dispersión") +    
theme_bw(base_size = 12) +
theme(legend.position = "none")

5 Modelo de Bernoulli

La variable de interés \(Y\) es de Bernoulli. En símbolo, \(Y \sim {\cal B}(1,p)\), siendo

\[p:=E(Y)=P(Y=1)\]

la probabilidad de que ocurra \(Y\).

Haciendo \(n\) observaciones independientes de \(Y\), se obtiene la muestra \(Y=(Y_1, \ldots, Y_n)\) con los datos \(y_i\in\{0,1\}\), para todo \(i=1, \cdots ,n\), donde \(y_i\) es un posible valor de \(Y_i\), las cuales son independientes entre sí.

Se llega a un modelo estadístico de Bernoulli:

\[Y_i= p_i + e_i \quad\sim\quad {\cal B} (1,p_i), \quad i=1,\cdots,n\]

Fijando \(y=(y_1, \cdots ,y_n)^T\) obtenemos la función de verosimilitud en el parámetro \(p=(p_1, \cdots, p_n)^T\):

\[L(p)= \prod^n_{i=1}[p_i^{y_i}(1-p_i)^{1-y_i}]\]

Theorem 5.1 (Log-verosimilitud) En un modelo de Bernoulli, el logaritmo de la función de máxima verosimilitud será:

\[\begin{equation} {\cal L}(p):= \ln L(p)= \sum^n_{i=1}[y_i\ln p_i + (1-y_i)\ln (1-p_i)] \tag{5.1} \end{equation}\]

Remark. Como \(0 \le f(y,p) \le 1\), de la expresión (5.1), se tiene que

\[-\infty \le {\cal L}(p) \le 0\]

Hay varias situaciones que se pueden presentar en un modelo de Bernoulli. Se dice que éste se puede identificar como alguno de los siguientes modelos: completo, nulo o saturado.

6 Modelo completo

Definition 6.1 El modelo completo es caracterizado por el supuesto de que todos \(p_i\), \(i=1, \cdots ,n\) son considerados como parámetros.

Remark. El siguiente teorema describe las estimaciones en este modelo:

Theorem 6.1 (Estimaciones en el modelo completo) En el modelo completo, las ML-estimaciones de \(p_i\) son \(\hat{p}_i=Y_i\) con valores \(\hat{p}_i=y_i\), para todo \(i=1, \cdots ,n\). Además, la estimación de la función de verosimilitud, de su logaritmo y de la llamada desviación tienen los siguientes valores:

\[{\cal L}(y) = 0, \quad L(y)= 1 \quad \mbox{y}\quad -2\,{\cal L}(y)=0\]

Example 6.1 Para los datos del archivo chdage, en el modelo completo, se tiene que \({\cal L}(y) = -2\; {\cal L}(y)= 0\) y \(L(y)=1\). En R, se pueden verificar así:

Y <- CHD
a <- ifelse(Y==0,log(1-Y),log(Y))
LogCompleto <- sum(a)
L_Completo <- exp(LogCompleto)
DevLogCompleto <- -2*LogCompleto

El paquete lsm calcula directamente el valor de \({\cal L}(y)\):

datos <- lsm::chdage
modelo <- lsm(CHD~datos$AGE, data=datos)
modelo$Log_Lik_Complete
## [1] 0

7 Modelo nulo

Definition 7.1 El modelo nulo es caracterizado por el supuesto de que todos los \(p_i\), \(i=1, \cdots ,n\) son considerados iguales; es decir, se tiene un solo parámetro \(p=p_i, i=1, \cdots ,n\).

Theorem 7.1 (Log-verosimilitud en el modelo nulo) En este caso, (5.1) será:

\[\begin{eqnarray} {\cal L}(p)&=& n[\overline{y}\ln p + (1- \overline{y})\ln (1-p)] \tag{7.1} \end{eqnarray}\]

El siguiente teorema describe las estimaciones en este modelo:

Theorem 7.2 (Estimaciones en el modelo nulo) En el modelo nulo, la ML-estimación de \(p\) es \(\hat{p}=\overline{Y}\) con valor \(\hat{p}=\overline{y}\). Además,

\[{\cal L}(\overline{y})<0 \qquad \mbox{si y sólo si}\qquad 0 < \overline{y} < 1\]

Remark. Algunas propiedades de la gráfica de \({\cal L}(p)\) son:

  1. Tiene un único mínimo en \(p=\frac{1}{2}\).

  2. Teniendo en cuenta que el dominio de \({\cal L}(p)\) es el intervalo abierto \((0,1)\), la gráfica de \({\cal L}(p)\):

    1. Es decreciente en \((0,\frac{1}{2})\) y creciente en \((\frac{1}{2},1)\).

    2. No tiene puntos de inflexión en \((0,1)\).

    3. Es cóncava hacia arriba.

    4. El punto mínimo es \(\left(\frac{1}{2},-n\log 2\right)\).

El siguiente teorema indica la forma de la gráfica de \({\cal L}(p)\), para \(0<p<1\).

Theorem 7.3 (Gráfica en el modelo nulo) La gráfica de la función \({\cal L}(p\)) en el modelo nulo es:

n <- 100
p <- seq(0.0001, 1, 0.00005)
a <- n*(p*log(p)+(1-p)*log(1-p))
D <- data.frame(p,a)

ggplot(D, aes(y = a, x = p)) +
geom_point(aes(color=a), alpha = 1.9) +
labs(x="Probabilidad p", y="Log L(p)", fill= "") + 
ylim(-n*log(2), 0)+
facet_wrap(. ~ "Gráfica del Log L(p) en el modelo nulo con n=100") +    
theme_bw(base_size = 12) +
theme(legend.position = "none")

Example 7.1 Para los datos del archivo chdage, en el modelo nulo:

  1. \(\widehat{p} \;=\; \overline{y}\;=\; 43/100 \;=\; 0.43\).

  2. \({\cal L}(\overline{y})\;=\; {\cal L}(0.43) \;= \; -68.33\).

  3. \(-2{\cal L}(\overline{y}) \;=\; 136.66\).

  4. El punto mínimo es \(\left(\frac{1}{2},-69.31\right)\).

En R, se puede verificar así:

n <- length(Y)
YBarra <- mean(Y)
LogNulo <- n*(YBarra*log(YBarra)+(1-YBarra)*log(1-YBarra))
DevNulo <- -2*LogNulo
minimo <- -n*log(2)

El paquete lsm calcula directamente el valor de \({\cal L}(\overline{y})\):

datos <- lsm::chdage
modelo <- lsm(CHD~datos$AGE, data=datos)
modelo$Log_Lik_Null
## [1] -68.33149

8 Modelo saturado

El modelo saturado está caracterizado por dos supuestos.

Hypothesis 8.1 (Supuesto 1 en el modelo saturado) Se supone que:

  1. Se tienen \(K\) variables explicativas \(X_1, \cdots, X_K\) (algunas pueden ser numéricas y otras categóricas) con valores \(x_{i1}, \cdots, x_{iK}\) para \(i=1, \cdots, n\) (fijadas u observadas por el estadístico, según sean variables determiní}sticas o aleatorias).

  2. Entre las \(n\) kuplas \((x_{i1}, \cdots, x_{iK})\) de los valores de la variable explicativa \(X\) haya \(J\) kuplas diferentes, definiendo las \(J\) poblaciones. Por tanto, \(J \le n\).

Remark. Para cada población \(j=1, \cdots ,J\) se denota:

  • El número de observaciones \(Y_{ij}\) en cada población \(j\) por \(n_j\), siendo \(n_1+\cdots +n_J=n\);

  • La suma de las \(n_j\) observaciones \(Y_{ij}\) en \(j\) por

\[Z_j:=\sum\limits_{i=1}^{n_j}Y_{ij} \quad \mbox{con valor}\quad z_j=\sum\limits_{i=1}^{n_j}y_{ij},\quad \mbox{siendo}\quad \sum\limits^J_{j=1}z_j \;= \; \sum\limits^n_{i=1}y_i\]

En la Tabla 8.1 se ilustra hipotéticamente un conjunto de datos con \(J=4\) poblaciones.

Table 8.1: Ilustración de un conjunto de datos agrupado en \(J=4\) poblaciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9
\(Y\) \(X_1\) \(X_2\) \(X_3\) \(X_4\) \(X_5\) \(j\) \(n_j\) \(Z_j\)
Población: Bajo, 80, Si, 170, Estrato 1
1 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 \(j=1\) \(n_1=3\) \(Z_1=2\)
0 Bajo 80 Si 170 Estrato 1
1 Bajo 80 Si 170 Estrato 1
Población: Mediano, 100, Si, 150, Estrato 5
0 Mediano 100 Si 150 Estrato 5 \(j=2\) \(n_2=4\) \(Z_2=3\)
1 Mediano 100 Si 150 Estrato 5
1 Mediano 100 Si 150 Estrato 5
1 Mediano 100 Si 150 Estrato 5
Población: Mediano, 100, No, 180, Estrato 2
1 Mediano 100 No 180 Estrato 2 \(j=3\) \(n_3=2\) \(Z_3=1\)
0 Mediano 100 No 180 Estrato 2
Población: Alto, 100, No, 100, Estrato 4
0 Alto 100 No 100 Estrato 4 \(j=4\) \(n_4=3\) \(Z_4=2\)
1 Alto 100 No 100 Estrato 4
1 Alto 100 No 100 Estrato 4
General. \(Y\) es la variable de respuesta; \(X_1, \cdots, X_5\) son las variables explicativas; \(j\) es la población; \(n_j\) es el tamaño de la población \(j\); \(Z_j\) es el número de éxitos en la población \(j\).

Hypothesis 8.2 (Supuesto 2 en el modelo saturado) Para mayor simplicidad en la escritura, se abreviará la j-ésima población \((x_{j1}, \cdots ,x_{jK})\) por el símbolo \(\star\). Para cada población \(j=1, \cdots ,J\) y cada observación \(i=1,\cdots,n\) en \(j\), se supone que:

  1. \((Y_{ij}|\star)\) es de Bernoulli. Es decir,

\[(Y_{ij}|\star) \sim {\cal B}(1,p_j)\]

  1. Las variables \((Y_{ij}|\star)\) son independientes entre sí.

  2. La esperanza y la varianza son, respectivamente,

\[p_j=P(Y_{ij}=1|\star)=E(Y_{ij}|\star), \qquad V(Y_{ij}|\star)=p_j(1-p_j)\]

A continuación, se oprimirá el símbolo \(\star\).

Remark. El supuesto 2 implica:

  1. Todos los \(p_{ij}\), \(i=1, \cdots ,n\) dentro de cada población \(j\) son iguales. Es decir, se tiene como parámetro el vector \(p=(p_1, \cdots ,p_J)^T.\)

  2. Para cada población \(j=1, \cdots ,J\):

    • La variable \(Z_j\) es binomial. Es decir,

    \[Z_j\sim{\cal B}(n_j,p_j)\]

    • Las variables \(Z_j\) son independientes entre las poblaciones.

Theorem 8.1 (Log-verosimilitud en el modelo saturado) En el modelo saturado, el logaritmo de la función de máxima verosimilitud será

\[\begin{eqnarray} {\cal L}(p) &=& \sum^J_{j=1}\left(\sum_{i=1}^{n_j}[{y_{ij}}\ln p_j + (1- y_{ij})\ln (1-p_j)]\right)\nonumber\\ &=& \sum^J_{j=1}[{z_j}\ln p_j + (n_j- z_j)\ln (1-p_j)] \tag{8.1} \end{eqnarray}\]

Theorem 8.2 (Estimaciones en el modelo saturado) En el modelo saturado, las ML-estimaciones de \(p_j\) son \(\tilde{p}_j=\frac{Z_j}{n_j}\), con valores \(\tilde{p}_j=\frac{z_j}{n_j}\),\(j=1,\cdots ,J\). Además,

\[\begin{eqnarray} {\cal L}_s\;:=\;{\cal L}(\tilde p) &=& \sum^J_{j=1}n_j[\tilde{p}_j\ln \tilde{p}_j +(1-\tilde{p}_j) \ln(1-\tilde{p}_j)] \end{eqnarray}\]

También se cumple que

\[{\cal L}_s<0\quad \mbox{para}\quad 0< \tilde{p}_j <1\]

Example 8.1 Para los datos del archivo chdage, en el modelo saturado,hay \(J=43\) poblaciones y se cumple que \({\cal L}(\tilde{p})=-41.7991\), como se indica en la última fila de la Tabla 8.2:

chdage$CHD <- CHD 

chdage %>%
  group_by(age) %>%
  summarise(nj = n(),
            zj = sum(CHD)) %>%
  mutate(pj = zj/nj,
         pj = round(pj,3),
         Lp = ifelse(zj==0 | zj== nj, 0, zj*log(pj)+(nj-zj)*log(1-pj)),
         Lp = round(Lp, 4)
         ) -> saturado

Totales <- c("Total", sum(saturado$nj), sum(saturado$zj), "", sum(saturado$Lp))
Tabla <- rbind(saturado, Totales)
Table 8.2: Estimaciones en el modelo saturado.
age nj zj pj Lp
20 1 0 0 0
23 1 0 0 0
24 1 0 0 0
25 2 1 0.5 -1.3863
: : : : :
: : : : :
63 1 1 1 0
64 2 1 0.5 -1.3863
65 1 1 1 0
69 1 1 1 0
Total 100 43 -41.7991

El paquete lsm calcula directamente los valores de \(J\) y \({\cal L}(\overline{y})\), de la siguiente manera:

datos <- lsm::chdage
modelo <- lsm(CHD~datos$AGE, data=datos)
cbind(modelo$Populations, modelo$Log_Lik_Saturate)
##      [,1]      [,2]
## [1,]   43 -41.79938

9 Ejercicios

Para la solución de los siguientes ejercicios, téngase en cuenta los siguientes comentarios:

  • Todos los datos mencionados aparecen en los paquetes mencionados en este documento.

  • Siempre debe detallar el análisis del conjunto de datos (con las variables especificadas) basado en lo explicado en este documento.

  • Verifique cómo se obtienen las estimaciones correspondientes, los logaritmos de las funciones de máxima verosimilitud, riesgos, odds, razones odds, etc.

9.0.1 Ejercicios 1 a 3

  1. Demuestre los teoremas: (a) 6.1; (b) 7.2; (c) 8.2.

  2. Haga un listado de los paquetes de R que estimen el logaritmo de la función de máxima verosimilitud en los modelos completo y nulo.

  3. Haga un listado de los paquetes de R que estimen el logaritmo de la función de máxima verosimilitud en el modelo saturado.

9.0.2 Ejercicio 4

  1. Los datos ICU corresponden a una muestra de 200 sujetos que hicieron parte de un estudio de supervivencia de pacientes que fueron remitidos a una unidad de cuidados intensivos (intensive care unit - ICU). La meta principal de este estudio fue desarrollar un modelo de regresión logística para predecir la probabilidad de supervivencia de estos pacientes en el hospital y estudiar los factores de riesgos asociados con el índice de mortalidad ICU. En estos datos tome a la variable AGE como independiente y STA como dependiente.

  1. ¿Qué características de STA nos pone a pensar que debamos considerar el modelo de regresión logística en vez del usual modelo de regresión lineal para describir la relación entre STA y AGE?

  2. Forme un diagrama de dispersión de STA contra AGE.

  3. Usando los intervalos [15,24], [25,34], [35,44], [45,54], [55,64], [65,74], [75,84], [85,94] para AGE, calcule la media de STA de los sujetos dentro de cada intervalo. Grafique estos valores de la media de STA contra el punto medio del intervalo de AGE usando el mismo conjunto de ejes que se utilizaron en la parte (b).

  4. Repita todos los análisis realizados en este documento.

9.0.3 Ejercicios 5 a 7

  1. Considere los datos ICU. Repita el ejercicio 4 utilizando la variable TYP (como variable dependiente) en vez de STA.

  2. Considere los datos ICU. Repita todos los análisis realizados en este documento, pero considerando ahora las variables AGE (como variable independiente) y STA (como variable dependiente).

  3. Considere los datos ICU. Haga el análisis correspondiente tomando a STA como variable dependiente y a AGE, SYS y HRA como independientes.

9.0.4 Ejercicios 8 a 9

  1. Los datos UIS se recogieron con el propósito de comparar dos programas de tratamiento A y B para reducir el abuso de la droga y prevenir sus riesgos. La descipción de los datos se puede ver también aquí. Detalle el análisis para estos datos, tomando a DFREE como variable dependiente y AGE, BECK y NDRUGTX como variables independientes.

  2. Los datos PROS corresponden a un estudio realizado pacientes con cáncer de próstata para determinar si las variables medidas en un examen básico pueden ser usadas para predecir si el tumor ha penetrado la cápsula prostática. Los datos fueron recogidos teniendo en cuenta 380 individuos, 153 de los cuales tuvieron un cáncer que penetró la cápsula prostática. En estos datos, una variable que se pensó que era particularmente predictiva para la penetración de cápsula es el nivel de antígeno prostático, PSA. Repita los pasos del ejercicio 4 usando CAPSULE como variable dependiente y utilize para PSA, los intervalos: [0.0; 2.4], [2.5; 4.4], [4.5; 6.4], [6.5; 8.4], [8.5; 10.4], [10.5; 12.4], [12.5; 20.4], [20.5; 140].

9.0.5 Ejercicio 10

  1. De todas las variables que aparecen en los datos PROS sólo considere a CAPSULE (como variable dependiente) y PSA (como variable independiente).

  1. ¿Qué características de la variable dependiente nos conduce a considerar la regresión logística como más apropiada que el modelo de regresión lineal para describir la relación entre las dos variables mencionadas anteriormente?

  2. Calcule:

  • \(\mathcal{L}(\widehat{p})\) en el modelo completo.

  • \(\mathcal{L}(\widehat{p})\) en el modelo nulo.

  • \(\mathcal{L}(\widetilde{p})\) en el modelo saturado.

  1. Halle las estimaciones de los siguientes parámetros e interprételos (justifique en forma clara y precisa todas sus afirmaciones):

  • \(P(CAPSULE=1 \, / \, PSA=11.2\) mg/ml\()\).

  • \(P(CAPSULE=0 \, / \, PSA=11.2\) mg/ml\()\).

9.0.6 Ejercicios 11 a 13

  1. Considere los datos PROS. Repita todos los análisis realizados en este documento tomando a CAPSULE como variable dependiente y VOL como variable independiente.

  2. Considere los datos PROS. Repita todos los análisis realizados en este documento tomando a CAPSULE como variable dependiente y AGE como variable independiente.

  3. Considere los datos PROS, tomando a CAPSULE como variable dependiente y AGE, PSA y VOL como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento

9.0.7 Ejercicio 14

  1. Los datos LOWBWT corresponden a un estudio realizado para identificar factores de riesgos asociados a nacimientos de bebés con bajo peso (peso menor que 2.500 gramos). Los datos fueron recogidos teniendo en cuenta 189 mujeres, 59 de las cuales tuvieron bebós con bajo peso y 130 de las cuales tuvieron bebés con peso normal. De todas las variables que aparecen sólo considere a LOW (como variable dependiente) y LWT (como variable independiente).
  1. Responda:
  • ¿Qué características de la variable dependiente nos conduce a considerar la regresión logística como más apropiada que el modelo de regresión lineal para describir la relación entre las dos variables mencionadas anteriormente?
  1. Calcule:

  • \(\mathcal{L}(\widehat{p})\) en el modelo completo.

  • \(\mathcal{L}(\widehat{p})\) en el modelo nulo.

  • \(\mathcal{L}(\widetilde{p})\) en el modelo saturado.

  1. Halle las estimaciones para los siguientes parámetros e interprételos (justifique en forma clara y precisa todas sus afirmaciones):

  • \(P(LOW=1 \, / \, LWT=100.3\) libras\()\).

  • \(P(LOW=0 \, / \, LWT=100.3\) libras\()\).

9.0.8 Ejercicios 15 a 18

  1. Considere los datos LOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y AGE como variable independiente.

  2. Considere los datos LOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y LWT como variable independiente.

  3. Considere los datos LOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y BWT como variable independiente.

  4. Considere los datos LOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y AGE, LWT y BWT como variables independientes.

9.0.9 Ejercicios 19 a 21

  1. Considere los datos LOWBWTM11, tomando a LOW como variable dependiente y AGE como variable independiente.

  2. Considere los datos LOWBWTM11, tomando a LOW como variable dependiente y LWT como variable independiente.

  3. Considere los datos LOWBWTM11, tomando a LOW como variable dependiente y AGE y LWT como variables independientes.

9.0.10 Ejercicios 22

  1. En los datos CLSLOWBWT, entre otras variables, una que los físicos consideraron importante para el control del peso del bebé (variable dependiente LOW) fue el peso de la madre durante el último periodo menstrual (LWT). Repita los pasos del ejercicio 4, pero para la parte (c) utilize los intervalos: [80,99], [100,109], [110,114], [115,119], [120,124], [125,129], [130,250]. La gráfica en la parte (c) no parece en forma de \(S\). La razón principal es que el rango de los valores graficados está aproximadamente entre 0.2 y 0.56. Explique por qué un modelo para la probabilidad de LOW como una función de LWT pudiese ser el modelo de regresión logística.

9.0.11 Ejercicios 23 a 26

  1. Considere los datos CLSLOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y AGE como variable independiente.

  2. Considere los datos CLSLOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y LWT como variable independiente.

  3. Considere los datos CLSLOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y BWT como variable independiente.

  4. Considere los datos CLSLOWBWT, tomando a LOW como variable dependiente y AGE, LWT y BWT como variables independientes.

Bibliografía

Consultar el documento RPubs :: Regresión logística (bibliografía).

 

  
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